文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（一）
一．选择题（共17 小题）
1．（2026•广东）如图，⊙O 的半径为1，点A，B，C 在⊙O 上，∠ACB＝30°．则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．1
6
D．1
3
2．（2026•湖北）如图，PA 与⊙O 相切于点A，连接PO 并延长交⊙O 于点B，连接AB．若∠B＝24°，则
∠P 的度数是（ ）
A．42°
B．48°
C．56°
D．66°
3．（2026•广元）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点E 为△ABC 的内心，CE 的延长线交⊙O 于
点F，连接AF，若AC＝5，AF= 13√2
2
，则CE 的长为（ ）
A．3√2
2
B．2√2
C．5-√2
D．1+√2
4．（2026•吉林）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，点P 为边AC 上不与点A，C 重
合的任意一点，连接BP．若∠BAC＝60°，则∠ABP 的度数可能为（ ）
A．20°
B．35°
C．45°
D．60°
2
5．（2026•河北）如图，在⊙O 中，^
ACB所对的圆心角为150°，点D 在^
AC上．若∠CBO＝n°，则
∠ADC＝（ ）
A．90°+n°
B．180°﹣n°
C．195°﹣n°
D．2n°
6．（2026•宜宾）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA、OC．若△AOC 为等边三角形，则∠ABC 的
度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．50°
D．60°
7．（2026•内江）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P 为^
BC上的一点（点P 不与点C 重合），则
∠CPD 的度数为（ ）
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
8．（2026•河南）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇
边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P 作
PA，PB 分别与⊙O 相切于点A，B，得到^
AB．若⊙O 的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的
^
AB的长为（ ）
A．3πcm
B．6πcm
C．9πcm
D．27πcm
3
9．（2026•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点D．若AD＝CD，则tanA
的值是（ ）
A．√2
2
B．1
C．√2
D．2
10．（2026•上海）已知⊙A 半径为3，⊙B 半径为7，AB＝2，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含
B．相交
C．相切
D．相离
11．（2026•连云港）如图，扇形OAB，点C 在^
AB上．若∠AOB＝60°，则∠ACB 的度数是（ ）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
12．（2026•扬州）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划
出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的
运动路线长为（ ）
A．5πcm
B．10πcm
C．20πcm
D．40πcm
13．（2026•甘肃）如图，△ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点P．若∠ABC＝60°，
∠ACB＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
14．（2026•凉山州）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴
影部分）的面积之和为（ ）
4
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
15．（2026•云南）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上．若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（ ）
A．10°
B．26°
C．40°
D．52°
16．（2026•云南）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心
角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．450πcm2
B．500πcm2
C．600πcm2
D．700πcm2
17．（2026•南充）如图，AB 为⊙O 直径，弦CD⊥AB 于点E，OB＝CD＝2，则OE 长为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．√5
二．解答题（共1 小题）
18．（2026•北京）对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧^
BC，使得^
BC所在圆的圆心在
过点A 且与BC 平行的直线上，称由AB，AC 和^
BC组成的图形为单弧三角形，记作△A-^
BC，其中^
BC
所在圆的圆心称为△A-^
BC的弧心．
在平面直角坐标系xOy 中，
（1）如图1，点A（﹣2，﹣1），B（﹣3，1），C（1，1）．直接写出△A-^
BC的弧心的坐标及^
BC
的长；
（2）如图2，点D(-2√3，2)，E(2，0)．当△D-^
EF的弧心为O 时，求点F 的坐标；
（3）已知点M（1，0）．对于平面内的点N，存在点P，Q 满足△P-^
MN和△Q-^
MN的弧心均为O，
△PMN 和△QMN 都不是钝角三角形，且PQ＝1．记N 的横坐标为t，直接写出t 的取值范围．
5
6
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共17 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
B
A
C
B
A
B
B
A
A
题号
12
13
14
15
16
17
答案
B
B
C
D
A
B
一．选择题（共17 小题）
1．（2026•广东）如图，⊙O 的半径为1，点A，B，C 在⊙O 上，∠ACB＝30°．则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．1
6
D．1
3
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB 的度数，再根据扇形面积公式即可计算出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠ACB＝30°．
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵⊙O 的半径为1，
