文档文本内容
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（二）
一．解答题（共14 小题）
1．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点分别为A（﹣6，0），B
（10，0），C（4，10），D（0，8）．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作
图痕迹，标明字母）
（1）在CD 边上作一点P，使PA＝PB，此时点P 的坐标为 ；
（2）在BC 边上作一点Q，使△QAD 和△QOB 的面积相等．
2．（2026•广东）如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC．
（1）尺规作图：在AE 上作点D，连接BD，使得BD 平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接CD，求证：四边形ABCD 是菱形．
3．（2026•南京）已知△ABC，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文
字说明．
（1）在AC、BC 上各定一点E、F，使EF∥AB，且EF= 1
2AB；
（2）在AC、BC 上各确定一点G、P．使GP∥AB，且GP＝a．
4．（2026•陕西）如图，已知△ABC，AB＝BC．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形ABCD 为菱
形．（保留作图痕迹，不写作法）．
5．（2026•吉林）图①、图②均是6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，
D，E 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
2
（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M 为顶点的等腰三角形．
（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N 为顶点的平行四边形．
6．（2026•湖北）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题
单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四
人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持
“稳定”？
【模型假设】
假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位
置有关．
【模型建立】
如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段MN，艇尾记为点M，艇首记为点N．
Ⅰ．运动员的位置依次用点A1，A2，A3，A4表示，MA1＝s，A1A2＝A2A3＝A3A4＝r．
Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于MN 上方与下方的桨的数量相等．
Ⅲ．规定：当桨的位置位于MN 上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于MN 下方时，
对应的点所表示的数记为负数．
例：在图1 中，桨1 的位置位于MN 上方，MA1＝s，所以点A1表示的数是s；桨2 的位置位于MN 下方，
MA2＝s+r，点A2表示的数是﹣（s+r）．
（1）在图1 中，MA3＝ ，点A3 表示的数是 ，点A4 表示的数是
．
【模型分析】
通过研究，记点A1，A2，A3，A4所表示的数的和为W，当W＝0 时，赛艇保持“稳定”；当W≠0 时，
赛艇失去“稳定”．
（2）在四人单桨比赛中，按照图1 的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．
【模型应用】
（3）类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛
艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．
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7．（2026•广元）如图，在四边形ABCD 中，BC∥AD，∠BAD= 1
2∠BCD．
（1）尺规作图：在AD 边上作一点E，使∠BCE＝∠DCE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABCE 为平行四边形．
8．（2026•河北）（1）尺规作图：如图1，在△ABC 中，作出AB 边的垂直平分线l．（保留作图痕迹，
不写作法）
（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC＝2∠B，点D 在BC 边上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求线段
CD 的长．
9．（2026•河南）如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM 交边AD 于点F（保留作图
痕迹，不写作法）．
（2）判断线段BE 与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明．
10．（2026•福建）如图，四边形ABCD 是矩形，AB＜BC，点E 在AD 的延长线上．
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（1）求作点F，使点F 在AD 边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF 的长．
11．（2026•乐山）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．
【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成
一个周角时，就可以铺满地面．
正多边形的边数
3
4
5
6
…
正多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
正多边形每个内角的大小
60°
90°
108°
a
…
表中a＝ ，正六边形 （填“能”或“不能”）铺满地面．
【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．
图中，②号三角形可看成①号三角形通过 （填“平移”或“旋转”）得到；
③号三角形可看成①号三角形通过 （填“平移”或“旋转”）得到．
【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并
在下面方格纸中画出点A 位置的密铺设计图．
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12．（2026•江西）如图，在8×4 的正方形网格中，△ABC 的顶点B，C 均在格点上，∠A＝90°，∠C＝
30°，MN 为△ABC 的中位线．
（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC 的平分线，交MN 于点P；（保留作图痕迹）
（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP 的长为 ．
13．（2026•扬州）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB 边上的点O 为圆心，OA
长为半径的⊙O 与AC 边的另一交点为D，BD 为⊙O 的切线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（2）若AC＝4，tan∠BAC= 1
2，求⊙O 的半径．
14．（2026•湖南）如图，在等腰△OAB 中，OA＝OB．在OA 上取一点E，以O 为圆心，OE 的长为半径
画弧，交OB 于点F；分别以E，F 为圆心，大于1
