文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（二）
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•重庆）如图，点A，B，C 在⊙O 上．若∠ACB＝40°，则∠AOB 的度数是（ ）
A．140°
B．100°
C．90°
D．80°
2．（2026•泸州）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0 的两个实数根，则该
直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3-2√2
B．3
2 -√2
C．6- 4√2
D．2-√2
2
3．（2026•安徽）如图，矩形ABCD 中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD 的各边与^
HNM所在
的圆分别相切于点E，M，H，N．^
BH，^
BM所在圆的圆心分别是E，F．则图中阴影部分的面积为（
）
A．3 π
2 -1
B．5 π
4 -1
C．7- 3 π
2
D．7- 5 π
4
4．（2026•泸州）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝
40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（ ）
A．45°
B．55°
C．60°
D．65°
5．（2026•遂宁）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面
圆的直径为32cm，母线长为30cm，则扇形纸片的圆心角为（ ）
A．86°
B．144°
C．150°
D．192°
2
6．（2026•台湾）如图有一正六边形ABCDEF 与一正n 边形的部分图形，其中G、E、H、I 为正n 边形中
连续的四个顶点，F 在GE 上，C、D、H、I 四点共线．求n 值为何？（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
7．（2026•台湾）已知一圆上有A、B、C、D 四点，其位置如图所示，其中^
AB =87°，^
BC =91°，
^
CD =88°，^
AD =94°．若在此圆上找两点E、F，使得四边形ABEF 为长方形，则下列关于E 点、F 点
位置的叙述，何者正确？（ ）
A．E 在^
BC上，F 在^
CD上
B．E 在^
BC上，F 在^
AD上
C．E 在^
CD上，F 在^
CD上
D．E 在^
CD上，F 在^
AD上
二．填空题（共11 小题）
8．（2026•南京）如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B 两点为端点作圆弧，使得弧AB 上
所有的点都落在△ABC 的边界及内部，则弧AB 所对的圆心角∠AOB 的取值范围是
．
9．（2026•甘孜州）如图，点A，B，C 在⊙O 上，若∠A＝28°，则∠O＝ 度．
10．（2026•绥化）如图，在⊙O 中，^
AB =^
AC，∠ABC＝70°，则∠BOC＝ ．
3
11．（2026•巴中）如图，BC 是⊙O 的一条弦，A 为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB＝60°，则∠ABC 的度数
为 ．
12．（2026•绥化）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m 的正六边形，则这个正六边形地基的面积
是 m2（计算结果保留根号）．
13．（2026•陕西）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D．若AB＝4，
则^
BD的长为 ．
14．（2026•吉林）如图，车轮的半径OA＝30cm，车轮边缘上一点A 绕点O 转过的角∠AOB＝80°，则劣
弧AB 的长为 cm（结果保留π）．
15．（2026•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为 ．
16．（2026•黑龙江）王芳用一个圆心角为120°，半径为4 的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆
4
锥底面圆的半径为 ．
17．（2026•黑龙江）如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，∠P＝80°，则∠C＝ ．
18．（2026•新疆）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方
形及其内切圆，且正方形的边长为2cm，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是
．
5
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
A
A
B
D
C
D
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•重庆）如图，点A，B，C 在⊙O 上．若∠ACB＝40°，则∠AOB 的度数是（ ）
A．140°
B．100°
C．90°
D．80°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由圆周角定理，即可得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
2．（2026•泸州）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0 的两个实数根，则该
直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3-2√2
B．3
2 -√2
C．6- 4√2
D．2-√2
2
【考点】三角形的内切圆与内心；根与系数的关系；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，
最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果．
【解答】解：设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
∵a，b 是一元二次方程x2﹣6x+2＝0 的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝2，由勾股定理得：
c =√a
2+b
2=√(a+b)
2-2ab=√6
2-2×2=√32= 4√2，
6
∵三角形的面积S = 1
2 ab= 1
2 ar + 1
2 br + 1
2 cr，
∴直角三角形的内切圆半径公式为r =
ab
a+b+c ，代入得：r =
2
6+ 4√2 =3-2√2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根与系数的关系，勾股定理，掌握其相关知识点是
解题的关键．
3．（2026•安徽）如图，矩形ABCD 中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD 的各边与^
HNM所在
的圆分别相切于点E，M，H，N．^
BH，^
BM所在圆的圆心分别是E，F．则图中阴影部分的面积为（
）
A．3 π
2 -1
B．5 π
4 -1
C．7- 3 π
2
D．7- 5 π
4
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】设EH 交MH 于点O，则ON＝OM＝FM＝1，EB＝2，∠HON＝∠NOE＝∠EOM＝∠BEH＝
90°，由S 阴影＝S 扇形HON+S 扇形NOE+S 扇形EOM+S 扇形BEH﹣S 正方形MOEF﹣S 扇形BFM，求得S 阴影= 3 π
2 -1，于是
得到问题的答案．
【解答】解：设EH 交MH 于点O，
∵矩形ABCD 中，六个小正方形的边长均为1，
∴ON＝OM＝FM＝1，EB＝2，∠HON＝∠NOE＝∠EOM＝∠BEH＝90°，
∵S 阴影＝S 扇形HON+S 扇形NOE+S 扇形EOM+S 扇形BEH﹣S 正方形MOEF﹣S 扇形BFM，
∴S 阴影= 90 π ×1
2
360
×3+ 90 π ×2
2
360
-12- 90 π ×1
2
360
= 3 π
2 -1，
故选：A．
7
【点评】此题重点考查正方形的性质、扇形的面积公式等知积，正确理解和应用扇形的面积公式是解
题的关键．
4．（2026•泸州）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝
40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（ ）
A．45°
B．55°
C．60°
D．65°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ACD＝∠ABD＝40°，再利用三角形内角和定理可得：
∠CAE＝75°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角
互余可得：∠ABC＝15°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠ACD＝75°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝15°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．（2026•遂宁）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面
圆的直径为32cm，母线长为30cm，则扇形纸片的圆心角为（ ）
A．86°