∴图中阴影部分的面积为60 π ×1
2
360
= π
6 ．
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积公式、圆周角定理，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．
2．（2026•湖北）如图，PA 与⊙O 相切于点A，连接PO 并延长交⊙O 于点B，连接AB．若∠B＝24°，则
∠P 的度数是（ ）
A．42°
B．48°
C．56°
D．66°
7
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能
力．
【答案】A
【分析】连接OA，由PA 与⊙O 相切于点A，得∠OAP＝90°，由∠B＝24°，根据圆周角定理得∠AOP
＝2∠B＝48°，则∠P＝90°﹣∠AOP＝42°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA，
∵PA 与⊙O 相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵连接PO 并延长交⊙O 于点B，且∠B＝24°，
∴∠AOP＝2∠B＝48°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝42°，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅
助线是解题的关键．
3．（2026•广元）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点E 为△ABC 的内心，CE 的延长线交⊙O 于
点F，连接AF，若AC＝5，AF= 13√2
2
，则CE 的长为（ ）
A．3√2
2
B．2√2
C．5-√2
D．1+√2
【考点】三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AE、BE、BF，由AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点E 为△ABC 的内心，CE 的延长
线交⊙O 于点F，得∠ACB＝∠AFB＝90°，CF 平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF＝45°，推导出∠ABF
8
＝∠BAF，则BF＝AF= 13√2
2
，求得AB=√2AF＝13，因为AC＝5，所以BC=√A B
2- A C
2=12，作
EH⊥AB 于点H，EL⊥BC 于点L，EI⊥AC 于点I，则EH＝IL＝EI，由1
2 ×13EL+ 1
2 ×12EL+ 1
2 ×5EI
= 1
2 ×12×5 ＝S△ABC ，求得EL ＝2 ，可证明∠LEC ＝∠LCE ＝45° ，则CL ＝EL ＝2 ，求得CE
=√C L
2+ E L
2=2√2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AE、BE、BF，
∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点E 为△ABC 的内心，CE 的延长线交⊙O 于点F，
∴∠ACB＝∠AFB＝90°，CF 平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF= 1
2∠ACB＝45°，
∵∠ACF＝∠ABF，∠BCF＝∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF= 13√2
2
，
∴AB=√B F
2+ A F
2=√2AF=√2× 13√2
2
=13，
∵AC＝5，
∴BC=√A B
2- A C
2=√13
2-5
2=12，
作EH⊥AB 于点H，EL⊥BC 于点L，EI⊥AC 于点I，则EH＝IL＝EI，
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE＝S△ABC，
∴1
2 ×13EL+ 1
2 ×12EL+ 1
2 ×5EI= 1
2 ×12×5，
∴EL＝2，
∵∠ELC＝90°，∠LCE＝45°，
∴∠LEC＝∠LCE＝45°，
∴CL＝EL＝2，
∴CE=√C L
2+ E L
2=√2
2+2
2=2√2，
故选：B．
9
【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形的内切圆与内心、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性
质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
4．（2026•吉林）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，点P 为边AC 上不与点A，C 重
合的任意一点，连接BP．若∠BAC＝60°，则∠ABP 的度数可能为（ ）
A．20°
B．35°
C．45°
D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB 是⊙O 的直径，得∠C＝90°，因为∠BAC＝60°，所以∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，由点
P 为边AC 上不与点A，C 重合的任意一点，可知0°＜∠ABP＜30°，所以∠ABP 的度数可能为20°，于
是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵点P 为边AC 上不与点A，C 重合的任意一点，
∴0°＜∠ABP＜∠ABC，
∴0°＜∠ABP＜30°，
∴∠ABP 的度数可能为20°，但不可能为35°或45°或60°，
故选：A．
【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠ABC＝
30°，进而推导同0°＜∠ABP＜30°是解题的关键．
5．（2026•河北）如图，在⊙O 中，^
ACB所对的圆心角为150°，点D 在^
AC上．若∠CBO＝n°，则
∠ADC＝（ ）
10
A．90°+n°
B．180°﹣n°
C．195°﹣n°
D．2n°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】C
【分析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于点E，连接AE，首先利用等边对等角得到∠OCB＝∠CBO＝
n°，然后利用三角形内角和定理求出∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣2n°，然后结合圆周角定理和
圆内接四边形对角互补求解即可．
【解答】解：如图，连接CO 并延长交⊙O 于点E，连接AE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO＝n°，
∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣2n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝150°﹣（180°﹣2n°）＝2n°﹣30°，
∴∠E = 1
2 ∠AOC =n° -15°，
