文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（一）
一．选择题（共13 小题）
1．（2026•贵州）如图，小红利用标杆DE 测量学校旗杆BC 的高度，标杆DE 高3m，测得AE＝6m，BE
＝18m，则旗杆BC 的高度是（ ）
A．9m
B．12m
C．18m
D．24m
2．（2026•南充）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1 是小孔成像示意图，对
应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB 在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B 的对应点
分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P 到A′B 的距离PQ＝6cm，则
A′B′长为（ ）
A．12cm
B．13.5cm
C．15cm
D．18cm
3．（2026•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2√2，将
△OAB 绕点O 顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B 的对应点分别是点A′，B′，以原点为
位似中心，将△OA′B′放大为原来的3 倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐
标是（ ）
A．（6，6）
B．（6，2）
C．(6，6√2)
D．(6√2，6)
4．（2026•河北）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，BC＝3AD，过点A 作AE∥DC 交BC 于点E，将
△ABE 沿AE 翻折，得到△AB′E．B′A，B′E 分别与直线DC 交于M，N 两点，则△MB′N 与
△ABE 的面积之比为（ ）
2
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
8
5．（2026•内江）如图，在△ABC 中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：9
6．（2026•攀枝花）如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，点O 是线段
AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B 在以点O 为圆心，
OC 为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC 是等边三角形；④△POA∽△CAO．其中正确
结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2026•云南）如图，AC，BD 相交于点O，AB∥CD，记△COD 的面积为S1，△AOB 的面积为S2．若
CD
AB = 2
3，则
S1
S2
=（ ）
A．2
5
B．3
7
C．4
9
D．5
12
3
8．（2026•苏州）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝2，E 是AB 边上的动点（点E 在A，B 之间运动，
不与A，B 重合），过E 作CE 的垂线交AD 边于点F，则AE+AF 的最大值是（ ）
A．21
8
B．3
C．25
8
D．27
8
9．（2026•甘肃）如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是以原点O 为位似中心的位似图形．若
B′（2，0），B（4，0），A'B'=√5，则AB＝（ ）
A．3
B．2√5
C．4
D．3√5
10．（2026•凉山州）如图，将△ABC 在平面内绕点B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC 与A′C′交
于点E，AC 与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝EF
B．∠ABA′＝∠CBC′
C．△ABC≌△A′BC′
D．△BCF∽△EC′F
11．（2026•重庆）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A 作
AF⊥DE，垂足为F，连接BF 并延长交CD 于点G，连接CF，则△BEF 与△CFG 的面积之比为
（ ）
A．7
9
B．3
4
C．5
7
D．2
3
4
12．（2026•泸州）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在AC 上，若AD＝BC＝BD，则S△BCD
S△ABC
的值为（
）
A．√5-1
4
B．3-√5
2
C．4 -√5
5
D．√5-1
2
13．（2026•台湾）如图，△ABC 与△ADE 中，D 点在△ABC 外，E 点在AB 上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝
∠C＝65°．若BC 上有一点F，AF 与直线DE 相交于P 点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP 与AF 的
长度比为何？（ ）
A．4：5
B．5：6
C．6：7
D．7：8
二．填空题（共7 小题）
14．（2026•吉林）如图，在△ABC 中，AC＞AB，点D 为边AB 上一点，AD＝2，BD＝1．以点C 为圆心，
AD 长为半径画弧，交AC 于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝ ．
15．（2026•广元）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F 分别在AB，AC，BC
边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF 的最小值为 ．
16．（2026•深圳）已知2a+b
b
=7，则a
b的值为 ．
17．（2026•眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF 的长度是 ．
5
18．（2026•湖南）如图，A，B，C 是反比例函数y= k
x （k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x 轴于
点D．
（1）若C 在△OAD 的外接圆上，且A 点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝ ；
（2）设E 是线段OA 的中点，且BE∥y 轴．若BE＝mAD，则m＝ ．
19．（2026•泸州）如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点E，F，G 分别是边AB，BC，CD 的中点，
