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限时练6(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P223
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合A={x|y=lg(x-1)},B={x|x<-2},则A∪(∁RB)=( )
A.(-2,1)
B.[-2,1)
C.[-2,+∞)
D.(1,+∞)
答案C
解析由题意得x-1>0,解得x>1,故A=(1,+∞),A∪(∁RB)=(1,+∞)∪[-2,+∞)=[-2,+∞).
2.某乡镇在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势,在实验区随机选取了100 株该农作
物苗,经测量,其高度(单位:cm)均在区间[10,20]上,按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5 组,
制成如图所示的频率分布直方图,记高度不低于16 cm 的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中,
“优质苗”株数为( )
A.20
B.30
C.60
D.88
答案C
解析由频率分布直方图知,高度不低于16 cm 的频率为(0.20+0.10)×2=0.60,所以选取的农作物样本苗
中“优质苗”株数为100×0.60=60.
3.(2024·山东威海二模)已知正项等比数列{an}中,a1=1,且-a5,a4,a6成等差数列,则a2=( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案A
解析因为-a5,a4,a6成等差数列,所以2a4=-a5+a6.因为{an}是正项等比数列,且a1=1,则2a4=-a4·q+a4·q2,所
以2=-q+q2,解得q=2 或q=-1(舍去),所以a2=a1q=1×2=2.
4.(2024·湖北武汉二模)已知x∈R,向量a=(x,2),b=(2,-1),且a⊥b,则a+b 在a 上的投影向量为
(
)
A.√5
B.5
C.(1,2)
D.(2,-1)
答案C
解析由a⊥b,则有a·b=2x-2=0,即x=1,则a+b=(3,1),故(a+b)·a
|a|
·
a
|a| =
3+2
√1
2+2
2 ·
a
√1
2+2
2
=a=(1,2).
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5.(2024·辽宁大连一模)若α∈π
2 ,π ,且5cos 2α=√2sin π
4 -α ,则tan α=( )
A.-4
3
B.-3
4
C.-1
3
D.1
答案A
解析由5cos 2α=√2sin π
4 -α ,得5(cos2α-sin2α)=√2 √2
2
cos α-√2
2
sin α ,即5(cos α-sin α)·(cos α+sin
α)=cos α-sin α.因为α∈π
2 ,π ,所以cos α-sin α≠0,所以cos α+sin α=1
5,结合cos2α+sin2α=1,且cos
α<0,sin α>0,得cos α=-3
5,sin α=4
5 ,所以tan α= sin α
cosα =-4
3 .
6.(2024·湖南常德一模)已知三棱锥A-BCD 中,AB⊥平面BCD,AB=4,BC=3,CD=5,BD=7,则该三棱锥外
接球的表面积为( )
A. 196 π
3
B. 244 π
3
C. 196 π
5
D. 244 π
5
答案B
解析如图,设△BCD 的外心为M,过M 作底面的垂线MO,使MO=1
2
BA,则O 为三棱锥的外接球的球心,
在△BCD 中,由BC=3,CD=5,BD=7,得cos∠BCD=3
2+5
2-7
2
2×3×5
=-1
2
,故sin∠BCD=√3
2 .设△BCD 的外
接圆的半径为r,则r=
7
2× √3
2
= 7
√3,OM=2,∴OB2=( 7
√3
)2+22=61
3
=R2.∴三棱锥外接球的表面积为
4πR2=4π× 61
3 = 244 π
3
.
7.(2024·浙江绍兴三模)已知函数f(x)满足:对任意实数x,y,都有f(f(x+y))=f(x)+f(y)成立,且f(0)=1,则下
列选项正确的是( )
A.f(x+1)为奇函数
B.f(x)+1 为奇函数
C.|f(x+1)|为偶函数
D.|f(x)-1|为偶函数
答案D
解析令x=y=0,则f(f(0))=f(0)+f(0).又f(0)=1,所以f(1)=2,令y=-x,则f(f(0))=f(x)+f(-x),即f(1)=f(x)+f(-x).
又2=f(x)+f(-x),所以y=f(x)关于(0,1)对称,所以f(x+1)关于(-1,1)对称,故A 错误;f(x)+1 关于(0,2)对称,故
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B 错误;由A 可知|f(x+1)|关于直线x=-1 对称,故C 错误;由A 可知f(x)-1 关于(0,0)对称,故f(x)-1 为奇函
数,所以|f(x)-1|为偶函数,故D 正确.