∵∠ADC＝180°﹣∠E＝180°﹣（n°﹣15°）＝195°﹣n°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
6．（2026•宜宾）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA、OC．若△AOC 为等边三角形，则∠ABC 的
度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．50°
D．60°
11
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOC 的度数，再由圆周角定理即可得到∠ABC 的度数．
【解答】解：∵△AOC 为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵^
AC =^
AC，
∴若△AOC 为等边三角形，则∠ABC = 1
2 ∠AOC =30°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关
知识的灵活运用．
7．（2026•内江）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P 为^
BC上的一点（点P 不与点C 重合），则
∠CPD 的度数为（ ）
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】求出正五边形中心角∠COD 的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴∠COD= 360°
5
=72°，
∴∠CPD= 1
2∠COD＝36°，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关
键．
8．（2026•河南）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇
边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P 作
PA，PB 分别与⊙O 相切于点A，B，得到^
AB．若⊙O 的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的
12
^
AB的长为（ ）
A．3πcm
B．6πcm
C．9πcm
D．27πcm
【考点】切线的性质；弧长的计算；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OB，由PA，PB 分别与⊙O 相切于点A，B，推导出∠PAO＝∠PBO＝90°，因为
∠APB＝60°，所以90°+∠AOB+90°+60°＝360°，求得∠AOB＝120°，而⊙O 的半径为9cm，即可根据弧
长公式求得l^
AB=6πcm，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB 分别与⊙O 相切于点A，B，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠PAO+∠AOB+∠PBO+∠APB＝360°，且∠APB＝60°，
∴90°+∠AOB+90°+60°＝360°，
∴∠AOB＝120°，
∵⊙O 的半径为9cm，
∴l^
AB= 120 π ×9
180
=6π（cm），
∴小红想要装饰的^
AB的长为6πcm，
故选：B．
【点评】此题重点考查切线的性质、四边形的内角和等于360°、弧长公式等知识，正确地添加辅助线
是解题的关键．
9．（2026•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点D．若AD＝CD，则tanA
13
的值是（ ）
A．√2
2
B．1
C．√2
D．2
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】B
【分析】连接BD，根据切线的性质得出∠ABC＝90°，再由直角三角形斜边中线的性质确定AD＝BD＝
CD，利用圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠A＝∠ABD＝45°，再由正切函数即可求解．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝CD，
∴点D 为AC 的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∴tanA＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．（2026•上海）已知⊙A 半径为3，⊙B 半径为7，AB＝2，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含
B．相交
C．相切
D．相离
【考点】圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】A
【分析】根据d＜R﹣r 判断出两圆的位置关系是内含．
14
【解答】解：∵R＝7，r＝3，d＝2，
∴d＜R﹣r，
∴两圆内含．
故选：A．
【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
11．（2026•连云港）如图，扇形OAB，点C 在^
AB上．若∠AOB＝60°，则∠ACB 的度数是（ ）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】A
【分析】连接OC ，则OA ＝OC ＝OB ，根据等边对等角与三角形内角和定理得到
∠ACO=90° - 1
2 ∠AOC，∠BCO=90° - 1
2 ∠BOC，根据∠ACB＝∠ACO+∠BCO 即可求出∠ACB
的度数．
【解答】解：连接OC，则OA＝OC＝OB，
∴∠ACO=∠OAC = 1
2 (180° -∠AOC )=90° - 1
2 ∠AOC，
∠BCO=∠OBC = 1
2 (180° -∠BOC )=90° - 1
2 ∠BOC，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°﹣AOC+90°﹣2∠BOC＝180°﹣2（∠AOC+∠BOC）
=180° - 1
2 ∠AOB =180° - 1
2 ×60° =150°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•扬州）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划
出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的
运动路线长为（ ）
15
A．5πcm
B．10πcm
C．20πcm
D．40πcm
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】B
【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式l = nπr
180进行计算即可．
【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
∵半径r＝20cm，圆心角n＝90°，
∴手腕的运动路线长：l = nπr
180 = 90⋅π ⋅20
180
=10 π(cm)，
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
