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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之概率（三）
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•宜宾）某校组织全校1000 名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m 名学
生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D 四组，绘制出以下不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）m＝ ，补全条形统计图；
（2）根据竞赛成绩，C、D 组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；
（3）竞赛中有2 名女生和1 名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2 名学生代表学校参加下一轮
竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1 名男生和1 名女生的概率．
2．（2026•内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，
组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与
测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；
C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C 的扇形圆心角α 为 度；
（3）现从成绩等级为A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2 名学生，担任学校的“内江本土文化
宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．
3．（2026•新疆）为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游
客，调查人均日消费金额．统计情况如表：
【数据收集与整理】
组别
人均日消费金额
组中值
频数
频率
2
x（元）
A
0≤x＜200
100
20
0.1
B
200≤x＜400
300
60
0.3
C
400≤x＜600
500
a
0.4
D
600≤x＜800
700
30
b
E
800≤x＜1000
900
10
0.05
【数据描述】
【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数；
（4）从D 组、E 组中各选取2 人，在这4 人中再随机抽取2 人进行访谈，请利用列表法或树状图法求
这2 人恰好来自同一组别的概率．
4．（2026•福建）一个不透明的盒子中有1 个标号为0 的黄球a0，2 个标号分别为1，2 的红球b1，b2，1
个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别．
（1）从盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球．求摸出的2 个球颜色不同且标号之
和小于4 的概率．
5．（2026•广安）为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加
该镇开发的四个项目：A．参加烟花秀表演B．体验造纸过程C．制作印刷模板D．自制指南针．学校
为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完
整的统计图：
3
（1）本次抽取的样本容量是 ，扇形统计图中A 对应圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参
加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
6．（2026•扬州）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．
山药，每名学生随机选择其中一种．
（1）小慧选择玉米的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．
7．（2026•江西）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、
巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“
”表示
阳爻，“
”表示阴爻．
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是
；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个
卦象至少有一个阳爻的概率．
8．（2026•甘肃）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别
为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是 ；
（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记
下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．
9．（2026•乐山）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．
《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况
（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．
课程
内容
人数
4
A
《论语》
21
B
《史记》
9
C
《天工开物》
12
D
《九章算术》
m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，表中m 的值为 ；
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选
到课程A 和课程B 的概率．
10．（2026•苏州）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活
动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：
项目
主题
A
红色光影——革命事迹影展
B
红色工坊——袖章主题手作
C
红色出发——重走红色五卅
D
红色讲述——苏州解放故事
甲、乙两位同学分别从A、B、C、D 四个项目中任意选择一个项目参加．
（1）甲同学选择项目C 的概率为 ；
（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）
11．（2026•眉山）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务
时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整
理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D 表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情
况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并
根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
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根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数是 人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为
°，估计全校2400 名学生中最喜欢C 课程的人数约为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用
画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
12．（2026•烟台）AI 技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI 自习教室，引进了“数
字人模型”和“AI 助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进
行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10 的整数，单位：分），并随机抽取了20 份调
查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别
平均数/分
中位数/分
众数/分
数字人模型
a
b
7
AI 助教模型
8
8
c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ；
（2）运营商准备对“AI 助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20 份调查问卷中，有2 名男生和1
名女生对该模型的评分为6 分，现从这3 人中随机抽取2 人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽
到2 名男生的概率．
13．（2026•山东）某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小
6
组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图
②读书长廊地面没铺设计
③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线
⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
A．查阅文献
B．上网查询
C．同伴合作
D．寻求指导
E．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息1 将问题1 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2 将问题2 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的方
