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§7.5 空间直线、平面的垂直
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平
面垂直的判定与性质，并会简单应用.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α 互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一条直线与一个
平面内的两条相交直
线垂直，那么该直线
与此平面垂直
m⊂α
n⊂α
m⋂n= P
l⊥m
l⊥n }
⇒l⊥α
垂直于同一个平面的
两条直线平行
a⊥α
b⊥α}⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线
垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
0°.
(2)范围：[0，π
2].
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β 的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α 和β 内分
别作垂直于棱
l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0
，
π]
.
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一个平面过另一
个平面的垂线，那么
这两个平面垂直
a⊂α
a⊥β}⇒α⊥β
两个平面垂直，如果
一个平面内有一直线
垂直于这两个平面的
交线，那么这条直线
与另一个平面垂直
α ⊥β
α ⋂β =a
l⊥a
l⊂β }
⇒l⊥α
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l 与平面α 内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( × )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
2.(2024·惠州模拟)已知l，n 是两条不同的直线，α，β 是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是( )
A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
答案 D
解析 由l，n 是两条不同的直线，α，β 是不重合的两个平面知，
在A 中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l 与n 平行或异面，故A 错误；
在B 中，若α⊥β，l⊂α，则l 与β 相交、平行或l⊂β，故B 错误；
在C 中，若l∥α，α⊥β，则l 与β 相交、平行或l⊂β，故C 错误；
在D 中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D 正确.
3.(多选)如图，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面直径，C 是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B 重
合)，则下列说法正确的是( )
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P-ABC 的四个面都是直角三角形
答案 ABD
解析 因为PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面直径，C 是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B 重合)，
则PA⊥平面ABC，故A 正确；
而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B 正确；
由A 知，△PAB，△PAC 都是直角三角形，
由B 知，△ABC，△PBC 都是直角三角形，故D 正确；
假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
则AC⊥PC，即∠PCA=90°，
而在△PAC 中∠PAC=90°，矛盾，
所以AC⊥平面PBC 不正确，故C 错误.
4.过平面α 外一点P 的斜线段是过这点的垂线段的2√3
3
倍，则该斜线与平面α 所成的角是 .
答案 π
3
解析 如图，连接AB，
由PB⊥α，
知∠PAB 是斜线PA 与平面α 所成的角，
在Rt△PAB 中，
因为PA=2√3
3
PB，
所以sin∠PAB= PB
PA =√3
2 ，
又∠PAB∈(0，π
2)，所以∠PAB=π
3 ，
即斜线PA 与平面α 所成的角为π
3 .
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直
线面垂直
面面垂直
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E 为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形.
证明 (1)如图，在平面ABC 内取一点D，过点D 作DF⊥AC 于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC，所以DF⊥平面PAC.
因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D 作DG⊥AB 于点G，
同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE 并延长交PC 于点H.
因为点E 是△PBC 的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以PC⊥AE.
因为AE∩BH=E，AE，BH⊂平面ABE，
所以PC⊥平面ABE.
又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC 是直角三角形.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平
行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E 是PC 的中点，
证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD 中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，
可得AC=PA.
∵E 是PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD 且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD 和ABEF 的组合图，将直角梯形ABEF 沿底边AB 翻
折，得到如图2 所示的几何体.已知AB∥CD∥EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，点N 在线段CE 上，且
EN=2NC.在几何体BCE-ADF 中，解决下面问题.
(1)证明：AE∥平面BND；
(2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD.
证明 (1)如图，连接AC 与BD 相交于O，连接ON，
由于AB=2CD，且AB∥CD，
所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2，
又EN=2NC，所以ON∥AE，
又AE⊄平面BND，ON⊂平面BND，
所以AE∥平面BND.
(2)过C 作CM⊥BD 于M，
由于平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，CM⊂平面ABCD，
所以CM⊥平面BED，又BE⊂平面BED，故CM⊥BE，
又AB⊥BE，AB，CM 是平面ABCD 内的两相交直线，所以BE⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，故BE⊥AD.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相
交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
(3)[三垂线定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就
和这条斜线垂直.
(4)[三垂线定理的逆定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线
在平面内的射影垂直.
跟踪训练2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C 的高.
(1)证明 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC，
又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，
因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为BC⊂平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.
因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C 的高为A1O.
因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，
在Rt△ABC 与Rt△A1BC 中，
因为A1B=AB，BC=BC，
所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，
所以A1C=AC.