B．144°
C．150°
D．192°
8
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【答案】D
【分析】扇形纸片的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的
周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到π×32= n×π ×30
180
，然后解方程即可．
【解答】解：设扇形纸片的圆心角为n°，
根据题意得π×32= n×π ×30
180
，
解得n＝192，
即扇形纸片的圆心角为192°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长
扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2026•台湾）如图有一正六边形ABCDEF 与一正n 边形的部分图形，其中G、E、H、I 为正n 边形中
连续的四个顶点，F 在GE 上，C、D、H、I 四点共线．求n 值为何？（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正六边形，正多边形外角的性质以及等边三角形的判定和性质求出正n 边形的外角的度
数是30°，再根据外角和是360°求出其边数即可．
【解答】解：如图，延长GE 交CH 于点M，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，点G、E、H、I 为正n 边形中连续的四个顶点，
∵∠MDE＝∠MED= 360°
6
=60°，∠MEH＝∠MHE= 360°
n
，
∴△MDE 是正三角形，ME＝MH，
∴∠MHE= 1
2∠EMD= 1
2 ×60°＝30°，
∴正n 边形的边数n＝360°÷30°＝12，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：C．
9
【点评】本题考查正多边形和圆，多边形的内角与外角，掌握正六边形，正多边形外角的性质以及等
边三角形的性质与判定是正确解答关键．
7．（2026•台湾）已知一圆上有A、B、C、D 四点，其位置如图所示，其中^
AB =87°，^
BC =91°，
^
CD =88°，^
AD =94°．若在此圆上找两点E、F，使得四边形ABEF 为长方形，则下列关于E 点、F 点
位置的叙述，何者正确？（ ）
A．E 在^
BC上，F 在^
CD上
B．E 在^
BC上，F 在^
AD上
C．E 在^
CD上，F 在^
CD上
D．E 在^
CD上，F 在^
AD上
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，得出点E 和点F 的位置即可．
【解答】解：令圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，
延长AO 和BO 分别于圆O 交于点E 和F，
∵AE 和BF 都是圆O 的直径，
∴∠ABE＝∠AFE＝∠BAF＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF 为长方形．
∵^
AB =87°，^
BC =91°，
∴∠AOB＝87°，∠BOC＝91°，
∴∠BOE＝93°，
10
∵∠BOE＞∠BOC，
∴点E 在^
CD上，
同理可得，点F 在^
AD上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，能根据题意得出点E 和点F 的位置是解题的关键．
二．填空题（共11 小题）
8．（2026•南京）如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B 两点为端点作圆弧，使得弧AB 上
所有的点都落在△ABC 的边界及内部，则弧AB 所对的圆心角∠AOB 的取值范围是
0°
＜∠
AOB
≤
100°
．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】0°＜∠AOB≤100°．
【分析】依题意画出图形，找出临界值求解即可．
【解答】解：如图，
由题意可知OA＝OB，
则圆心O 点在AB 的垂直平分线上；然后，
当∠OAC＜90°，^
AB会与AC 线段有2 个交点，当∠OBC＜90°，^
AB会与BC 线段有2 个交点，
∴要使得^
AB上所有点落在△ABC 的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，
当∠OAC≥90°时，∠OAB≥∠OAC﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOB≤180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝100°．
综上，0°＜∠AOB≤100°；
故答案为：0°＜∠AOB≤100°．
11
【点评】本题主要考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等内容，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
9．（2026•甘孜州）如图，点A，B，C 在⊙O 上，若∠A＝28°，则∠O＝
56
度．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】56．
【分析】由圆周角定理得到∠O＝2∠A＝56°．
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠O＝2∠A＝56°．
故答案为：56．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
10．（2026•绥化）如图，在⊙O 中，^
AB =^
AC，∠ABC＝70°，则∠BOC＝
80°
．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】80°．
【分析】由圆周角定理推出∠ABC＝∠ACB＝70°，∠BOC＝2∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝
40°，即可得到∠BOC 的度数．
【解答】解：∵^
AB =^
AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
11．（2026•巴中）如图，BC 是⊙O 的一条弦，A 为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB＝60°，则∠ABC 的度数
为
30°
．
12
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质．
【答案】30°．
【分析】根据题意可得△OAB 为等边三角形，进而可得∠OBC＝30°，再求∠ABC 即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝60°，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，
∴△OAB 为等边三角形，
∵OA⊥BC，
∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠OBA﹣∠OBC＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•绥化）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m 的正六边形，则这个正六边形地基的面积
是
24
√3 m2（计算结果保留根号）．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】24√3．
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系，三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O 作OM⊥AB 于点M，
∵正六边形ABCDEF 的中心为O，
∴∠AOB= 360°
6
=60°，OA＝OB，
∴△AOB 是正三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠AOM= 1
2∠AOB＝30°，OA＝AB＝4m，AM＝BM＝2m，
13
∴OM=√O A
2- A M
2=2√3（m），
∴S 正六边形ABCDEF＝6S△AOB
＝6× 1
2 ×4×2√3
＝24√3（m2）．
故答案为：24√3．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
13．（2026•陕西）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D．若AB＝4，
则^
BD的长为
π
．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】π．
【分析】连接OD，再结合弧长的公式进行计算即可．
【解答】解：连接OD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CD 平分∠ACB，
∴∠BCD= 1
2∠ACB＝45°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝90°．
14
∵AB＝4，
∴⊙O 的半径为2，
∴^
BD的长为：90⋅π ⋅2
180
= π．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
14．（2026•吉林）如图，车轮的半径OA＝30cm，车轮边缘上一点A 绕点O 转过的角∠AOB＝80°，则劣
