文档文本内容
2024年新高考新结构数学模拟卷（三）
（模拟测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知集合 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
3．已知非零向量 ， ， 满足 ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 ， 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆 ，圆 ，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．45．甲箱中有 个红球， 个白球和 个黑球；乙箱中有 个红球， 个白球和 个黑球.先从甲箱中随机取
出一球放入乙箱中，分别以 、 、 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机
取出一球，以 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件 与事件 不相互独立 D． 、 、 两两互斥
6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作
的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形 ，然后以点B为圆
心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心， 为半径逆
时针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以点A为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到
的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为： .已知点 在圆 上，点 在直
线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．一组数据 满足 ，若去掉 后组成一组新数据.则新数据与原数据相
比（ ）
A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小
10．如图所示，棱长为3的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论
正确的是（ ）
A． B． 与 所成的角可能是
C． 是定值 D．当 时，点 到平面 的距离为1
11．已知函数 为定义在 上的偶函数， ，且 ，则（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． 以6为周期的函数 D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
13．在四面体 中， ，若 ，则四面体 体积的最大值是
，它的外接球表面积的最小值为 .14．已知 为拋物线 的焦点，过点 的直线 与拋物线 交于不同的两点 ， ，拋物线在点
处的切线分别为 和 ，若 和 交于点 ，则 的最小值为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知椭圆 的左右顶点距离为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求弦 垂直平分线的纵截距的取值范围.
16．在 中，角 所对的边分别为 .若 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为 ．现对该产品
进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记 为试
验结束时所进行的试验次数， 的数学期望为 ．
(1)证明： ；
(2)某公司意向投资该产品，若 ，每次试验的成本为 元，若试验成功则获利 元，则该公司
应如何决策投资？请说明理由．
18．已知函数 且 .
(1)设 ，讨论 的单调性；
(2)若 且 存在三个零点 .1）求实数 的取值范围；
2）设 ，求证： .
19．已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明： ；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