2EF 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点P；作
射线OP 交AB 于点C；以O 为圆心，OC 的长为半径作⊙O．
（1）求证：AB 与⊙O 相切；
（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O 的半径．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（二）
参考答案与试题解析
一．解答题（共14 小题）
1．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点分别为A（﹣6，0），B
（10，0），C（4，10），D（0，8）．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作
图痕迹，标明字母）
（1）在CD 边上作一点P，使PA＝PB，此时点P 的坐标为 （
2 ，
9 ）
；
（2）在BC 边上作一点Q，使△QAD 和△QOB 的面积相等．
【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】尺规作图；几何直观；运算能力．
【答案】（1）
；（2，9）．
（2）
【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线交CD 于点P，则点P 即为所求；由题意可知点P 的横坐标为
2，利用待定系数法求出直线CD 的解析式，将x＝2 代入求出y 的值，进而可得答案．
（2）根据题意可知点Q 到直线AD 的距离等于点Q 到直线OB 的距离，即点Q 为∠DAB 的平分线与
BC 的交点，由此作图即可．
【解答】解：（1）如图，作线段AB 的垂直平分线交CD 于点P，
8
则点P 即为所求．
∵A（﹣6，0），B（10，0），
∴点P 的横坐标为-6+10
2
=2．
设直线CD 的解析式为y＝kx+b，
将C（4，10），D（0，8）代入，
得{
4 k +b=10
b=8
，
解得{
k = 1
2
b=8
，
∴直线CD 的解析式为y = 1
2 x +8，
令x＝2，得y＝9，
∴点P 的坐标为（2，9）．
故答案为：（2，9）．
（2）如图，作∠DAB 的平分线交BC 于点Q，
∴点Q 到直线AD 的距离等于点Q 到直线OB 的距离．
∵A（﹣6，0），B（10，0），D（0，8），
∴OA＝6，OD＝8，OB＝10，
∴AD=√6
2+8
2=10，
∴AD＝OB．
设点Q 到直线AD 的距离等于点Q 到直线OB 的距离等于h，
∴1
2 AD⋅h= 1
2 OB⋅h，
即△QAD 和△QOB 的面积相等，
则点Q 即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的面积、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意
灵活运用所学知识解决问题．
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2．（2026•广东）如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC．
（1）尺规作图：在AE 上作点D，连接BD，使得BD 平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接CD，求证：四边形ABCD 是菱形．
【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，点D 即为所求；
（2）∵BA＝BC，BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD 是菱形．
【分析】（1）作BD 平分∠ABC，BD 交AE 于点D 即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：如图，点D 即为所求；
（2）证明：∵BA＝BC，BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
10
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD 是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
3．（2026•南京）已知△ABC，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文
字说明．
（1）在AC、BC 上各定一点E、F，使EF∥AB，且EF= 1
2AB；
（2）在AC、BC 上各确定一点G、P．使GP∥AB，且GP＝a．
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，线段EF 即为所求；
（2）如图，线段GP 即为所求．
【分析】（1）作出△ABC 的中位线EF 即可；
（2）构造平行四边形BDGP（BD＝a）解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段EF 即为所求；
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（2）如图，线段GP 即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相
关知识解决问题．
4．（2026•陕西）如图，已知△ABC，AB＝BC．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形ABCD 为菱
形．（保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；菱形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】如图，四边形ABCD 即为所求．
【分析】作BT 平分∠ABC 交AC 于点O，在射线OT 上截取线段OD，使得OD＝OB，连接AD，CD，
四边形ABCD 即为所求．
【解答】解：如图，四边形ABCD 即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌
握相关知识解决问题．
5．（2026•吉林）图①、图②均是6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，
D，E 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
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（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M 为顶点的等腰三角形．
（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N 为顶点的平行四边形．
【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图①中，△ABM 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，四边形DCEN 即为所求（答案不唯一）．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形；
（2）根据平行四边形的定义画出图形．
【解答】解：（1）如图①中，△ABM 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，四边形DCEN 即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解
题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．（2026•湖北）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题
单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四