弧AB 的长为 40
3 π
cm（结果保留π）．
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】40
3 π．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【解答】解：劣弧AB 的长为80 π ×30
180
= 40
3 π（cm）．
故答案为：40
3 π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
15．（2026•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为
9
．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】9．
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长，根据弧长公式即可求出答案．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×4= 160 πl
180 ，
解得l＝9，
即该圆锥的母线长为9．
故答案为：9．
15
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长
扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（2026•黑龙江）王芳用一个圆心角为120°，半径为4 的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆
锥底面圆的半径为 4
3 ．
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4
3 ．
【分析】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长，设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：设这个圆锥底面圆的半径为r，
则2πr = 120 π ×4
180
，
解得r = 4
3 ．
故答案为：4
3 ．
【点评】本题考查圆锥的相关计算，熟练掌握该知识点是关键．
17．（2026•黑龙江）如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，∠P＝80°，则∠C＝
50°
．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【答案】50°．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理可知∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和为360°求
出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，连接OA，OB，
16
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OAPB 是四边形，∠P＝80°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，
∵∠C，∠AOB 分别是弧AB 所对的圆周角和圆心角，
∴∠C = 1
2 ∠AOB =50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
18．（2026•新疆）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方
形及其内切圆，且正方形的边长为2cm，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是 π
4 ．
【考点】正多边形和圆；几何概率；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆．
【答案】π
4 ．
【分析】先计算正方形的面积，再计算内切圆的面积，最后用内切圆面积除以正方形面积，得到米粒
落在圆内的概率．
【解答】解：∵正方形边长为2cm，
∴正方形面积 S正=2×2= 4 c m
2，
∵正方形的内切圆直径等于正方形边长，
∴圆的半径 r＝1cm，
圆面积 S圆= π r
2= π ×1
2= π c m
2，
∴概率P= S圆
S正
= π
4 ，
17
故答案为：π
4 ．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形的内切圆与内心，几何概率，掌握其相关知识点是解
题的关键．
18
考点卡片
1．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0 的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过
来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2=- b
a，x1x2= c
a，反过来也成立，即b
a =-（x1+x2），c
a =x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x1
2+x2
2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥
由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同
时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．
2．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后
再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
4．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3 且n 为整数）
此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
5．矩形的性质
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（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优
弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得
图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
7．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
8．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
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③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
9．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
10．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
11．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l= nπR
180 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180 都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
12．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R 的扇形面积为S，则
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S 扇形= n
360πR2或S 扇形= 1
2lR（其中l 为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
13．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2 条半径）．
（3）圆锥的侧面积：S 侧= 1
2•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S 全＝S 底+S 侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积= 1
3 ×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
14．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又
区域g 包含在区域G 内（如图），而区域G 与g 都是可以度量的（可求面积），现随机地向G 内投掷一
点M，假设点M 必落在G 中，且点M 落在区域G 的任何部分区域g 内的概率只与g 的度量（长度、面积、
体积等）成正比，而与g 的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于
几何概型的随机事件“向区域G 中任意投掷一个点M，点M 落在G 内的部分区域g”的概率P 定义为：g
的度量与G 的度量之比，即 P＝g 的测度G 的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
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