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限时练4(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P219
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·山东日照模拟)设i 为虚数单位,若复数z 满足i3z=1+2i,则z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案C
解析因为i3z=1+2i,所以z=1+2i
i
3
=-2+i
i
4
=-2+i,所以z=-2-i,对应的点为(-2,-1),所以z在复平面内对应
的点在第三象限.
2.(2024·山东泰安二模)已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),且P(1.5≤X<2)=0.36,则P(X>2.5)等于(
)
A.0.14
B.0.36
C.0.72
D.0.86
答案A
解析由题意知P(1.5≤X<2)=0.36,所以P(2≤X<2.5)=0.36,则P(1.5≤X<2.5)=0.36+0.36=0.72,所以
P(X>2.5)=1- P(1.5≤X <2.5)
2
=0.14.
3.已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=9,a3+a7=10,则a8=( )
A.5
B.6
C.7
D.8
答案C
解析由a1+a2+a3=3a2=9,故a2=3.由a3+a7=2a5=10,故a5=5.又a2+a8=2a5,即有3+a8=2×5=10,故a8=7.
4.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)={
1, x∈Q,
0, x∈∁RQ,它在现代数学的发
展过程中有着重要意义,若函数f(x)=x2-D(x),则下列实数不属于函数f(x)值域的是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
答案C
解析由题意可知f(x)=x2-D(x)={
x
2-1, x∈Q,
x
2, x∈∁RQ.
所以f(1)=12-1=0,f(√2
)=(√2
)2=2,f(√3
)=(√3
)2=3,而
f(x)=1 无解.故选C.
5.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL 血液中酒精含量大于等于20 mg,小于80 mg 的驾驶
员即为酒后驾车,80 mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含
量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至
少经过几个小时才能驾驶?( )(结果取整数,参考数据:lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案D
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解析设经过x 个小时才能驾驶,则0.6×100×(1-30%)x<20,即0.7x<1
3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减,
所以x>log0.71
3 =
lg 1
3
lg0.7 = lg1-lg3
lg7-1 =-0.48
0.85-1 = 0.48
0.15
=3.2,故他至少经过4 小时才能驾驶.
6.(2024·浙江宁波模拟)某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6 个广告,其中3 个不同的商业广
告和3 个不同的公益广告,要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告,且商业广告不能3 个连续
播放,则不同的播放方式有( )
A.144 种
B.72 种
C.36 种
D.24 种
答案B
解析先从3 个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有A3
2种方法,然后将3 个不同
的商业广告排成一列有A3
3种方法,3 个不同的商业广告之间有两个空,选择一个将剩下的一个公益广
告安排进去即可,所以总共有A3
2 A3
3 A2
1=72 种方式.
7.(2024·山东潍坊二模)如图,圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且2r1+r2=12,半径为4 的球与圆台的
上、下底面及每条母线均相切,则圆台的侧面积为( )
A.36π
B.64π
C.72π
D.100π
答案D
解析如图所示,作出轴截面,O1,O2分别为上、下底面圆的圆心,M 为侧面切点,O 为内切球球心,则O 为
O1O2的中点,OM⊥AB,OO1=OM=4,O1O2=8,O1A=MA=r1,O2B=MB=r2.因为2r1+r2=12,所以r2=12-2r1,则
AB=MA+MB=r1+r2=12-r1.过点A 作AG⊥O2B,垂足为G,则BG=r2-r1=12-3r1,在Rt△ABG 中,由勾股定
理得AG2+BG2=AB2,即82+(12-3r1)2=(12-r1)2,解得r1=2 或r1=4.因为r1<r2,所以r1=2,r2=8,故AB=10,所
以圆台的侧面积为π×10×(2+8)=100π.
8.已知函数f(x)=ex-ax2在R 上无极值,则a 的取值范围是( )
A. -∞,e
2
B. -∞,e
2
C.[0,e)
D. 0,e
2
答案D
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解析由题意得f'(x)=ex-2ax,故f'(0)=1>0.因为函数f(x)=ex-ax2在R 上无极值,所以f'(x)≥0 在R 上恒成立.
当x>0 时,a≤e
x
2 x
,设g(x)= e
x
2 x
,则g'(x)=2 x e
x -2e
x
4 x
2
=( x -1)e
x
2 x
2
,当0<x<1 时,得g'(x)<0,当x>1 时,得
g'(x)>0,则g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,从而g(x)≥g(1)=e
2
,故a≤e
2 .当x<0 时,
e
x
2 x
<0,则a≥0.综上,0≤a≤e
2 .
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.双曲线C: x
2
a
2 - y
2
3a
2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且C 的两条渐近线的倾斜角的差为θ,且θ>0,
若|F1F2|=2e(e 为C 的离心率),则下列说法正确的有( )
A.a=1
B.θ=π
3
C.e=√2
D.C 的一条渐近线的斜率为√3
答案ABD
解析双曲线C: x
2
a
2 - y
2
3a
2=1(a>0)的焦点F1(-2a,0),F2(2a,0),e=2a
a
=2,由|F1F2|=2e,可得a=1,故A 正确,C
错误;由双曲线的渐近线方程y=±√3x,则两条渐近线的倾斜角为π
3 , 2π
3
,故两渐近线倾斜角的差为θ=
2π
3 - π
3
=π
3 .故B,D 正确.故选ABD.