式
A
B
C
D
E
选择人数
32
41
33
35
28
信息3 问题3 调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500 名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用
列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
14．（2026•凉山州）五彩凉山，气候宜人，物产丰富，尤其水果深受广大消费者喜爱．为了解时令水果
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受喜爱情况，随机抽取部分消费者对最喜爱的时令水果进行调查（A 类为樱桃，B 类为蓝莓，C 类为葡
萄，D 类为枇杷，E 类为其他，每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息回答：
（1）本次调查的总人数为 人；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中a＝ ，及B 类对应扇形的圆心角度数为
；
（3）质检员从A、B、C、D 四类水果中随机选择两类检测含糖量，用列表或画树状图的方法，求选择
的两类水果恰好是B 类和D 类的概率．
15．（2026•连云港）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP 形象．小明
将关于地域特产的4 个IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成4 个玩具盲盒，
每个盲盒中只有1 个IP 形象玩具．
（1）若从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是 （填序号）；
①必然事件
②随机事件
③不可能事件
（2）若从这4 个盲盒中随机抽取2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和
“D 东海水晶”的概率．
16．（2026•自贡）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排
球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计
图如下：
8
（1）本次投票共 人参与，其中“乒乓球”所占百分比为 ，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4 名同学（两男两女），从这4 人中随机抽取两人参加比赛，
请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．
17．（2026•南充）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列
艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m 名队员的成绩，分成以下五组：
A 组（50≤x ＜60 ），B 组（60≤x ＜70 ），C 组（70≤x ＜80 ），D 组（80≤x ＜90 ），E 组
（90≤x≤100）．
并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
m 名队员比赛成绩的中位数落在 组（选填组名）．
（2）从E 组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的
方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
18．（2026•遂宁）某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：
A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学生对这
四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，
依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：
9
（1）本次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中m＝ ，心理疗愈音乐会对应扇形
圆心角的度数为 度；
（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是 ；（请选择填写A、B、C、D）
（3）请估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数；
（4）学校从B、D 小组选了4 名代表（每组各两名），决定从这4 名代表中选2 名作活动感悟分享．
请用画树状图或列表的方法，求选出的2 名代表来自不同组的概率．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之概率（三）
参考答案与试题解析
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•宜宾）某校组织全校1000 名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m 名学
生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D 四组，绘制出以下不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）m＝
50
，补全条形统计图；
（2）根据竞赛成绩，C、D 组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；
（3）竞赛中有2 名女生和1 名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2 名学生代表学校参加下一轮
竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1 名男生和1 名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）50；
（2）全校优秀的人数约为680 人；
（3）2
3．
【分析】（1）利用B 组人数和B 组所占的百分比即可求出m，用总人数减去A、B、D 组人数即可求出
C 组人数，补全统计图即可；
（2）用总人数乘以样本中C、D 组人数占比即可；
（3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好抽到1 个男生和1 个女生的结果数，然后利用概率
公式求解．
【解答】解：（1）m＝10÷20%＝50（人），
C 组的人数有：50﹣6﹣10﹣16＝18（人），
补全统计图如下：
11
故答案为：50；
（2）1000× 18+16
50
=680（人），
答：全校优秀的人数约为680 人；
（3）列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有6 种，恰好抽到1 名男生和1 名女生的结果有4 种，
∴恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率为4
6 = 2
3．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2026•内江）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，
组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与
测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；
C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了
50
名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C 的扇形圆心角α 为
72
度；
（3）现从成绩等级为A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2 名学生，担任学校的“内江本土文化
12
宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据观念；应用意识．
【答案】（1）50；
（2）72．
（3）1
6．
【分析】（1）用条形统计图中B 的人数除以扇形统计图中B 的百分比可得调查的人数；求出C 等级的
人数，补全条形统计图即可．
（2）用360°乘以C 的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【解答】解：（1）本次随机抽样调查一共抽取了20÷40%＝50（名）学生．
C 等级的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：50．
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C 的扇形圆心角α 为360°× 10
50 =72°．
故答案为：72．
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，
乙）
（甲，
丙）
（甲，丁）
乙
（乙，
甲）
（乙，
丙）
（乙，丁）
13
丙
（丙，
甲）
（丙，
乙）
（丙，丁）
丁
（丁，
甲）
（丁，
乙）
（丁，
丙）
共有12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共
2 种，
∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为2
12 = 1
6．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树
状图法是解答本题的关键．
3．（2026•新疆）为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游
客，调查人均日消费金额．统计情况如表：
【数据收集与整理】
组别
人均日消费金额
x（元）
组中值
频数
频率
A
0≤x＜200
100
20
0.1
B
200≤x＜400
300
60
0.3
C
400≤x＜600
500
a
0.4
D
600≤x＜800
700
30
b
E
800≤x＜1000
900
10
0.05
【数据描述】
