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§7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
分值：42 分
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q 是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q 点的轨迹是( )
A.点B1
B.线段B1C
C.线段B1C1
D.平面B1BCC1
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M 为A1C1的中点，N 为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若
点N 的轨迹长度为2，则( )
A.AC1=4
B.BC1=4
C.AB1=6
D.B1C=6
3.(2024·南充模拟)在三棱锥A-BCD 中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P 为△BCD 内部及边界上的动点，
AP=2√2，则点P 的轨迹长度为( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
4.(2025·长沙模拟)在三棱锥P-ABC 中，△ABC 是边长为3 的正三角形，PA=5
2，PC⊥BC，则三棱锥P-ABC
的体积最大为( )
A.15√3
8
B.2√3
C.3√3
2
D.√3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F 在棱AB 上，且EF=2，动点Q 在棱D'C'上，则在三
棱锥A'-EFQ 中，下列说法正确的是( )
A.△EFQ 的面积与点E，F 的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ 的体积与点Q 的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ 的体积与点E，F，Q 的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ 的体积与点E，F，Q 的位置均无关，是定值
6.在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为正方体表面上的动点，N 为线段AC1上的动点，若直线AM
与AB 的夹角为π
4 ，则下列说法正确的是( )
A.点M 的轨迹确定的图形是平面图形
B.点M 的轨迹长度为π
2 +2√2
C.C1M 的最小值为√2-1
D.当点M 在侧面BB1C1C 上时，√3
3 AN+MN 的最小值为1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M 在正方体内部运动(包括表面)，且BM∥平面AD1C，则动
点M 的轨迹所形成区域的面积为 .
8.如图，点P 是棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP 与平面ABCD 所成的角为
60°，则点P 的轨迹长度为 .
答案精析
1.B
2.B [如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，
又MD∩DE=D，MD，
DE⊂平面MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1，
又MN∥平面ABC1，
故点N 的轨迹为线段DE，
又由DE=1
2BC1=2，可得BC1=4.]
3.B [如图所示，
由AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，
可知三棱锥A-BCD 为正三棱锥，
设点A 在底面BCD 上的射影为O，
连接BO 并延长，交CD 于点E，可知E 为CD 的中点，
则BE=3√3，OB=2√3，OE=√3，
则AO⊥平面BCD，
OA=√A B
2-O B
2=2，
又P 为△BCD 内部及边界上的动点，AP=2√2，
所以OP=2，
所以点P 的轨迹为以点O 为圆心，2 为半径的圆在△BCD 内部及边界上的部分，
如图所示，
OE⊥P1P2，
所以cos∠EOP1= OE
O P1
=√3
2 ，
即∠EOP1=π
6 ，∠P1OP2=π
3 ，
所以点P 的轨迹长度为2π×2-3×π
3 ×2=2π.]
4.C [如图，因为PC⊥BC，所以P 点在过C 点且与BC 垂直的平面α 上，设平面α∩平面ABC=l，过点A
作l 的垂线段交l 于点A1，
则AA1⊥α，且AA1=3
2 ，
因为PA=5
2 ，所以P 点在以A1为圆心的圆周上，
由图可知P 到底面ABC 的最大高度为√P A
2- A A1
2=2，
所以三棱锥体积的最大值为
V 三棱锥P-ABC=1
3×S△ABC×2=1
3 × √3
4 ×32×2=3√3
2
.]
5.AD [连接AD'，BC'，如图.
对于选项A，因为AB∥C'D'，且AB=C'D'，可知四边形ABC'D'为平行四边形，且AB⊥平面ADD'A'，AD'⊂
平面ADD'A'，则AB⊥AD'，可知四边形ABC'D'为矩形，
所以△EFQ 的面积S△EFQ=1
2EF·AD'=1
2×2×4√2=4√2，
即△EFQ 的面积为定值，与点E，F 的位置无关，故A 正确；
对于选项BCD，
因为A'D'⊥平面ABB'A'，
且平面ABB'A'∥平面DCC'D'，
可知三棱锥Q-A'EF 的高为A'D'=4，
所以三棱锥A'-EFQ 的体积V 三棱锥A'-EFQ=V 三棱锥Q-A'EF=1
3A'D'·S△A'EF=1
3×4×1
2×2×4=16
3 ，
即三棱锥A'-EFQ 的体积为定值，与点E，F，Q 的位置均无关，故D 正确，BC 错误.]
6.BCD [如图，建立空间直角坐标系，则D(0，1，0)，C1(1，1，1)，
∵直线AM 与AB 的夹角为π
4 ，当点M 在侧面AA1D1D 上时，AB⊥AM，不合题意；
当点M 在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M 到直线AB 的距离大于AB 的长度，此时，
AM 与AB 的夹角大于π
4 ；
当点M 在侧面AA1B1B 和底面ABCD 上时，可知线段AB1，AC 满足题意；
当点M 在侧面BCC1B1上时，
由AB⊥BM，可知BM=AB，此时弧B1C 为所求.∴M 点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C，
显然线段AC，AB1，弧B1C 不共面，∴A 错误；
对于B，点M 的轨迹长度为π
2 +2√2，
∴B 正确；
对于C，若M 在线段AC 上，则C1M 的最小值为1，同理，若M 在线段AB1上，则C1M 的最小值也为1，
若M 在弧B1C 上，则C1M 的最小值为C1B-1=√2-1，∴C 正确；
对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1，0≤z≤1)，且y2+z2=1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0，1]，则√3
3 AN+MN=λ+
√(1- λ)
2+( y - λ)
2+( z - λ)
2
≥λ+√(1- λ)
2=λ+(1-λ)=1，
当且仅当y=z=λ，且y2+z2=1，
即y=z=λ=√2
2 时，等号成立，
∴D 正确.]
7.9√3
2
解析 因为平面A1BC1∥平面ACD1，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，
所以点M 的轨迹是△A1BC1及其内部，所以动点M 的轨迹所形成区域的面积为
S△A1BC1=1
2 ×(3√2)
2·sin π
3 =9√3
2
.
8.4√3
3
+√3 π
6
解析 因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为60°，所以点P 的轨迹在以A 为顶点，底面圆的半径为√3
3 ，
高为1 的圆锥的侧面上，
又因为点P 是正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，
所以点P 的轨迹如图所示，则点P 的轨迹长为
2√
1+(
√3
3 )
2
+1
4 ×2π×√3
3 =4√3
3
+√3 π
6
.