13．（2026•甘肃）如图，△ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点P．若∠ABC＝60°，
∠ACB＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BDC，∠DBC＝90°，根据直角三
角形的性质求出∠DCB，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝70°，
∵CD 是⊙O 的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BPC＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
16
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形肉角和定理是解题的关键．
14．（2026•凉山州）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴
影部分）的面积之和为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【考点】相交两圆的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】C
【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形ABCD 的内角和，利用四边形内角和
为360°及扇形面积公式即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 的内角和为360°，
∴四个扇形的圆心角之和为360°，
∵四个圆的半径都是1，
∴四个扇形的面积之和= 360⋅π ⋅1
2
360
= π，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相交两圆的性质，扇形面积的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
15．（2026•云南）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上．若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（ ）
A．10°
B．26°
C．40°
D．52°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，且∠ACB＝26°，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝
52°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，
17
∴∠ACB= 1
2∠AOB，
∵∠ACB＝26°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝52°，
故选：D．
【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠ACB= 1
2∠AOB 是解题的关键．
16．（2026•云南）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心
角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．450πcm2
B．500πcm2
C．600πcm2
D．700πcm2
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【答案】A
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出这个圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意得这个圆锥的侧面积= 180×π ×30
2
360
=450π（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长
扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2026•南充）如图，AB 为⊙O 直径，弦CD⊥AB 于点E，OB＝CD＝2，则OE 长为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．√5
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理、推出CE= 1
2CD＝1，由勾股定理得到OE=√OC
2-C E
2=√3．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴CE= 1
2CD= 1
2 ×2＝1，
∵OC＝OB＝2，
∴OE=√OC
2-C E
2=√3．
18
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE= 1
2CD，由勾股定理求出OE 的长．
二．解答题（共1 小题）
18．（2026•北京）对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧^
BC，使得^
BC所在圆的圆心在
过点A 且与BC 平行的直线上，称由AB，AC 和^
BC组成的图形为单弧三角形，记作△A-^
BC，其中^
BC
所在圆的圆心称为△A-^
BC的弧心．
在平面直角坐标系xOy 中，
（1）如图1，点A（﹣2，﹣1），B（﹣3，1），C（1，1）．直接写出△A-^
BC的弧心的坐标及^
BC
的长；
（2）如图2，点D(-2√3，2)，E(2，0)．当△D-^
EF的弧心为O 时，求点F 的坐标；
（3）已知点M（1，0）．对于平面内的点N，存在点P，Q 满足△P-^
MN和△Q-^
MN的弧心均为O，
△PMN 和△QMN 都不是钝角三角形，且PQ＝1．记N 的横坐标为t，直接写出t 的取值范围．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）（﹣1，﹣1），√2π；
（2）点F 的坐标为(-1，√3)；
（3）- 1
4 ≤t ≤1
2．
【分析】（1）先根据B、C 两点坐标求出BC 的垂直平分线，再结合“过点A 且与BC 平行”的条件进
而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可；
（2）先根据平行线的性质得出直线EF 与OD 的一次项系数相等，利用待定系数法代入点E 坐标求出
直线EF 的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到OF＝OE，结合勾股定理列出坐标方程，联立直
线解析式求解并舍去已知点E 对应的解，即可得到点F 的坐标；
（3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出MN 的长度，再通过作垂线构造矩形得到∠M、∠N 为非钝
角的有效线段长度；再分t≥0 和t＜0 两种情况，结合勾股定理逆定理判断∠P 是否为钝角，根据PQ＝
1 的条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知：弧心在过点A 且与BC 平行的直线上，且弧心是^
BC所在圆的圆心，