【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝
80
，b＝
0.15
；
（2）补全频数分布直方图；
（3）用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数；
（4）从D 组、E 组中各选取2 人，在这4 人中再随机抽取2 人进行访谈，请利用列表法或树状图法求
这2 人恰好来自同一组别的概率．
【考点】列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数
14
（率）分布直方图；加权平均数．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）80；0.15；
（2）补图如下：
（3）450 元；
（4）1
3．
【分析】（1）求出样本容量，减去已知几个组的人数即可求出a 的值；用600≤x＜800 组的人数除以
样本容量即可求出b 的值；
（2）根据（1）中结果补图即可；
（3）根据加权平均数定义求解即可；
（4）根据题意画出树状图，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式
即可求解．
【解答】解：（1）样本容量为20÷0.1＝200，
∴a＝200﹣20﹣60﹣30﹣10＝80，
b＝30÷200＝0.15；
故答案为：80；0.15；
（2）补全条形统计图如下：
（3）根据加权平均数定义可得：
15
1
200 ×(100×20+300×60+500×80+700×30+900×10)= 450，
答：估计这一天游客人均日消费金额的平均数450 元；
（4）记D 组两人为D1、D2；E 组两人为E1、E2，
画树状图如下：
共12 种等可能结果，其中2 人恰好来自同一组别的结果为4 种，
∴2 人恰好来自同一组别的概率为4
12 = 1
3．
【点评】本题考查了条形统计图、列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2026•福建）一个不透明的盒子中有1 个标号为0 的黄球a0，2 个标号分别为1，2 的红球b1，b2，1
个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别．
（1）从盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球．求摸出的2 个球颜色不同且标号之
和小于4 的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）1
4 ；
（2）1
2．
【分析】（1）由概率公式直接可得答案；
（2）列表求出所有可能的情况和符合条件的结果个数，再用概率公式计算．
【解答】解：（1）∵从盒子中随机摸出1 个球共有4 种结果，且每种结果出现的可能性相同，
∴摸出的球是黄球的结果有1 种，
∴摸出的球是黄球的概率为1
4 ；
（2）从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球，列表如下：
黄球a0
红球b1
红球b2
白球c3
黄球a0
—
（a0，b1）
（a0，b2）
（a0，c3）
红球b1
（b1，a0）
—
（b1，b2）
（b1，c3）
红球b2
（b2，a0）
（b2，b1）
—
（b2，c3）
白球c3
（c3，a0）
（c3，b1）
（c3，b2）
—
16
共有12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2 个球的颜色不同且标号之和小于4 的结
果共有6 种：（a0，b1），（a0，b2），（a0，c3），（b1，a0），（b2，a0），（c3，a0），
∴摸出的2 个球颜色不同且标号之和小于4 的概率为6
12 = 1
2．
【点评】本小题考查随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、数据观念、
模型观念、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想等．
5．（2026•广安）为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加
该镇开发的四个项目：A．参加烟花秀表演B．体验造纸过程C．制作印刷模板D．自制指南针．学校
为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完
整的统计图：
（1）本次抽取的样本容量是
300
，扇形统计图中A 对应圆心角的度数是
144°
；
（2）请补全条形统计图；
（3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参
加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；概率公式．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．
【答案】（1）300，144°；
（2）补全条形统计图如下：
（3）2
3．
【分析】（1）根据参加A 项目的人数和所占的比例，即可得出本次抽取的样本容量，再将360°乘以参
加A 项目所占百分比即可得解；
（2）先求出参加B 项目人数，然后补全条形统计图即可；
（3）列表得出共有12 种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的共有8 种结果，再由概率
公式计算即可．
17
【解答】解：（1）本次抽取的样本容量是120÷40%＝300，
扇形统计图中A 对应圆心角的度数是360°×40%＝144°，
故答案为：300，144°；
（2）参加B 项目人数为：300﹣（120+90+60）＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）
共有12 种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的共有8 种结果，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为8
12 = 2
3．
【点评】此题考查的是用列表法与树状图法、扇形统计图以及条形统计图等知识．列表法与树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两
步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（2026•扬州）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．
山药，每名学生随机选择其中一种．
（1）小慧选择玉米的概率是 1
3 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】(1) 1
3；
（2）2
3．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
18
【解答】解：（1）由题意可知，共有3 种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1 种，
因此小慧选择玉米的概率为1
3，
故答案为：1
3；
（2）画树状图为：
由树状图可知一共有9 种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6 种，
小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是6
9 = 2
3．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．（2026•江西）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、
巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“
”表示
阳爻，“
”表示阴爻．
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 3
8 ；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个
卦象至少有一个阳爻的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】（1）3
8；
（2）1
2．
【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳义的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d，根据列表法或画树状图法求解即可．
【解答】解：（1）共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
19
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是：3
8，
故答案为：3
8；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d．
列表法：
第二卦象\第一卦
象
a
b
c
d
a
—
（b，a）
（c，a）
（d，a）
b
（a，b）
—
（c，b）
（d，b）
c
（a，c）
（b，c）
—
（d，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）
—
第一卦象：abcd，
第二卦象：b，c，da，c，da，b，da，b，c，
由表或树状图可得，总共有12 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，
其中满足条件的结果有：（a，c），（a，d），（c，a），（c，d），（d，a），（d，c）共6 种，
所以所求概率为P= 6
12 = 1
2．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026•甘肃）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别
为﹣3，﹣2，2，6，将四张卡片正面向下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是 1
2 ；
（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记
下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．
【考点】列表法与树状图法；实数的运算；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】（1）1