AF 与DE 交于点M，BD 与AF，MG 分别交于点N，P．则NP 的长为 ．
20．（2026•成都）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 为△ABC 的一条中线，E 为AC 上一点，∠ADE
＝∠B．若AE＝5，CE＝2，则AB＝ ．
6
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共13 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
C
D
C
C
C
B
A
B
题号
12
13
答案
B
D
一．选择题（共13 小题）
1．（2026•贵州）如图，小红利用标杆DE 测量学校旗杆BC 的高度，标杆DE 高3m，测得AE＝6m，BE
＝18m，则旗杆BC 的高度是（ ）
A．9m
B．12m
C．18m
D．24m
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】可证△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆BC 的高度．
【解答】解：由题意可知：DE⊥AB，BC⊥AB，DE＝3m，AE＝6m，BE＝18m，
∴DE∥BC，AB＝AE+BE＝6+18＝24（m），
∴△ADE∽△ACB，
∴AE
AB = DE
BC ，即6
24 = 3
BC ，
解得：BC＝12（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2．（2026•南充）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1 是小孔成像示意图，对
应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB 在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B 的对应点
分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P 到A′B 的距离PQ＝6cm，则
A′B′长为（ ）
7
A．12cm
B．13.5cm
C．15cm
D．18cm
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识；生活情境．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：物体AB 在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A、B 的对应点分别是A′、B′）．若物
体AB 的高为10cm，小孔P 到地面距离PQ 为6cm，
∴PQ∥AB，
∴△A′PQ∽△A′AB，
∴A ' Q
A ' B = PQ
AB ，
∵PQ∥A′B′，
∴△BPQ∽△BB′A′，
∴BQ
BA ' = PQ
A ' B' ，
则①+②得A ' Q
A ' B + BQ
A ' B = PQ
AB + PQ
A ' B' ，
∴A ' B
A ' B = PQ
AB + PQ
A ' B' =1，
∴PQ
AB = PQ
A ' B' =1，
∵AB＝10cm，PQ＝6cm，
∴6
10 +
6
A ' B' =1，
解得A′B′＝15，
∴实像A′B′的高度为15cm．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角
形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
3．（2026•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2√2，将
△OAB 绕点O 顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B 的对应点分别是点A′，B′，以原点为
8
位似中心，将△OA′B′放大为原来的3 倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐
标是（ ）
A．（6，6）
B．（6，2）
C．(6，6√2)
D．(6√2，6)
【考点】位似变换；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出OA、AB，根据旋转变换求出OA′、A′B′，得出点B′的坐标，再根据
位似变换的性质解答．
【解答】解：设OA＝AB＝x，
由勾股定理得：x2+x2＝（2√2）2，
解得：x＝2（负值舍去），
∴OA＝AB＝2，
由旋转的性质可知：∠OA′B′＝∠OAB＝90°，OA′＝OA＝2，A′B′＝AB＝2，
∴点B′的坐标是（2，2），
以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3 倍后，得到△OA″B″，点B′在第一象限对应点
B″的坐标是（2×3，2×3），即（6，6），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、勾股定理、坐标与图形性质﹣旋转，在平面直角坐标系中，如果位
似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
4．（2026•河北）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，BC＝3AD，过点A 作AE∥DC 交BC 于点E，将
△ABE 沿AE 翻折，得到△AB′E．B′A，B′E 分别与直线DC 交于M，N 两点，则△MB′N 与
△ABE 的面积之比为（ ）
9
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
8
【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】先证明四边形AECD 为平行四边形得到AD＝CE，则BE＝2CE，再根据折叠的性质得到
S△AB′E＝S△ABE，B′E＝BE，∠AEB＝∠AEB′，接着证明∠ENC＝∠C 得到NE＝CE，所以B′N＝
NE= 1
2B′E，然后证明△B′MN∽△B′AE，根据相似三角形的性质得到S△B' MN
S△B' AE
=（B' N
B' E ）2= 1
4 ，从
而得到△MB′N 与△ABE 的面积之比．
【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD 为平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BC＝3AD，
即BE+EC＝3AD，
∴BE＝2CE，
∵△ABE 沿AE 翻折，得到△AB′E，
∴S△AB′E＝S△ABE，B′E＝BE，∠AEB＝∠AEB′，
∵AE∥DC，
∴∠ENC＝∠AEB′，∠AEB＝∠C，
∴∠ENC＝∠C，
