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第九章 统计与成对数据的统计分析
§9.1 随机抽样、统计图表
【考情分析·探规律】
考点
考情分析
（2021-2024）
命题趋势
考点1 随机抽样
2023·全国新Ⅱ
卷
了解获取数据的基本途径；会用简单随机抽样的方
法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样；能根据实际
问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的
重要性是新高考卷的常考内容，需重点强化复习
考点2 图表类统计图综合
2022·天津卷
2021·天津卷
2021·全国甲卷
【知识梳理】
1.总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查
对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体
数称为样本容量，简称样本量.
2.简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
3.分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样
方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
【名师点拨】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.分层随机抽样是按比【典例】抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
3.频率分布直方图中小长方形高＝.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法.( )
(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
2.从某年级500 名学生中抽取60 名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是(
)
A.该年级500 名学生的体重是总体
B.该年级每名学生的体重是个体
C.抽取的60 名学生的体重是一个样本
D.抽取的60 名学生的体重是样本容量
3.“中国天眼”为500 米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大、最灵敏的单口径射
电望远镜.建造“中国天眼”的目的是( )
A.通过调查获取数据
B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据
D.通过查询获取数据
4.从某校随机抽取某次数学考试100 分以上(含100 分，满分150 分)的学生成绩，将他们的分数绘制成如图
所示的频率分布直方图.若共抽取了100 名学生的成绩，则分数在[120，130)内的人数为 .
【必练核心题型】
题型一 抽样方法
【典例】1.现要用随机数法从总体容量为240(编号为001 到240)的研究对象中挑选出50 个样本，则在
下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为( )
32451 74491 14562 16510 02456 89640
56816 55464 41630 85621 05214 84513
12541 02145
A.5
B.44
C.165
D.210
【典例】2.为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲、乙、丙3 地的空气质量进行调查，按
地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为20，y，z，且
依次构成等差数列，而20，y－10，z 成等比数列，若用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取
30 个观测点，则丙地应抽取观测点的个数为( )
A.18
B.16
C.10
D.4
【变式训练】
变式1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某医院从200 名医生中，挑选出50 名最优秀的医生去参加培训
B.从10 部手机中逐个不放回地随机抽取2 部进行质量检验
C.从空间直角坐标系中抽取10 个点作为样本
D.饮料公司从仓库中的500 箱饮料中一次性抽取前10 箱进行质量检查
变式2.某电影上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区
共有居民480 人，其中老年人200 人，中年人200 人，青少年80 人，若按年龄进行按比【典例】分配
的分层随机抽样，共抽取36 人作为代表，则中年人比青少年多( )
A.6 人
B.9 人
C.12 人
D.15 人
题型二 统计图表
【典例】1.(多选)根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10 小时，初中生应
达到9 小时，高中生应达到8 小时.某机构调查了1 万名学生睡眠及学习的时间，利用信息得出如图所
示的折线图，则以下判断错误的有( )
A.高三年级学生平均学习时间最长
B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
【典例】2.(多选)如图为某市2024 年第二季度全市居民人均消费支出构成图.已知城镇居民人均消费支
出7 924 元，与上一年同比增长4.4%；农村居民人均消费支出4 388 元，与上一年同比增长7.8%，则
关于2024 年第二季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是( )
A.2024 年第二季度该市居民人均消费支出6 393 元
B.居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50%
C.城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D.医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6%
【变式训练】
变式1.(多选)(2025·商洛模拟)如图，是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这
五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是( )
A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分
B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等
C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低
D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分
变式2.(多选)给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有( )
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050 年非洲人口大约将达到13 亿
C.2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957 年到2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢
题型三 频率分布直方图
【典例】1.某中学随机抽取50 名学生进行体能测试，其得分(满分100 分)如下(单位：分)：
48 64 52 86 71 48 64 41 86 79
71 68 82 84 68 64 62 68 81 57
90 52 74 73 56 78 47 66 55 64
56 88 69 40 73 97 68 56 67 59
70 52 79 44 55 69 62 58 32 58
根据上面的数据，回答下列问题：
(1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？
(2)将区间[30，100]平均分成7 个小区间，试列出这50 名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频
率分布直方图和频率分布折线图.