2；
（2）3
8．
【分析】（1）根据题意，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上的实数之积为负数的结果数，再利用概率
公式可得出答案．
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，共有4 种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2
种，故P= 2
4 = 1
2，
20
故答案为：1
2；
（2）列表如下：
第一次
第二次
﹣3
﹣2
2
6
﹣3
﹣6
﹣5
﹣1
3
﹣2
﹣5
﹣4
0
4
2
﹣1
0
4
8
6
3
4
8
12
∵共有16 种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6 种，
∴P（抽取的两张卡片上实数之和为负数）= 6
16 = 3
8．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，实数的运算，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关
键．
9．（2026•乐山）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．
《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况
（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．
课程
内容
人数
A
《论语》
21
B
《史记》
9
C
《天工开物》
12
D
《九章算术》
m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有
60
人，表中m 的值为
18
；
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选
到课程A 和课程B 的概率．
【考点】列表法与树状图法；统计表；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】（1）60，18；
（2）1
6．
【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；
（2）利用画树状图法或列表法求解即可；
21
【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有12÷20% ＝60（人），
故表中m 的值为60﹣21﹣9﹣12＝18，
故答案为：60，18；
（2）由题可列表：
第一次第二次
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
∴P（恰好选到课程A 和课程B)= 1
6 ．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，统计表，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．（2026•苏州）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活
动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：
项目
主题
A
红色光影——革命事迹影展
B
红色工坊——袖章主题手作
C
红色出发——重走红色五卅
D
红色讲述——苏州解放故事
甲、乙两位同学分别从A、B、C、D 四个项目中任意选择一个项目参加．
（1）甲同学选择项目C 的概率为 1
4 ；
（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）1
4 ；
（2）1
4 ．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有16 种等可能的结果，再找出甲、乙两位同学选择相同项目的结果数，然后
22
根据概率公式求解．
【解答】解：（1）甲同学选择项目C 的概率为1
4 ；
故答案为：1
4 ；
（2）画树状图为：
共有16 种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果数为4，
甲、乙两位同学选择相同项目的概率= 4
16 = 1
4 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．
11．（2026•眉山）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务
时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整
理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D 表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情
况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并
根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数是
120
人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为
36
°，估计全校2400 名学生中最喜欢C 课程的人数约为
720
人；
（2）补全条形统计图；
（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用
画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
23
【答案】（1）120，36，720；
（2）
；
（3）1
6．
【分析】（1）先用喜欢B 课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；再用360°乘以喜欢D 课
程的人数所占的百分比得到扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小；然后用2400 乘以样本中喜欢
C 课程的人数所占的百分比，从而可估计全校2400 名学生中最喜欢C 课程的人数；
（2）利用喜欢A 课程和C 考查的人数补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12 种等可能的结果，再找出选到甲和乙两位同学的结果数，然后根据概率公
式求解．
【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为42÷35%＝120（人），
扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角＝360°× 12
120 =36°，
∵喜欢A 课程的人数为120×25%＝30（人），
∴喜欢C 课程的人数为120﹣30﹣42﹣12＝36（人），
∵2400× 36
120 =720（人），
∴估计全校2400 名学生中最喜欢C 课程的人数约为720 人；
故答案为：120，36，720；
（2）补全条形统计图为：
24
（3）画树状图为：
共有12 种等可能的结果，其中选到甲和乙两位同学的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙两位同学的概率= 2
12 = 1
6．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了样本估计总体、
扇形统计图和条形统计图．
12．（2026•烟台）AI 技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI 自习教室，引进了“数
字人模型”和“AI 助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进
行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10 的整数，单位：分），并随机抽取了20 份调
查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别
平均数/分
中位数/分
众数/分
数字人模型
a
b
7
25
AI 助教模型
8
8
c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a＝
7.2
，b＝
7
，c＝
8
，m＝
30
；
（2）运营商准备对“AI 助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20 份调查问卷中，有2 名男生和1
名女生对该模型的评分为6 分，现从这3 人中随机抽取2 人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽
到2 名男生的概率．
【考点】列表法与树状图法；中位数；众数．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）7.2；7；8；30；
（2）1
3．
【分析】（1）利用求平均数的公式求出a，利用中位数和众数的定义求出分别求出b，c，先求出扇形
统计图中8 分所占百分比，用整体1 减去其他各部分的百分比即可求解m；
（2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）x = 5×6+8×7+5×8+2×9
20
=7.2，
∴a＝7.2；
一共20 个数据从小到大排列，第10 和11 个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第10 和11 个数据都是7，
∴中位数为7，即b＝7；
由扇形统计图可知“AI 助教模型”中8 分出现次数最多，
∴c＝8；
∵扇形统计图中8 分占百分比为：144
360 ×100 % = 40 %，
∴1﹣5%﹣15%﹣10%﹣40% ＝30%，即m＝30；
故答案为：7.2；7；8；30；
（2）
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2 种，
∴P（抽到2 名男生）= 2
6 = 1
3．
26
【点评】本题考查了数据分析能力，掌握数据分析能力是解题的关键．
13．（2026•山东）某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小
组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查．
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图