人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持
“稳定”？
【模型假设】
假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位
置有关．
【模型建立】
13
如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段MN，艇尾记为点M，艇首记为点N．
Ⅰ．运动员的位置依次用点A1，A2，A3，A4表示，MA1＝s，A1A2＝A2A3＝A3A4＝r．
Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于MN 上方与下方的桨的数量相等．
Ⅲ．规定：当桨的位置位于MN 上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于MN 下方时，
对应的点所表示的数记为负数．
例：在图1 中，桨1 的位置位于MN 上方，MA1＝s，所以点A1表示的数是s；桨2 的位置位于MN 下方，
MA2＝s+r，点A2表示的数是﹣（s+r）．
（1）在图1 中，MA3＝s +2
r ，点A3表示的数是 ﹣（
s +2
r ）
，点A4表示的数是s +3
r ．
【模型分析】
通过研究，记点A1，A2，A3，A4所表示的数的和为W，当W＝0 时，赛艇保持“稳定”；当W≠0 时，
赛艇失去“稳定”．
（2）在四人单桨比赛中，按照图1 的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．
【模型应用】
（3）类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛
艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．
【考点】作图—应用与设计作图；正数和负数；数轴；两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）s+2r，﹣（s+2r），s+3r；
（2）给出的判断是能．理由如下：
由题意可知，W＝s﹣（s+r）﹣（s+2r）+（s+3r）
＝s﹣s﹣r﹣s﹣2r+s+3r
＝0．
所以赛艇能保持“稳定”；
（3）作图：A5上方，A6下方，A7下方，A8上方（上下桨数量相等，正负抵消）．
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【分析】（1）根据题目条件判断即可；
（2）求出W 的值可得结论；
（3）根据题意画出图形即可．
【解答】解：（1）MA3＝s+2r，点A3表示的数是﹣（s+2r），点A4表示的数s+3r．
故答案为：s+2r，﹣（s+2r），s+3r；
（2）给出的判断是能．理由如下：
由题意可知，W＝s﹣（s+r）﹣（s+2r）+（s+3r）
＝s﹣s﹣r﹣s﹣2r+s+3r
＝0．
所以赛艇能保持“稳定”；
（3）作图：A5上方，A6下方，A7下方，A8上方（上下桨数量相等，正负抵消）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正数与负数，数轴，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
7．（2026•广元）如图，在四边形ABCD 中，BC∥AD，∠BAD= 1
2∠BCD．
（1）尺规作图：在AD 边上作一点E，使∠BCE＝∠DCE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABCE 为平行四边形．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）图形如图所示：
（2）∵∠BAD= 1
2∠BCD，∠BCE＝∠DCE，
15
∴∠A＝∠BCE，
∵BC∥AD，
∴∠BCE＝∠CED，
∴∠A＝∠CED，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE 为平行四边形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明AB∥CE 可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵∠BAD= 1
2∠BCD，∠BCE＝∠DCE，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC∥AD，
∴∠BCE＝∠CED，
∴∠A＝∠CED，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE 为平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知
识解决问题．
8．（2026•河北）（1）尺规作图：如图1，在△ABC 中，作出AB 边的垂直平分线l．（保留作图痕迹，
不写作法）
（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC＝2∠B，点D 在BC 边上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求线段
CD 的长．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（1）如图，直线l 即为所求；
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（2）CD＝4．
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明∠BAC＝∠CDA，即可证明△CDA∽△CAB，即可求
解．
【解答】解：（1）如图，直线l 即为所求；
（2）∵DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠BAC＝∠CDA，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∵AC＝6，BC＝9，
∴CD
CA = CA
CB ，
∴CD
6 = 6
9，
解得CD＝4．
【点评】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
9．（2026•河南）如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM 交边AD 于点F（保留作图
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痕迹，不写作法）．
（2）判断线段BE 与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图所示即为所求：
（2）结论：BE＝DF．
理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
由（1）得∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
【解答】解：（1）如图所示即为所求：
（2）结论：BE＝DF．
理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
由（1）得∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
10．（2026•福建）如图，四边形ABCD 是矩形，AB＜BC，点E 在AD 的延长线上．
（1）求作点F，使点F 在AD 边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
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迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF 的长．
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股
定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】（1）如图，F 是所求作的点；
（2）AF＝3．