设A1C=AC=x，则A1C1=x，
所以O 为CC1的中点，OC1=1
2AA1=1，
又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=AA1
2，
即x2+x2=22，解得x=√2，
所以A1O=√A1C1
2-OC1
2=√(√2)
2-1
2=1，
所以四棱锥A1-BB1C1C 的高为1.
题型三 垂直关系的综合应用
命题点1 线面角与二面角
例3 (多选)把边长为√2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体
积最大时( )
A.AB⊥CD
B.直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π
4
C.二面角A-BD-C 的余弦值为-1
3
D.四面体ABCD 的内切球的半径为2-√3
答案 BCD
解析 如图所示，当平面BAC⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，记E 为AC 的中点，连接BE，DE，此时
DE⊥平面BAC，因为AB⊂平面BAC，所以AB⊥DE，因为CD∩DE=D，所以AB 与CD 不垂直，A 错误；
对于B，直线BD 和平面ABC 所成的角即为∠EBD，因为tan∠EBD= ED
BE =1，故∠EBD=π
4 ，B 正确；
对于C，由于BC=CD=BA=AD，取BD 的中点G，连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA 为二
面角A-BD-C 的平面角.则
cos∠CGA= A G
2+C G
2- A C
2
2 AG·CG
=
3
2 + 3
2 - 4
2× √6
2 × √6
2
=-1
3，C 正确；
对于D，设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知，
V 四面体ABCD=V 三棱锥I-ABC+V 三棱锥I-BCD+V 三棱锥I-ACD+V 三棱锥I-ABD=1
3rS 四面体ABCD，
其中，V 四面体ABCD=1
3BE·S△ACD=1
3，
S 四面体ABCD=2×(
1
2 ×2×1+ 1
2 ×√2× √6
2 )=√3+2，
故r=3V 四面体ABCD
S四面体ABCD
=
1
√3+2=2-√3，D 正确.
三余弦定理cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
已知AO 是平面α 的斜线，如图，A 是斜足，OB⊥α，B 是垂足，则直线AB 是斜线AO 在平面α 内的射影，
设AC 是α 内的任一过点A 的直线，且BC⊥AC，C 为垂足，又设AO 与直线AB 所成的角为θ1，AB 与AC
所成的角是θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2.
典例 已知PA 是平面α 的斜线，∠BAC 在平面α 内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA 与
平面α 所成的角为 .
答案 45°
解析 如图，作P 在α 内的正射影O，则O 在∠BAC 的平分线上，∠PAO 为PA 与平面α 所成的角，
所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，
所以cos 60°＝cos∠PAO·cos 45°，
所以cos∠PAO＝√2
2 ，故∠PAO＝45°，
所以PA 与平面α 所成的角为45°.
命题点2 垂直关系中的存在性问题
例4 如图①，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB.沿DE 将△AED 折起到
△A1ED 的位置.连接A1B，A1C，M，N 分别为A1C，BE 的中点，连接MN，如图②.
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B 上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出A1G
GB 的值；若不存在，请说明理
由.
(1)证明 ∵在直角梯形ABCD 中，DE⊥AB，沿DE 将△AED 折起到△A1ED 的位置，
∴DE⊥A1E，DE⊥BE.
∵A1E∩BE=E，A1E，BE⊂平面A1BE，
∴DE⊥平面A1BE，
又A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B.
(2)证明 取CD 的中点H，连接NH，MH，如图.
∵M，N 分别为A1C，BE 的中点，
∴MH∥A1D，NH∥DE.
∵MH⊄平面A1ED，A1D⊂平面A1ED，
∴MH∥平面A1ED，
∵NH⊄平面A1ED，DE⊂平面A1ED，
∴NH∥平面A1ED，
又NH∩MH=H，NH，MH⊂平面MNH，
∴平面A1ED∥平面MNH，
又MN⊂平面MNH，
∴MN∥平面A1ED.
(3)解 取A1B 的中点G，连接EG，如图.
在直角梯形ABCD 中，AB⊥BC，DE⊥AB，
∴BC∥DE，
∵AB=2CD，
∴AE=BE，即A1E=BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
又EG⊂平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，
∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B 上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时A1G
GB =1.
思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质
进行推理论证.
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F 分别是BC，AC 的中点.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF 与平面ABD 所成角的正切值.
(1)证明 取BD 的中点O，连接AO，CO，如图，
在△BCD 中，∵CB=CD，
∴CO⊥BD，
同理AO⊥BD，
而AO∩CO=O，AO，CO⊂平面AOC，
∴BD⊥平面AOC，
又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD.
