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教考衔接二十四 教材命题点探源
高三数学 突破卷02
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.复数z 满足
，则
( )
A.
B.1
C.
D.2
2.设集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
3.已知向量a，b 满足
，且
，若
，则
( )
A.
B.
C.2
D.
4.设随机变量X 服从二项分布
，则函数
存在零点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域.假设某放射性同位素
的衰变过程中，其含量(单位:贝克)与时间(单位:天)满足函数关系
,其中
为
时该放射
性同位素的含量.已知
时,该放射性同位素的瞬时变化率为
，则该放射性同位素衰变至含
量为4.5 贝克时，所经历的时间为( )
A.20 天
B.30 天
C.45 天
D.60 天
6.函数
（
，
，
），若
，则
a 的值为( )
A.4
B.4 或
C.2 或
D.2
7.过抛物线
的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点
为B，点A 在抛物线准线上的射影为C，若
，
，则抛物线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
8.某车企为转型升级，从2026 年起大力发展新能源汽车，2026 年全年预计生产新能源汽车10 万辆，每辆
车的利润为2 万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新
能源汽车的产量都比前一年增加
(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去)，每辆车的利润都比前
一年增加2000 元，则至2032 年年底,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为( )
(参考数据：
,结果精确到0.1)
A.320.5 亿元
B.353.8 亿元
C.363.2 亿元
D.283.8 亿元
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.已知函数
的图象与直线
(0
2)
y
m
m
连续的三个公共点从左到右依次记为
A，B，C，若|
| 2 |
|
AB
BC
，则( )
A.
( )
f x 的最小正周期为π
B.
3
2
m
C.将函数
( )
f x 的图象向右平移
π
12 个单位长度后，得到函数
的图象，则
在
上的值域
为
D.若函数
，则
在
上有6 个零点
10.已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M 为C 上异于A，B 的一点，过点
M 且垂直于x 轴的直线与C 的另一个交点为N，交x 轴于点T，则( )
A.存在点M，使
120
AMB
B.
C.
的最小值为
D.
周长的最大值为8
11.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，M 为正方体的表面上的动点，N 为侧面
1
1
ABB A 上的动点，
则下列结论正确的是( )
A.若
2 3
3
BM
，则M 的轨迹长度为
B.若
，则DN 的最小值为
C.若M 在
上，N 在
上，则MN 的最小值为
D.若M 为
的中点，N 为AB 的中点，则过M，N，
三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知曲线
2
1
π
:
sin 2
C
y
x
ax
上一点(1,2) 处的切线为l，若曲线
3
2
2 :
1
C
y
x
bx
上至多存在一条
与l 垂直的切线，则实数b 的取值范围是__________.
13.已知随机变量
，随机变量
若
，则正整数n 的最小值为
_________.
14.已知函数
有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义
协方差为
.将号码分别为1，2，3，4 的4 个小球等可能地放
入号码分别为1，2，3，4 的4 个盒子中，每个盒子恰好放1 个小球.
（1）求1 号球不在1 号盒子中，且2 号球不在2 号盒子中的概率；
（2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证：
；
（3）结合实例，解释协方差的实际含义.
16.（15 分）已知函数
，其中
，e 为自然对数的底数.
（1）若
，证明
；
（2）讨论
的极值点的个数.
17.（15 分）在正三棱台
中，侧棱长为1，且
，E 为
的中点，D 为
上的点，且
.
（1）证明：
平面
，并求出AD 的长.
（2）求平面BDE 与平面ABC 夹角的余弦值.
18.（17 分）【材料1】.过椭圆
上点
处的切线方程为
；
【材料2】过抛物线
上点
处的切线方程为
.
结合以上材料，回答问题：已知椭圆
上点
处的切线为
，且抛物线
与
相切.
（1）求切线
的方程；
（2）求抛物线W 的方程；
（3）已知定点
，不过点M 的直线l 与抛物线W 恒有两个不同交点A，B，且与其准线交于点C
（点C 不在x 轴上）.若直线
，
，
的斜率分别是
，
，
，且
，
，
成等差数列，
证明：直线l 恒过定点.
19.（17 分）若存在1，1，2，2，…，n，n 的一个排列
，满足每两个相同的正整数
之间恰有k 个正整数，则称数列
为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”.例如，数列
：4，6，
1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5 为“有趣数列”，7 为“有趣数”.
（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由；
①
：1，2，1，2；②
：3，1，2，1，3，2.
（2）请写出“有趣数列”
的所有可能情形；
（3）从1，2，…，
中任取两个数i 和j
，记i 和j 均为“有趣数”的概率为
，证明：
.