【变式训练】
变式1.某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60 名学生的成绩，分成[40，
50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图
所示，观察图形，回答下列问题：
(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200 名居民的阅读时间
进行统计分析.在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体
B.个体
C.样本容量
D.从总体中抽取的一个样本
2.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10 名同学中抽取3 人参加座谈会
B.红星中学共有学生1 600 名，其中男生840 名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为
200 的样本
C.从1 000 名工人中抽取100 人调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上抽取样本检查产品质量
3.把过期的药品随意丢弃，会对土壤和水体造成污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机
对若干家庭进行调查，调查结果如图所示，其中对过期药品处理不正确的家庭有( )
A.79%
B.80%
C.18%
D.82%
4.为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况.将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图).已知
图中从左到右的前3 个小组的频率之比为1∶2∶3，第1 小组的频数为4，则某校报考飞行员的学生总人数
是( )
A.40
B.32
C.28
D.24
5.已知全国农产品批发价格200 指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是( )
A.全国农产品夏季价格比冬季低
B.全国农产品批发价格200 指数2023 年每个月逐渐增加
C.2023 年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200 指数的变化趋势基本保持一致
D.2023 年6 月农产品批发价格200 指数大于116
6.“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81 天，“数九”结束，天气就
变得温暖起来.如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023~2024 年从“一九”到“九九”成都市的
“平均气温”和“多年平均气温”(单位：℃)，下列说法正确的是( )
A.“四九”以后成都市“平均气温”一直上升
B.“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1 ℃
C.“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
D.“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600 人，选物化地组合
的学生有400 人，选政史地组合的学生有250 人，其他组合均无人选.现从高一学生中选取25 人作样本调
研情况.为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是( )
A.用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为12 人
B.用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为5 人
C.物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D.政史地组合学生小刘被选中的概率为1
50
8.某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程，
每个学生从中选择一门课程学习.现对该校5 000 名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用按比【典
例】分配的分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正
确的是( )
A.满意率调查中抽取的样本容量为5 000
B.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1 250
C.该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875
D.若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则a＝70
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.一个总体的60 个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一个容量为6 的样本，请从下面给出的随机
数表的第1 行第10 列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是 .
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84
25 39
10.在结束了380 课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师根据数学内容所占课时比【典例】，绘制如图所
示的统计图表(图1~图3)，请根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)图1 中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
(2)图2，3 中的a＝ ，b＝ .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查
了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n<3 时，
为“偏少”；当3≤n<5 时，为“一般”；当5≤n<8 时，为“良好”；当n≥8 时，为“优秀”，现将调查
结果统计后绘制成不完整的统计图表：
阅读本数n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数/名
1
2
6
7
12
x
7
y
1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)求出本次随机抽取的学生总人数；(4 分)
(2)分别求出统计表中的x，y 的值；(4 分)
(3)估计该校九年级400 名学生中为“优秀”档次的人数.(5 分)
12.(15 分)(2023·新高考全国Ⅱ)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明
显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判
定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性
的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c 和误诊率q(c)；(6 分)
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值.(9 分)
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是(
)
(注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对)
A.2024 年1~2 月份，商品零售总额同比增长9.2%
B.2023 年3~12 月份，餐饮收入总额同比都降低
C.2023 年6~10 月份，商品零售总额同比都增加
D.2023 年12 月，餐饮收入总额环比增速为－14.1%
14.每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸
道疾病等，给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民(问
卷调查表如下表所示)，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示).
治理杨絮——您选哪一项？(单选)
a.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
b.调整树种结构，逐渐更换现有杨树
c.选育无絮杨品种，并推广种植
d.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
e.其他
由两个统计图可知，选择d 的人数和扇形图中e 的圆心角分别为( )
A.500，28.8°
B.250，28.6°
C.500，28.6°
D.250，28.8°