(2)解 由(1)知CO⊥BD，
∵平面CBD⊥平面ABD，平面CBD∩平面ABD=BD，CO⊂平面CBD，
∴CO⊥平面ABD，
取AO 的中点N，连接FN，BN，如图，
易知CO∥FN，故FN⊥平面ABD，
故∠FBN 是直线BF 与平面ABD 所成的角，
∵CB=CD=BD，
∴△BCD 是等边三角形，
设BC=2a，则BO=a，CO=√3a，
在Rt△ABD 中，AB=AD，
∴AO=1
2BD=a，NO=1
2AO=1
2a，
∴FN=1
2CO=√3
2 a，
BN=√BO
2+ N O
2=√5
2 a，
故tan∠FBN= FN
BN =
√3
2 a
√5
2 a
=√15
5 ，
∴直线BF 与平面ABD 所成角的正切值为√15
5 .
课时精练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·邯郸模拟)已知α，β 是不重合的两个平面，m，n 是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”
是“m⊥β”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 用平面ADFE 代表平面α，平面ABCD 代表平面β，
当m⊥n 如图所示时，显然m 与平面β 不垂直，
反之，当m⊥β 时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，
所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.
2.已知m，l 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β 的是( )
A.m⊥l，m⊂β，l⊥α
B.m⊥l，α∩β=l，m⊂α
C.m∥l，m⊥α，l⊥β
D.l⊥α，m∥l，m∥β
答案 D
解析 对于A，有可能出现α，β 平行或相交但不垂直的情况，故A 错误；
对于B，会出现平面α，β 相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β，则α∥β，故C 错误；
对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D 正确.
3.若某圆锥的侧面积为底面积的√5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A.2
B.3
C.√2
D.√5
答案 A
解析 设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=√5πr2⇒l=
√5r，
由勾股定理可得圆锥的高h=√5r
2-r
2=2r，
所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tan θ=h
r =2.
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC 上的射影H 必在( )
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部
答案 A
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上.
5.(2024·北京模拟)在正四棱锥P-ABCD 中，AB=2，二面角P-CD-A 的大小为π
4 ，则该四棱锥的体积为( )
A.4
B.2
C.4
3
D.2
3
答案 C
解析 连接AC，BD 相交于点H，则H 为正方形ABCD 的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD 的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=1
2AD=1，
故∠PQH 为二面角P-CD-A 的平面角，
所以∠PQH=π
4 ，
故PH=HQ=1，
所以该四棱锥的体积为1
3×AB2·PH=4
3 .
6.如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
答案 D
解析 由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
故SD⊥AC，
又四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，
即AC⊥BD，
而SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A 正确；
SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD，
又四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，
即AD⊥CD，
而SD∩CD=D，SD，CD⊂平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，
故AD⊥SC，B 正确；
由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，C 正确；
SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
故SD⊥BD，
若BD⊥SA，
而SD∩SA=S，SD，SA⊂平面SAD，
故BD⊥平面SAD，又AD⊂平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA=90°，
这与正方形ABCD 中∠BDA=45°矛盾，D 错误.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ 是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m
B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m
D.若l⊥m，则α⊥β
答案 ABD
解析 若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m 或l 与m 相交，故A 错误；
若l∥m，则α∥β 或α 与β 相交，故B 错误；
若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C 正确；
若l⊥m，则α 与β 相交，不一定是垂直，故D 错误.
8.在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线AB1与CD 所成角的大小为45°
B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为√3
3
D.二面角C1-AD-B 的大小为45°
答案 ACD
解析 如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD 所成的角为∠BAB1=45°，A 正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB=2，BC1=√2BC=2√2，AC1=√3AB=2√3，所以AB2+BC1
2=AC1
2，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1=BC1
AB =√2，故∠BAC1≠45°，B 错误；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1=
B1C1
A C1
=√3
3 ，
因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为√3
3 ，C 正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B 的平面角为∠CDC1=45°，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m 为两条不同的直线，则l，m 的位置
关系是 .
答案 平行
解析 依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.
10.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，M 是BD 的中点，MA=1 且MC=2，若二面角A-
BD-C 的大小为120°，则点A 到点C 的距离为 .
