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§7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
重点解读 “动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、
面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更
趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥
梁，使得它们之间灵活转化.
题型一 平行、垂直中的动态轨迹问题
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P
的轨迹长度为( )
A.2
B.2√2
C.4
D.3√2
思维升华 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定
义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
跟踪训练1 在棱长为4 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1上的点E 满足⃗DE=⃗E D1，F 是侧面
CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F 在侧面CDD1C1上的轨迹长度为( )
A.2√2
B.3√2
C.2√3
D.4
题型二 距离、角度有关的动态轨迹问题
例2 (多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC 中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P 为
△A1BC 内的一个动点(包括边界)，AP 与平面A1BC 所成的角为45°，则( )
A.A1P 的最小值为√6-√3
B.A1P 的最大值为√6+√3
C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D.所有满足条件的线段AP 形成的曲面面积为3√2π
4
思维升华 距离、角度有关的轨迹问题
(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.
(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.
跟踪训练2 如图，在棱长为6 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P 在截面AB1D1内(含边界)，且满足
A1P=3√2.则点P 的轨迹长度为 .
题型三 翻折有关的动态轨迹问题
例3 (多选)(2025·泰安模拟)如图，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD⊥DE，CD=DE=
√2，F 为AB 的中点，现将△ABE 沿BE 折起到平面A1BE 位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是(
)
A.平面BCDE⊥平面A1BE
B.若O 为BE 的中点，则DE∥平面FOC
C.折起过程中，F 点的轨迹长度为π
4
D.三棱锥A1-CDE 的外接球的体积为√6π
思维升华 翻折有关的轨迹问题
(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.
(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.
(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.
跟踪训练3 (多选)(2024·南阳模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3√3，
CD=4√3，AD=3，点E，F 分别为边AB，CD 上的点，且EF∥AD，AE=2√3.将四边形AEFD 沿EF 折起，
如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M 是四边形AEFD 内的动点，且直线MB 与平面AEFD 所成
的角和直线MC 与平面AEFD 所成的角相等，则下列结论正确的是( )
A.AC⊥BF
B.点M 的轨迹长度为2π
3
C.点M 到平面EBCF 的最大距离为√3
D.当点M 到平面EBCF 的距离最大时，三棱锥M-BCF 外接球的表面积为28π
答案精析
例1 D [由题意可知，动点P 的轨迹为过点B 与直线A1C 垂直的截面与正方体的表面的交线，如图所示.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1，
又AC，AA1⊂平面AA1C 且AC∩AA1=A，所以BD⊥平面AA1C，
因为A1C⊂平面AA1C，
所以BD⊥A1C.
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥B1A1，
又B1C，B1A1⊂平面B1CA1且B1C∩B1A1=B1，
所以BC1⊥平面B1CA1，
因为A1C⊂平面B1CA1，
所以BC1⊥A1C.
由BD，BC1⊂平面BDC1且BD∩BC1=B，
所以A1C⊥平面BDC1.
于是点P 的轨迹长度为不包含点B 的△BDC1的周长，即△BDC1的周长等于3√1
2+1
2=3√2.]
跟踪训练1 A [取CC1的中点H，C1D1的中点M，连接B1H，HM，MB1，
在正方体中，明显有HM∥BA1，B1H∥A1E，
又HM⊄平面A1BE，BA1⊂平面A1BE，B1H⊄平面A1BE，
A1E⊂平面A1BE，
所以HM∥平面A1BE，
B1H∥平面A1BE，
又HM，B1H⊂平面B1HM，
HM∩B1H=H，
所以平面B1HM∥平面A1BE，
当F 在线段MH 上运动时，
有B1F∥平面A1BE，
即点F 在侧面CDD1C1上的轨迹为线段MH，
又MH=√2C1M=2√2，
故点F 在侧面CDD1C1上的轨迹长度为2√2.]
例2 ACD [依题意，A1B=A1C=BC=3√2，
取BC 的中点M，连接AM，A1M，
则AM⊥BC，A1M⊥BC，AM，A1M⊂平面A1AM，AM∩A1M=M，
所以BC⊥平面A1AM，
过A 作AH⊥A1M 于H，因为AH⊂平面A1AM，所以AH⊥BC，
又A1M∩BC=M，A1M，BC⊂平面A1BC，所以AH⊥平面A1BC，
易得AH=√3，且H 为等边△A1BC 的外心，
由AP 与平面A1BC 所成的角为45°，
可知AH=HP，
所以点P 的轨迹是以H 为圆心，√3为半径的圆在△A1BC 内部及边界上的一部分，如图所示，
所以A1P 的最小值为A1H-HP=√6-√3，A 选项正确；
由于轨迹圆部分在△A1BC 外部，所以A1P 的最大值不等于A1H+HP=√6+√3，B 选项错误；
因为BC⊥平面A1AM，若A1P⊥BC，则点P 在线段A1H 上，
有且仅有一个点P 满足题意，C 选项正确；
动线段AP 形成的曲面为圆锥AH 侧面的一部分，
因为cos∠B1HM= HM
H B1
=√2
2 ，
所以∠B1HM=π
4 ，
因为2π -2× π
4 ×3
2π
=1
4 ，所以曲面面积为圆锥侧面积的1
4 ，
圆锥AH 的侧面积为1
2 ×√6×2π×√3=3√2π，
所以所有满足条件的线段AP 形成的曲面面积为3√2π
4
，D 选项正确.]