∴弧心到B、C 距离相等，即在BC 的垂直平分线上，
∵B（﹣3，1），C（1，1），BC 为水平线段（平行于x 轴），
19
∴过A（﹣2，﹣1）且平行于BC 的直线为水平线：y＝﹣1，
∴BC 中点为（﹣1，1），其垂直平分线为竖直线：x＝﹣1，
∴两直线交点即为弧心，坐标为（﹣1，﹣1），
∵弧心到B、C 距离相等，
∴半径r 为弧心到点B 的距离：r =√(-1+3)
2+(-1-1)
2=√4 + 4 =2√2，
∵B（﹣3，1），C（1，1），
∴BC＝4，∴B、C 与弧心构成直角三角形，
∴圆心角为90°，
∴BC
⌢
的长= 90°×2√2×π
180°
=√2π；
（2）设直线OD 的解析式为 y＝kx+b，
将D(-2√3，2)，O（0，0）代入得：{
2=-2√3k +b
0=b
，
解得：{
k =- √3
3
b=0
，
∴直线OD 的解析式为y =- √3
3 x，
∵EF∥OD，
∴直线EF 的解析式为y =- √3
3 x +b1，
∵E（2，0），
∴直线EF 的解析式为y =- √3
3 x + 2√3
3
，
∵ΔD -^
EF的弧心为O，
∴OF＝OE＝2，
设点F 坐标为（x，y），过点F 作FH⊥x 轴于点H，
20
∴OH2+FH2＝OF2，
∴x2+y2＝22＝4，
∵y =- √3
3 x + 2√3
3
，
∴x
2+(- √3
3 x + 2√3
3
)
2= 4，
解得：x1＝2（与点E 重合，舍去），x2＝﹣1，
将x＝﹣1 代入y =- √3
3 x + 2√3
3
，解得y =√3，
故F 的坐标为(-1，√3)；
（3）弧心为O，故OM＝ON＝1，即N 在单位圆上，
设点N 的坐标为（t，n），
根据勾股定理可得t2+n2＝r2＝1，
过点M、N 分别作坐标轴平行线，得：MN2＝（1﹣t）2+n2，
代入t2+n2＝1，得MN =√2-2t，
由题意可得已知直线PQ 过原点O，且PQ∥MN，
分别过点M、N 作MN 的垂线，交直线PQ 于P1，P2两点，
当点P 在线段P1P2上时，∠PMN、∠PNM 均为直角或锐角（非钝角）；
若P 在P1左侧或P2右侧，对应角为钝角；
由PQ∥MN、MP1⊥MN/NP2⊥MN，可判定四边形MP1P2N 是矩形，
根据矩形对边相等得：P1 P2= MN =√2-2t，
情况1：当t≥0 时，
当P 与原点O 重合时，OM＝ON＝1，
代入得：MN2＝2﹣2t≤2＝OM2+ON2，
此时∠MON 为非钝角，因此整条线段P1P2都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为√2-2t，
要存在PQ＝1，需有效长度√2-2t ≥1，
解得t ≤1
2，
21
结合t≥0 得0≤t ≤1
2；
情况2：当t＜0 时，
当P 与原点O 重合时，MN2＝2﹣2t＞2＝OM2+ON2，
因此直线PQ 上，原点附近一段区域会使∠MPN 为钝角，
设MN 中点为O'，
∴O'( 1+t
2 ，n
2 )，r = MN
2 = √2-2t
2
，r
2= 1-t
2 ，
∵n2＝1﹣t2＝（1﹣t）（1+t），
∴圆心到直线PQ 的距离d 的平方1+t
2 ，
∴L=2√r
2-d
2=2√-t，
要存在PQ＝1，需钝角区域宽度2√-t ≤1，
解得t ≥- 1
4 ，
结合t＜0 得- 1
4 ≤t ＜0；
合并两种情况，得t 的取值范围为- 1
4 ≤t ≤1
2．
【点评】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，分类讨论等，掌握综合知识是解题的关键．
22
考点卡片
1．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
3．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优
弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得
图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
23
5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
6．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
7．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
8．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
24
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
9．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆
上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，
叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
10．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
11．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
12．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l= nπR
180 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180 都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
25
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
13．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R 的扇形面积为S，则
S 扇形= n
360πR2或S 扇形= 1
2lR（其中l 为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
14．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2 条半径）．
（3）圆锥的侧面积：S 侧= 1
2•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S 全＝S 底+S 侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积= 1
3 ×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
15．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边
形一起，难度比较大．
16．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
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sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:20:29；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