8.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(√6,y0)(y0> p
2
)是C 上一点.已知圆M 与x 轴相切,与线段
MF 相交于点A,⃗MA=2⃗AF,圆M 被直线y= p
2
截得的弦长为√3|MA|,则C 的准线方程为( )
A.y=-1
2
B.y=-√3
2
C.y=-1
D.y=-2
答案B
解析因为点M(√6,y0)在抛物线上,则6=2py0,即py0=3.
①
如图所示,过M 作直线y= p
2
的垂线,D 为垂足,设圆M 与直线y= p
2
相交于点E.
易知,|DM|=y0- p
2 .由⃗MA=2⃗AF,可知|MA|=2|AF|=2
3
|MF|=2
3
(y0+ p
2
).
因为圆M 被直线y= p
2
截得的弦长为√3|MA|,
所以|DE|=√3
2
|MA|=√3
3
y0+ p
2
.
由|MA|=|ME|,在Rt△MDE 中,1
3
y0+ p
2
2+ y0- p
2
2=4
9
y0+ p
2
2,
解得y0=p.
②
由①②解得p=√3,抛物线C 的准线方程为y=- p
2
=-√3
2 .
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.某地前些年建立了农业科技图书馆,供农民免费借阅书籍,现收集了近5 年借阅数据,如下表:
年份代码x
1
2
3
4
5
年借阅量y(万册)
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表,可得y 关于x 的经验回归方程为
y
^ =0.24x+
a
^,下列结论正确的有( )
A
.a
^=4.68
B.借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8 的第75 百分位数为5.7
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C.y 与x 的线性相关系数r>0
D.第六年的借阅量一定不少于6.12 万册
答案ABC
解析因为x = 1+2+3+ 4 +5
5
=3,
y = 4.9+5.1+5.5+5.7+5.8
5
=5.4,将(3,5.4)代入y
^ =0.24x+a
^,得0.24×3+a
^=5.4,解得a
^=4.68,故A
正确;因为5×75%=3.75,故从小到大选择第4 个数作为第75 百分位数,即5.7,故借阅量
4.9,5.1,5.5,5.7,5.8 的第75 百分位数为5.7,故B 正确;因为0.24>0,所以y 与x 正相关,故y 与x 的线性相
关系数r>0,故C 正确;因为
y
^ =0.24x+4.68 中,令x=6,得
y
^ =1.44+4.68=6.12,故第六年的借阅量约为
6.12 万册,可能比6.12 万册多,也可能比6.12 万册少,故D 错误.故选ABC.
10.(2024·山东潍坊二模)定义域是复数集的子集的函数称为复变函数,f(z)=z2就是一个多项式复变函
数.给定多项式复变函数f(z)之后,对任意一个复数z0,通过计算公式zn+1=f(zn),n∈N 可以得到一列值
z0,z1,z2,…,zn,….如果存在一个正数M,使得|zn|<M 对任意n∈N 都成立,则称z0为f(z)的收敛点,否则,称
为f(z)的发散点.则下列选项中是f(z)=z2的收敛点的是( )
A.√2
B.-i
C.1-i
D. 1
2 - √3
2
i
答案BD
解析对于A,由zn+1=zn
2可得数列√2,2,4,16,…不合题意,故A 错误;对于B,由zn+1=zn
2可得数列-
i,-1,1,1,…,则存在一个正数M=2,使得|zn|<M 对任意n∈N 都成立,满足题意,故B 正确;对于C,由zn+1=
zn
2可得数列1-i,-2i,-4,16,…不满足题意,故C 错误;对于D,由zn+1=zn
2可得数列1
2 - √3
2
i,-1
2 - √3
2
i,-
1
2 + √3
2
i,-1
2 - √3
2
i,…,因为|1
2 - √3
2
i|=|-1
2 - √3
2
i|=|-1
2 + √3
2
i|=|-1
2 - √3
2
i|=1,故存在一个正数M=2,使得|
zn|<M 对任意n∈N 都成立,满足题意,故D 正确.故选BD.