【分析】（1）作线段BE 的垂直平分线交AD 于点F，连接BF 即可；
（2）证明BF＝EF，设AF＝x，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：（1）如图，F 是所求作的点；
（2）∵四边形ABCD 是矩形，BC＝6，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6．
∴∠E＝∠EBC，∠AFB＝∠FBC．
∵∠AFB＝2∠EBC，
∴∠FBE＝∠EBC＝∠E．
∴BF＝EF．
∵DE＝2，
∴AE＝AD+DE＝8．
设AF＝x，则BF＝EF＝8﹣x．
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在Rt△ABF 中，∠A＝90°，AB＝4，
由勾股定理得AF2+AB2＝BF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴AF＝3．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性
质、线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
11．（2026•乐山）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．
【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成
一个周角时，就可以铺满地面．
正多边形的边数
3
4
5
6
…
正多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
正多边形每个内角的大小
60°
90°
108°
a
…
表中a＝
120°
，正六边形 能 （填“能”或“不能”）铺满地面．
【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．
图中，②号三角形可看成①号三角形通过 平移 （填“平移”或“旋转”）得到；
③号三角形可看成①号三角形通过 旋转 （填“平移”或“旋转”）得到．
【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并
在下面方格纸中画出点A 位置的密铺设计图．
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【考点】作图—应用与设计作图；平移的性质；相似三角形的应用；多边形内角与外角；平面镶嵌
（密铺）．菁优网版权所有
【专题】作图题；三角形．
【答案】【感知密铺】120°；能；
【探导密铺】平移；旋转；
【创作密铺】点A 位置的密铺设计图如图：
【分析】【感知密铺】根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形
内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面；
【探导密铺】根据平移与旋转的特征判断即可；
【创作密铺】先画AB 和AD 为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可．
【解答】解：【感知密铺】正六边形的内角和720°，则正六边形每个内角的大小a= 720°
6
=120°，
∵3×120°＝360°，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，
∴正六边形能铺满地面，
故答案为：120°；能；
【探导密铺】②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则
②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；
③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角
21
形可看成①号三角形通过旋转得到，
故答案为：平移，旋转；
【创作密铺】点A 位置的密铺设计图如图：
【点评】本题主要考查了作图—应用与设计作图，多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺），平移的性
质，相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•江西）如图，在8×4 的正方形网格中，△ABC 的顶点B，C 均在格点上，∠A＝90°，∠C＝
30°，MN 为△ABC 的中位线．
（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC 的平分线，交MN 于点P；（保留作图痕迹）
（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP 的长为
2 √3 ．
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的定义；含30 度角的直角三角形；勾股定理；三角形中位
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【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】（1）图形如图所示：
（2）2√3．
【分析】（1）线段BC 的垂直平分线交AC 于点J，作射线BJ，BH 交MN 于点P，射线BJ 即为所求；
22
（2）过点M 作MH⊥PB 于点H．证明BM＝MP，解直角三角形求出BH 即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）过点M 作MH⊥PB 于点H．
在Rt△ABC 中，BC＝8，∠C＝30°，
∴AB= 1
2BC＝4，∠ABC＝60°，
∵MN 是△ABC 的中位线，
∴BM＝AM= 1
2AB＝2，MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC= 1
2∠ABC＝30°，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，
∴∠MBP＝∠MPB，
∴BM＝PM，
∵MH⊥BP，
∴BH＝PH＝BM•cos30°=√3，
∴PB＝2BH＝2√3．
故答案为：2√3．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，含30 度的直角三角形的性质，解直角三
角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．（2026•扬州）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB 边上的点O 为圆心，OA
长为半径的⊙O 与AC 边的另一交点为D，BD 为⊙O 的切线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（2）若AC＝4，tan∠BAC= 1
2，求⊙O 的半径．
23
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【答案】（1）⊙O 如图所示．
（2）3√5
4
．
【分析】（1）先作∠DBC＝∠A 交AC 于点D，再作AD 的垂直平分线，交AB 于点O，以OA 为半径
作⊙O 即可；
（2）由已知条件先求BC，进一步可求DC 长度，AD 长度，AF，OF 均可求，最后借助勾股定理可求
半径OA 长度．
【解答】解：（1）⊙O 如图所示，
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵EF 为AD 垂直平分线，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠ODA＝∠DBC，
∴∠ODA+∠BDC＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD 为⊙O 半径，点D 在圆上，
24
∴BD 为⊙O 切线；
（2）∵AC＝4，tan ∠BAC = 1
2，
∴tan ∠BAC = BC
AC = BC
4 = 1
2，
∴BC＝2，
∵∠DBC＝∠A，