②读书长廊地面没铺设计
③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线
⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
A．查阅文献
B．上网查询
C．同伴合作
D．寻求指导
E．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息1 将问题1 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2 将问题2 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的方
式
A
B
C
D
E
选择人数
32
41
33
35
28
信息3 问题3 调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500 名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用
列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
27
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）50，
；
（2）410 名；
（3）1
3；
（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小
组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．
【分析】（1）由主题①的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘主题⑤对应百分比求
出其人数，再根据五种主题的人数和等于总人数求出主题③的人数，据此可补全条形统计图；
（2）总人数乘样本中选择B 方式人数占被调查人数的比例即可；
（3）列表展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（4）可从资源支持、分组协作、实践体验、困难指导等方面提出合理化建议，答案不唯一．
【解答】解：（1）参与调查的学生总数为5÷10%＝50（名），
选择主题⑤的人数为50×12%＝6（名），
则选择主题③的人数为50﹣（5+13+14+6）＝12（名），
补全条形统计图如下：
（2）500× 41
50 =410（名），
答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410 名；
（3）将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作A、B、C，
列表表示如下：
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
28
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
由列表可知，共有9 种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3 种结果，
所以两人恰好选择同一领域的概率为3
9 = 1
3；
（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小
组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
14．（2026•凉山州）五彩凉山，气候宜人，物产丰富，尤其水果深受广大消费者喜爱．为了解时令水果
受喜爱情况，随机抽取部分消费者对最喜爱的时令水果进行调查（A 类为樱桃，B 类为蓝莓，C 类为葡
萄，D 类为枇杷，E 类为其他，每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息回答：
（1）本次调查的总人数为
50
人；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中a＝
36
，及B 类对应扇形的圆心角度数为
72°
；
（3）质检员从A、B、C、D 四类水果中随机选择两类检测含糖量，用列表或画树状图的方法，求选择
的两类水果恰好是B 类和D 类的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）50；
（2）
，36，72°；
（3）1
6．
【分析】（1）用A 类型人数除以其人数占被调查人数的百分比可得本次调查的总人数；
29
（2）被调查的总人数乘D 类型人数占被调查人数所占百分比即可得出其人数，C 类型人数除以被调查
人数即可得出a 的值，用360°乘B 类型人数占被调查人数所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为8÷16%＝50（人），
故答案为：50；
（2）D 类型人数为50×20%＝10（人），
a%= 18
50 ×100%＝36%，即a＝36，
B 类对应扇形的圆心角度数为360°× 10
50 =72°，
补全条形统计图如下：
故答案为：36，72°；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12 种等可能的结果，其中选择的两类水果恰好是B 类和D 类的有2 种结果，
所以选择的两类水果恰好是B 类和D 类的概率为2
12 = 1
6．
【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握
列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
15．（2026•连云港）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP 形象．小明
将关于地域特产的4 个IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成4 个玩具盲盒，
每个盲盒中只有1 个IP 形象玩具．
30
（1）若从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是
②
（填序号）；
①必然事件
②随机事件
③不可能事件
（2）若从这4 个盲盒中随机抽取2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和
“D 东海水晶”的概率．
【考点】列表法与树状图法；随机事件．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据观念．
【答案】（1）②；
（2）1
6．
【分析】（1）根据题意可知，从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是随
机事件；
（2）先画出相应的树状图，即可计算出盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是随机事件，
故答案为：②；
（2）树状图下所示，
，
由上可得，一共有12 种等可能性，其中盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的可能性有2 种，
∴盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率是2
12 = 1
6．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
16．（2026•自贡）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排
球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计
31
图如下：
（1）本次投票共
500
人参与，其中“乒乓球”所占百分比为
40%
，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4 名同学（两男两女），从这4 人中随机抽取两人参加比赛，
请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．
【答案】（1）500，40%，
补全条形统计图如下：
（2）2
3．
【分析】（1）根据最喜欢乒乓球的人数除以所占百分比得出本次投票参与的学生人数，即可解决问题；
（2）列表得出共有12 种等可能的结果，其中所抽取的两人为“一男一女”的结果有8 种，再由概率
公式求解即可．
【解答】解：（1）本次投票参与的学生人数为150÷30%＝500（人），
∴最喜欢乒乓球的人数为500﹣150﹣60﹣90＝200（人），
∴“乒乓球”所占百分比为200÷500×100%＝40%，
故答案为：500，40%，
补全条形统计图如下：
32
（2）列表如下：
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女） （男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男） （女，男） （女，女）
共有12 种等可能的结果，其中所抽取的两人为“一男一女”的结果有8 种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率为8
12 = 2
3．
【点评】此题考查的是用树状图法、扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试
验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2026•南充）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列
艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m 名队员的成绩，分成以下五组：
A 组（50≤x ＜60 ），B 组（60≤x ＜70 ），C 组（70≤x ＜80 ），D 组（80≤x ＜90 ），E 组
（90≤x≤100）．
并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝
20
；
m 名队员比赛成绩的中位数落在C 组（选填组名）．
（2）从E 组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的
方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
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【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据观念．