跟踪训练2 2√6π
解析 取B1D1的中点O1，三棱锥A1-AB1D1为正三棱锥，
过A1作A1G⊥平面AB1D1于点G，如图，则G 为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，
∵AO1=√3
2 AB1=√3
2 ×6√2=3√6，∴GO1=1
3AO1=√6，
AG=2
3AO1=2√6，
由V 三棱锥A1- A B1 D1=V 三棱锥A - A1B1 D1，得1
3 S△A B1 D1·A1G=1
3 S△A1B1 D1·AA1，
∴1
3 × √3
4 ×(6√2)
2×A1G=1
3 × 1
2×6×6×6，∴A1G=2√3，
∵A1P=3√2，
∴GP=√A1 P
2- A1G
2=√6，
∴点P 的轨迹是以G 为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，
∴点P 的轨迹长度为2π×√6=2√6π.
例3 ABD [对于A，由题意得∠BEC=∠CED=π
4 ，所以∠BED=π
2 ，即DE⊥BE，而已知DE⊥A1B，且
A1B∩BE=B，A1B⊂平面A1BE，
BE⊂平面A1BE，
所以DE⊥平面A1BE，DE⊂平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面A1BE，故A 正确；
对于B，因为O 为BE 的中点，所以OC⊥BE，又DE⊥BE，所以OC∥DE，
又DE⊄平面FOC，OC⊂平面FOC，所以DE∥平面FOC，故B 正确；
对于C，
因为四边形ABCE 为正方形，CD⊥DE，CD=DE=√2，
所以CE=√(√2)
2+(√2)
2=2，
过点F 作FG⊥BE 交BE 于点G，如图，
则FG=√2
2 BF=√2
2 ，
所以折起过程中，F 点的轨迹是以G 为圆心，FG=√2
2 为半径，圆心角为π
2 的圆弧，
所以F 点的轨迹长为π
2 × √2
2 =√2π
4
，故C 错误；
对于D，
连接A1O，如图，则A1O⊥BE，又平面BCDE⊥平面A1BE，平面BCDE∩平面A1BE=BE，
A1O⊂平面A1BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
又四边形OCDE 为边长为√2的正方形，则三棱锥A1-CDE 的外接球即为四棱锥A1-OCDE 的外接球，
又四边形OCDE 外接圆的直径为CE=2，A1O=1
2BE=√2，
设四棱锥A1-OCDE 的外接球的半径为R，则(2R)2=A1O2+OD2=A1O2+CE2，即(2R)2=(√2)
2+22=6，所以R=
√6
2 ，
所以外接球的体积V=4 π
3 R3=4 π
3 ×(
√6
2 )
3
=√6π，
即三棱锥A1-CDE 的外接球的体积为√6π，故D 正确.]
跟踪训练3 BCD [如图，连接CE，EM.因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，
AE⊂平面AEFD，
又AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF.所以CE 为CA 在平面EBCF 内的射影.易得△BCF 为等边三角形，显然
CE 不垂直于BF，所以AC 不可能垂直于BF，故A 错误；
易知BE⊥EF，易证BE⊥平面AEFD，所以∠BME 为直线MB 与平面AEFD 所成的角.同理∠CMF 为直线
MC 与平面AEFD 所成的角，所以∠BME=∠CMF，所以tan∠BME=tan∠CMF，所以BE
EM = CF
FM .因为
CF=2BE，所以FM=2EM.
在平面AEFD 内，以E 为坐标原点，以⃗EF的方向为x 轴正方向，⃗EA的方向为y 轴正方向建立平面直角坐
标系，则F(3，0)，设M(x，y)，则有√( x -3)
2+ y
2=2√x
2+ y
2，化简得(x+1)2+y2=4，即点M 在平面AEFD
内的轨迹方程为(x+1)2+y2=4(0≤x≤1，y≥0)，所以点M 在四边形AEFD 内的轨迹为以(-1，0)为圆心，2 为
半径的圆的一段弧，弧所对的圆心角为π
3 ，所以弧长为π
3 ×2=2π
3 ，B 正确；
要使三棱锥M-BCF 的体积最大，只要点M 的纵坐标的绝对值最大即可.令x=0，
则y=±√3，又y≥0，所以M(0，√3)，此时M 到平面EBCF 的最大距离为√3，C 正确；
三棱锥M-BCF 外接球的球心在过△BCF 的外接圆圆心且垂直于平面BCF 的直线上.
在三棱锥M-BCF 中，设点Q 为等边△BCF 外接圆的圆心，设三棱锥M-BCF 外接球的球心为O，半径为
R，设OQ=a，则有R2=a2+4=(√3-a)
2+7，
解得a=√3，所以R2=7，所以三棱锥M-BCF 外接球的表面积S=4πR2=28π，D 正确.]