∴tan ∠DBC = tan ∠BAC = 1
2，
∴DC
BC = 1
2，
∴DC＝1，
∴AD＝3，
∴AF = DF = 3
2，
∵tan ∠OAF = OF
AF = 1
2，
∴OF = 3
4 ，
∴OA =√( 3
2 )
2+( 3
4 )
2=√
9
4 + 9
16 =√
45
16 = 3√5
4
，
即⊙O 半径为3√5
4
．
【点评】本题主要考查了作图—复杂作图，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌
握其相关知识点是解题的关键．
14．（2026•湖南）如图，在等腰△OAB 中，OA＝OB．在OA 上取一点E，以O 为圆心，OE 的长为半径
画弧，交OB 于点F；分别以E，F 为圆心，大于1
2EF 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点P；作
射线OP 交AB 于点C；以O 为圆心，OC 的长为半径作⊙O．
（1）求证：AB 与⊙O 相切；
（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O 的半径．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明：由作法得OP 平分∠AOB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC 为半径，
∴AB 与⊙O 相切；
（2）8．
【分析】（1）先利用基本作图得OP 平分∠AOB，则根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据
切线的判定方法得到结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AC＝BC= 1
2AB＝6，然后利用勾股定理计算出OC 即可．
【解答】（1）证明：由作法得OP 平分∠AOB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC 为半径，
∴AB 与⊙O 相切；
（2）解：∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴AC＝BC= 1
2AB＝6，
在Rt△OAC 中，∵OA＝10，AC＝6，
∴OC=√10
2-6
2=8，
即⊙O 的半径为8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角
形的性质、切线的判定与性质．
26
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0 以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“ +”
“﹣”号叫做它的符号．
2、0 既不是正数也不是负数．0 是正负数的分界点，正数是大于0 的数，负数是小于0 的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最
后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两
点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC 是∠AOB 的平分线
则∠AOC＝∠BOC= 1
2∠AOB 或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
27
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△= 1
2 ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起
解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
10．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
28
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= 1
2BC．
13．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3 且n 为整数）
此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
14．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，
不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之
和为360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成
360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
29
（4）两种正多边形的镶嵌：3 个正三角形和2 个正方形、四个正三角形和1 个正六边形、2 个正三角形和
2 个正六边形、1 个正三角形和2 个正十二边形、1 个正方形和2 个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
15．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
16．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD 是平行
四边形．
17．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
30
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
18．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD 是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
19．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
31
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
22．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点
叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r，圆心O 到直线l 的距离为d．
①直线l 和⊙O 相交⇔d＜r
②直线l 和⊙O 相切⇔d＝r
③直线l 和⊙O 相离⇔d＞r．
23．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
24．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
32
25．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
26．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
逐步操作．
27．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
28．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应
点的线段平行且相等．
29．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造
直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高
度．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
33
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
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