【答案】（1）20，C；
（2）1
6．
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以计算出m 的值和中位数所在的组别；
（2）先画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
【解答】解：（1）由统计图可知，
m＝7÷35%＝20，m 名队员比赛成绩的中位数落在C 组，
故答案为：20，C；
（2）树状图如下所示，
，
由上可得，一共有12 种等可能性，其中甲、乙两名队员恰好被选中的可能性有2 种，
∴甲、乙两名队员恰好被选中的概率为2
12 = 1
6．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
18．（2026•遂宁）某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：
A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学生对这
四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，
依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了
50
名学生，扇形统计图中m＝
24
，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角
的度数为
28.8
度；
（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是B ；（请选择填写A、B、C、D）
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（3）请估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数；
（4）学校从B、D 小组选了4 名代表（每组各两名），决定从这4 名代表中选2 名作活动感悟分享．
请用画树状图或列表的方法，求选出的2 名代表来自不同组的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．
【答案】（1）50，24，28.8；
（2）B；
（3）估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240 人；
（4）2
3．
【分析】（1）由B 的人数除以所占百分比得出本次调查共抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）比较被调查学生最喜欢的四组的人数，即可得出结论；
（3）由全校学生人数乘以喜欢心理专题讲座的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12 种等可能的结果，其中选出的2 名代表来自不同组的结果有8 种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查共抽取学生18÷36%＝50（名），
∴m%= 12
50 ×100%＝24%，
∴m＝24，
心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为360°× 4
50 =28.8°，
故答案为：50，24，28.8；
（2）∵4＜12＜16＜18，
∴被调查学生最喜欢的心理健康活动是心理健康电影，
故答案为：B；
（3）1000× 12
50 =240（人），
答：估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240 人；
（4）画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中选出的2 名代表来自不同组的结果有8 种，
∴选出的2 名代表来自不同组的概率8
12 = 2
3．
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【点评】此题考查的是用列表法与树状图法、扇形统计图以及条形统计图等知识．列表法与树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两
步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且
某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接
关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，
但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．
如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯
泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进
行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
3．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
4．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
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1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时
我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
5．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点
的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超
过100 时，按数据的多少，常分成5～12 组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
6．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说
样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100 时，按数据的多少，常分成5～12 组）．（3）确定分
点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大
小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组
距× 频率
组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上
比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出
数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
7．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺
序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是
由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
8．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形
统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的
扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
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（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形
圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数
用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
9．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序
把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
10．加权平均数
（1）加权平均数：若n 个数x1，x2，x3，…，xn 的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…
+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识
占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
11．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就
是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据
中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
12．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数
就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数
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可作为描述一组数据集中趋势的量．．
13．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必
然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
14．概率公式
（1）随机事件A 的概率P（A）= 事件A 可能出现的结果数
所有可能出现的结果数
．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
15．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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