10.(2024·江苏泰州模拟)已知函数f(x)=cos 2x+cos 2x+2π
3
,则下列说法正确的有( )
A.函数f(x)的图象关于点7 π
12 ,0 对称
B.将函数f(x)的图象向左平移7 π
12
个单位长度后所得到的图象关于y 轴对称
C.函数f(x)在区间[0,π]上有2 个零点
D.函数f(x)在区间π
3 , 5 π
6
上单调递增
答案ACD
解析f(x)=cos 2x+(-1
2
cos 2x-√3
2
sin 2x)=1
2
cos 2x-√3
2
sin 2x=cos(2x+π
3
).当x=7 π
12
时,2x+π
3 = 3 π
2
,则cos
3 π
2
=0,故A 正确;将f(x)向左平移7 π
12
个单位长度后可得,g(x)=cos[2(x+7 π
12
)+π
3
]=cos(2x+3 π
2
)=sin 2x
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为奇函数,关于原点对称,故B 错误;当0≤x≤π 时,π
3 ≤2x+π
3 ≤7 π
3
,令t=2x+π
3
,则f(t)=cos t 在区间[
π
3 , 7 π
3
]上有2 个零点,故f(x)在[0,π]上也有2 个零点,故C 正确;当π
3 ≤x≤5 π
6
时,π≤2x+π
3 ≤2π,令t=2x+
π
3
,则f(t)=cos t 在区间[π,2π]上单调递增,故f(x)在区间[π
3 , 5 π
6
]上单调递增,故D 正确.故选ACD.
11.(2024·河北沧州二模)已知F 为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点,O 为
坐标原点,P(2,y0)为C 上一点,且|PF|=3,则下列说法正确的有( )
A.过点M(2,-3)且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3 条
B.当△AOB 的面积为2√2时,|AF|·|BF|=9
4
C.△AOB 为钝角三角形
D.2|AF|+|BF|的最小值为3+2√2
答案ACD
解析如图所示,因为|PF|=3,所以p
2
+2=3,解得p=2,所以抛物线C 的标准方程为y2=4x.因为y2=4x,当
x=2 时,|y|=2√2<3,故点M(2,-3)在抛物线的外部,所以与C 仅有一个公共点的直线有3 条,故A 正确;
由抛物线C 的方程可知,焦点F(1,0),设l 的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立{
x =my +1,
y
2= 4 x,
整理得
y2-4my-4=0,所以Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4.又|OF|=1,所以S△AOB=1
2 ×|OF|×|y1-y2|=1
2 ×|OF|
×√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2= 1
2 √16m
2+16=2√2,解得m=±1,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=6,x1x2=
( y1 y2)
2
16
=1,则|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=8,故B 错误;由选项B 可知x1x2=1,y1y2=-4,所
以⃗OA ·⃗OB=x1x2+y1y2=1-4=-3<0,故∠AOB 为钝角,所以△AOB 为钝角三角形,故C 正确;由选项B 可
知x1x2=1,所以2|AF|+|BF|=2(1+x1)+(1+x2)=3+2x1+ 1
x1
≥3+2√
2 x1· 1
x1
=3+2√2,当且仅当2x1= 1
x1
,即
x1=√2
2
,x2=√2时,等号成立,故D 正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆C⫋B 的集合C 的个数为 .
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答案7
解析集合A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|-1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},所以满足A⊆C⫋B 的集合C 中必
有元素2,3,所以求满足A⊆C⫋B 的集合C 的个数即求集合{0,1,4}的真子集个数,所以满足A⊆C⫋B 的
集合C 的个数为23-1=7.
13.光线从点A(-5,2)射到x 轴上,经x 轴反射后经过圆C:(x-3)2+(y-4)2=1 上的点B,则该光线从点A 到点
B 的路线长的最小值是 .
答案9
解析由题意可得圆心C(3,4),半径r=1,点A(-5,2)关于x 轴的对称点A1(-5,-2),所以|A1C|=
√(3+5)
2+(4 +2)
2=10,所以该光线从点A 到点B 的路线长的最小值为|A1C|-r=10-1=9.
14.(2024·辽宁沈阳模拟)对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数
ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1- D( X )
ε
2
.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε 的概率作出估计.在数字通信中,
信号是由数字“0”和“1”组成的序列,现连续发射信号n 次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记
发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,
估计信号发射次数n 的值至少为 .
答案1 250
解析由题意知X 服从二项分布,即X~B(n,1
2
),所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n,若0.4< X
n
<0.6,则
0.4n<X<0.6n,即-0.1n<X-0.5n<0.1n,即|X-0.5n|<0.1n.由不等式P(|X-0.5n|<0.1n)≥1- 0.25n
(0.1n)
2 知,要使
得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,则1- 0.25n
(0.1n)
2 ≥0.98,解得n≥1 250,所
以估计信号发射次数n 的最小值为1 250.
