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§7.4 空间直线、平面的平行
分值：90 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知两个不同的平面α，β 和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是( )
A.若m∥n，n⊂α，则m∥α
B.若m∥α，n∥α 且m⊂β，n⊂β，则α∥β
C.若m∥α，n⊂α，则m∥n
D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
2.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E，F 分别为BD，PD 上的点，若EF∥平面PBC，则( )
A.EF∥PA
B.EF∥PB
C.EF∥PC
D.以上均有可能
3.(2025·贵阳模拟)设l 为直线，α 为平面，则l∥α 的一个充要条件是( )
A.α 内存在一条直线与l 平行
B.l 平行α 内无数条直线
C.垂直于α 的直线都垂直于l
D.存在一个与α 平行的平面经过l
4.已知P 为△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α 分别交线段PA，PB，PC 于点A'，B'，C'，
若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC等于( )
A.2∶3
B.2∶5
C.4∶9
D.4∶25
5.(2024·衡水模拟)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当
PA∥平面EBF 时，PF
FC 等于( )
A.2
3
B.1
4
C.1
3
D.1
2
6.(2025·广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，过MN 作一平面分别交底面
△ABC 的边BC，AC 于点E，F，则( )
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF 为平行四边形
D.四边形MNEF 为梯形
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列说法不正确的有( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
8.已知三棱台ABC-A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC 的中点分别为点M，P，N，则下
列结论错误的有( )
A.A'N∥PC'
B.A'P 与AC 为异面直线
C.AB∥平面A'C'P
D.平面A'MN∥平面BCC'B'
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β 分别交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB= .
10.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是
BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件 ，就有MN∥平面
B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC 的中点.
(1)证明：MN∥平面PAD；(7 分)
(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论.(6 分)
12.(15 分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 为正方形，E 为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3.
(1)求三棱锥A-BDE 的体积；(6 分)
(2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P 点位置并证明；如果不存在，
请说明理由.(9 分)
每小题5 分，共10 分
13.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E
分别是AB，BC 的中点，则
V 几何体A1B1C1- DBE
V 三棱台A1B1C1- ABC
等于( )
A.3
7
B.1
2
C.2
5
D.5
8
14.四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，如图所示，点E 是棱PD 上一点，PE=3
5PD，若⃗PF=λ⃗PC且满足BF∥
平面ACE，则λ= .
答案精析
1.D 2.B 3.D
4.D [∵平面α∥平面ABC，
∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，
∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2，
又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.]
5.D [连接AC 交BE 于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，
所以PA∥FG，所以PF
FC = AG
GC .
又AD∥BC，E 为AD 的中点，
所以AG
GC = AE
BC =1
2 ，所以PF
FC =1
2.]
6.D [由于B，E，F 三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，EB 不过点F，故MF，EB 为异面直线，故A 错误；
由于B1，N，E 三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE 不过点B1，故A1B1，NE 为异面直线，故B
错误；
∵在平行四边形AA1B1B 中，AM=2MA1，BN=2NB1，
∴AM∥BN，AM=BN，
故四边形AMNB 为平行四边形，
∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，
AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，
∴EF∥AB，
显然在△ABC 中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF 为梯形，故C 错误，D 正确.]
7.ABD [若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，故A 错
误；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B 错误；由
线面平行的性质定理可知C 正确；若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D 错
误.]
8.AC [对于A，因为A'N⊂平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且C'∉A'N，所以A'N，PC'是
异面直线，故A 错误；
对于B，因为AC⊂平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且A'∉AC，所以A'P 与AC 为异面直线，
故B 正确；
对于C，因为棱AB，BC 的中点分别为点M，P，所以AC∥MP，因为AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得
AB∩平面A'C'PM=M，故C 错误；
对于D，因为AB，AC 的中点分别为点M，N，所以MN∥BC，因为MN⊄平面BCC'B'，BC⊂平面BCC'B'，
所以MN∥平面BCC'B'，因为AC∥A'C'，A'C'=1
2AC=NC，所以四边形A'C'CN 为平行四边形，可得
A'N∥C'C，因为A'N⊄平面BCC'B'，C'C⊂平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因为MN∩A'N=N，MN，
A'N⊂平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D 正确.]
9.5
2
10.点M 与点H 重合(点M 在线段FH 上即可)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN=H，FH，HN⊂平面FHN，DD1，BD⊂平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，
∴MN∥平面B1BDD1.
11.(1)证明 取CD 中点Q，连接MQ，NQ.因为M，N，Q 分别为AB，PC，CD 的中点，
故MQ∥AD，
NQ∥PD，
又MQ⊄平面PAD，
AD⊂平面PAD，
故MQ∥平面PAD，
同理NQ∥平面PAD.
又MQ，NQ⊂平面MNQ，
MQ∩NQ=Q，
故平面MNQ∥平面PAD，
又MN⊂平面MNQ，
故MN∥平面PAD.
(2)解 BC∥l，证明如下.
因为四边形ABCD 为平行四边形，
故AD∥BC，
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
故BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l，
BC⊂平面PBC，
故BC∥l.
12.解 (1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
所以V 三棱锥A-BDE=V 三棱锥E-ABD
=1
3AE·S△ABD
=1
3 × 3
2 × 1
2×2×2=1.
(2)当P 为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD，
连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图，
因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，
又E 为棱AA1的中点，
所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，
所以OE∥平面PA1C，
又P 为棱DD1的中点，所以DP∥A1E 且DP=A1E，所以四边形DPA1E 为平行四边形，
所以DE∥A1P，又DE⊄平面PA1C，A1P⊂平面PA1C，
所以DE∥平面PA1C，又DE∩OE=E，DE，OE⊂平面EBD，
所以平面PA1C∥平面EBD.
13.A [平面A1C1ED 与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D，
所以BB1∥A1D，BB1∥C1E，
因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1，平面ABC∩平面A1C1ED=DE，
所以A1C1∥DE，
故几何体A1B1C1-DBE 为棱柱，设棱柱的高为h，
故V 几何体A1B1C1- DBE=S△DBE·h，且S△DBE=S△A1B1C1，
又D，E 分别是AB，BC 的中点，
则S△ABC=4S△DBE，
由台体体积公式得1
3(S△DBE+S△ABC+√S△DBE·S△ABC)h=7
3S△DBE·h，
故
V 几何体A1B1C1- DBE
V 三棱台A1B1C1- ABC
=3
7 .]
14.1
3
解析 如图，连接BD，交AC 于点O，连接OE，由四边形ABCD 是正方形，得BO=OD，在线段PE 上取
点G，使得GE=ED，由PE=3
5PD，得PG
PE =1
3 ，
连接BG，FG，则BG∥OE，
由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，
得BG∥平面ACE，
而BF∥平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF⊂平面BGF，
因此平面BGF∥平面ACE，
又平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，则GF∥EC，
所以λ= PF
PC = PG
PE =1
3.