答案 √7
解析 如图所示，连接AC，
因为AB=AD，CB=CD 且M 为BD 的中点，所以MA⊥BD，MC⊥BD，
所以∠AMC 为二面角A-BD-C 的平面角，可得∠AMC=120°，
在△AMC 中，因为MA=1，MC=2 且∠AMC=120°，
可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos 120°=1+4-2×1×2×(- 1
2)=7，
所以AC=√7.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD 沿对角线BD
折起，记折起后点A 的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；(6 分)
(2)平面PBC⊥平面PCD.(7 分)
证明 (1)因为AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.
又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，
得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
12.(14 分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N 分别为A'B 和
B'C'的中点.
(1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7 分)
(2)设AB=λAA'，当λ 为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7 分)
(1)证明 取AB 的中点D，BC 的中点E，连接MD，DE，NE，
则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，
则NE 与MD 共面，
又DE⊄平面AA'C'C，AC⊂平面AA'C'C，
所以DE∥平面AA'C'C，
又MD⊄平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C，
所以MD∥平面AA'C'C，
又MD∩DE=D，MD，DE⊂平面DMNE，
所以平面DMNE∥平面AA'C'C，
又MN⊂平面DMNE，
所以MN∥平面AA'C'C.
(2)解 连接BN，不妨设AA'=1，
则AB=AC=λAA'=λ，
所以BC=√A B
2+ A C
2=√2λ，
因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，
所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，
因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，
又点N 是B'C'的中点，所以A'N⊥B'C'，
又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N⊂平面A'B'C'，
所以A'N⊥平面BB'C'C，
又CN⊂平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，
要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN 即可，
又因为CN=BN=√
1
2+(
√2
2 λ)
2
，
所以CN2+BN2=BC2，
即2[1
2+(
√2
2 λ)
2
]=(√2 λ)
2，
所以λ=√2(负值舍去)，
即当λ=√2时，CN⊥平面A'MN.
13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为52
3 ，AB=6，A1B1=2，则A1A 与平面ABC 所成角
的正切值为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.3
答案 B
解析 方法一 分别取BC，B1C1的中点D，D1，
则AD=3√3，A1D1=√3，
可知S△ABC=1
2×6×3√3=9√3，
S△A1B1C1=1
2×2×√3=√3，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则V 三棱台ABC - A1B1C1=1
3×(9√3+√3+√9√3×√3)h=52
3 ，解得h=4√3
3
，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
设AM=x，
则AA1=√A M
2+ A1 M
2=√x
2+ 16
3 ，
DN=AD-AM-MN=2√3-x，
可得DD1=√D N
2+ D1 N
2
=√(2√3- x)
2+ 16
3
，
结合等腰梯形BCC1B1可得
BB1
2=(
6-2
2 )
2
+DD1
2，
即x2+16
3 =(2√3-x)2+16
3 +4，
解得x=4√3
3
，
所以A1A 与平面ABC 所成角的正切值为
tan∠A1AD= A1 M
AM =1.
方法二 将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
则A1A 与平面ABC 所成的角即为PA 与平面ABC 所成的角，
因为P A1
PA = A1B1
AB =1
3，
则
V 三棱锥P - A1B1C1
V 三棱锥P - ABC
= 1
27 ，
可知V 三棱台ABC - A1B1C1=26
27V 三棱锥P-ABC=52
3 ，
则V 三棱锥P-ABC=18，
设正三棱锥P-ABC 的高为d，
则V 三棱锥P-ABC=1
3d×1
2×6×6×√3
2 =18，
解得d=2√3，
取△ABC 的中心为O，
则PO⊥底面ABC，
且AO=2√3，
所以PA 与平面ABC 所成角的正切值
tan∠PAO= PO
AO=1.
14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E
分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是( )
A.DE∥平面ABB1A1
B.AD⊥平面BCC1
C.直线AD 与直线DE 的夹角为π
3
D.若∠BAC=π
6 ，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为π
3
答案 ABD
解析 因为D，E 分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB，
又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A 正确；
因为AC1⊥平面A1B1C1，所以AC1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以AC1⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，所以BC⊥平面ABC1，
又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD，
因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B 正确；
由于D 为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB，因此△ABC1是等腰直角三角形.
E 是AC1的中点，则∠ADE=π
4 ，故直线AD 与直线DE 的夹角为π
4 ，故C 错误；
连接AB1，如图所示，
由于AC1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，
所以A1B1⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，则A1B1⊥AB1，因此二面角B-A1B1-C1的平面角为∠AB1C1，
由于∠BAC=π
6 ，因此AB=√3BC，由C 项分析知AB=AC1，则AC1=√3B1C1，因此∠AB1C1=π
3 ，故D 正确.