11.在三棱锥P-ABC 中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,PA=2√3,D 是三角形PAB 内的动点(含边
界),AD⊥CD,则下列结论正确的是( )
A.PB 与平面ABC 所成角的大小为π
3
B.三棱锥C-ABD 的体积最大值是2
C.D 点的轨迹长度是2π
3
D.异面直线CD 与AB 所成角的余弦值范围是√5
10 , √2
2
答案ACD
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解析如图,把三棱锥P-ABC 补成正四棱柱并建立空间直角坐标系A-xyz,由PA⊥平面ABC,得∠PBA
是PB 与平面ABC 所成的角,tan∠PBA= PA
AB =√3,因此∠PBA=π
3
,故A 正确;由AD⊥CD,得点D 的轨
迹是以线段AC 为直径的球面与△PAB 相交的一段圆弧及点B,令AC,AB 的中点分别为O,E,则OE⊥
平面PAB,OE=1,OD=√2,于是DE=1,显然点D 所在圆弧所对圆心角大小为2π
3
,长度是2π
3
,故C 正确;
由选项C 知,当DE⊥AB 时,点D 到平面ABC 的距离最大,最大距离为1,因此三棱锥C-ABD 的体积VC-
ABD=VD-ABC≤1
3 × 1
2 ×2×1×2=2
3
,故B 错误;设∠AED=θ(0<θ≤2π
3
),则点D 的坐标为(1-cos θ,0,sin
θ),C(2,2,0),于是⃗CD=(-1-cos θ,-2,sin θ).又⃗AB=(2,0,0),令异面直线CD 与AB 所成的角大小为φ,则cos
φ=|cos<⃗CD ,⃗AB>|=|⃗CD·⃗AB|
|⃗CD||⃗AB|
=
1+cosθ
√(1+cosθ)
2+ 4+ sin
2θ
=
1+cosθ
√6+2cosθ
,令t=1+cos θ∈[1
2
,2),cos φ=
t
√4 +2t =
1
√
4
t
2 + 2
t
在区间[1
2
,2]上单调递增,因此√5
10 ≤t<√2
2
,故D 正确.
故选ACD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.若(2x-m)(x-1)5的展开式中x2的系数为40,则实数m= .
答案3
解析多项式的展开式中含x2的项为2xC5
4x·(-1)4-mC5
3x2·(-1)3=(10+10m)x2,所以10+10m=40,解得m=3.
13.(2024·山东青岛三模)如图,函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,已知A,D 为
f(x)的零点,B,C 为f(x)的极值点,⃗AB·⃗DC=-1
2 |⃗AB|
2,则函数f(x)的解析式为
.
答案f(x)=√3sin π
2 x+5 π
6
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解析由题可得D(1
3
,0),又T=2π
ω
,则A(1
3 - π
ω
,0),B(1
3 - π
2ω ,√3),C(1
3 + π
2ω
,-√3),则⃗AB=( π
2ω ,√3),⃗
DC=( π
2ω
,-√3),则⃗AB·⃗DC = π
2
4 ω
2-3=-1
2 ( π
2
4 ω
2+3),化简得3 π
2
8ω
2 - 3
2
=0.因为ω>0,则ω=π
2
,则有
π
2 × 1
3
+φ=π+2kπ(k∈Z),解得φ=5 π
6
+2kπ(k∈Z).又0<φ<π,则φ=5 π
6
,即f(x)=√3sin(π
2
x+5 π
6
).
14.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则记为f(x)[a,b],函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则记为f(x)[a,b].
如果(√x + 4
√x
)[m,8],则实数m 的最小值为 ;如果函数f(x)=1
3
x3-3
2
ax2+2a2x,且f(x)[1,2],f(x)[2,3],则
实数a= .
答案4 1
解析由题意√x + 4
√x
在区间[m,8]上单调递增,因为x≠0,所以0<m<8.令t=√x,则f(t)=t+4
t
,由对勾函数
性质得当x>0 时,f(t)=t+4
t
的单调递增区间为[2,+∞),所以实数t 的最小值为2,所以实数m 的最小值为
4.因为函数f(x)=1
3
x3-3
2
ax2+2a2x 可导,所以f'(x)=x2-3ax+2a2,由题意得f(x)在区间[1,2]上单调递减,在区
间[2,3]上单调递增,即x=2 是函数的极值点,所以f'(2)=4-6a+2a2=0,解得a=2 或a=1,经检验a=2 不满
足题意,a=1 符合题意,所以a=1.