∴NE＝CE，
∴B′E＝BE＝2NE，
∴B′N＝NE= 1
2B′E，
∵MN∥AE，
∴△B′MN∽△B′AE，
∴
S△B' MN
S△B' AE
=（B' N
B' E ）2＝（1
2）2= 1
4 ，
∴△MB′N 与△ABE 的面积之比为1
4 ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比
表示三角形面积之间的关系．也考查了折叠的性质．
10
5．（2026•内江）如图，在△ABC 中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：9
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，而AD：AB＝1：3，则S△ADE
S△ABC
=( AD
AB )
2=( 1
3 )
2= 1
9，于是
得到问题的答案．
【解答】解：∵D、E 分别是AB、AC 上的点，且DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝1：3，
∴
S△ADE
S△ABC
=( AD
AB )
2=( 1
3 )
2= 1
9，
∴△ADE 与△ABC 的面积之比为1：9，
故选：D．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC 是解题的关键．
6．（2026•攀枝花）如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，点O 是线段
AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B 在以点O 为圆心，
OC 为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC 是等边三角形；④△POA∽△CAO．其中正确
结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
11
【分析】连接OB，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝30°，
BD＝CD，即AD 垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，于是根据点与圆的位置
关系可对①进行判断；根据等腰三角形的性质，由OB＝OC，OB＝OP，∠DCO＝∠DBO，∠APO＝
∠ABO，则∠APO+∠DCO＝∠ABD＝30°，从而可对②进行判断；根据圆周角定理得到∠POC＝
2∠ABC＝60°，则可判断△OPC 为等边三角形，从而可对③进行判断；先计算出∠PAO＝120°，而
∠BAD＞∠AOP，所以∠AOC＜120°，则∠PAO＞∠AOC，然后根据相似三角形的判定方法可对④进
行判断．
【解答】解：连接OB，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB= 1
2 ×（180°﹣120°）＝30°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
即AD 垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴点P、C、B 在以点O 为圆心，OC 为半径的圆上，所以①正确；
∵OB＝OC，OB＝OP，
∴∠DCO＝∠DBO，∠APO＝∠ABO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，所以②正确；
∵点P、C、B 在以点O 为圆心，OC 为半径的圆上，
∴∠POC＝2∠ABC＝60°，
而OP＝OC，
∴△OPC 为等边三角形，所以③正确；
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠PAO＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAD＞∠AOP，
即∠AOP＜60°，
∴∠AOC＜120°，
∴∠PAO＞∠AOC，
∴△POA 与△CAO 不相似，所以④错误．
故选：C．
12
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形
的性质、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
7．（2026•云南）如图，AC，BD 相交于点O，AB∥CD，记△COD 的面积为S1，△AOB 的面积为S2．若
CD
AB = 2
3，则
S1
S2
=（ ）
A．2
5
B．3
7
C．4
9
D．5
12
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】先证明△CDO∽△ABO，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△CDO∽△ABO，
∴
S1
S2
=（CD
AB ）2＝（2
3）2= 4
9 ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比
表示两个三角形面积之间的关系或进行几何计算．
8．（2026•苏州）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝2，E 是AB 边上的动点（点E 在A，B 之间运动，
不与A，B 重合），过E 作CE 的垂线交AD 边于点F，则AE+AF 的最大值是（ ）
13
A．21
8
B．3
C．25
8
D．27
8
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；
推理能力．
【答案】C
【分析】设AE＝x，AE+AF＝y，由矩形的性质得∠A＝∠B＝90°，因为AB＝3，BC＝2，E 是AB 边上
的动点，所以BE＝3﹣x，因为EF⊥CE 交AD 于点F，所以∠CEF＝90°，推导出∠AFE＝∠BEC，可
证明△AFE∽△BEC，得AF
BE = AE
BC ，则AF= 1
2AE•BE，所以y＝AE+AF＝AE+ 1
2AE•BE=- 1
2x2+ 5
2x，由
y=- 1
2x2+ 5
2x=- 1
2（x- 5
2）2+ 25
8 ，可知当x= 5
2时，y 的值最大，最大值是25
8 ，所以AE+AF 的最大值
是25
8 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AE＝x，AE+AF＝y，
∵四边形ABCD 是矩形，AB＝3，BC＝2，E 是AB 边上的动点，
∴BE＝3﹣x，∠A＝∠B＝90°，
∵EF⊥CE 交AD 于点F，
∴∠CEF＝90°，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠BEC+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝∠BEC，
∴△AFE∽△BEC，
∴AF
BE = AE
BC ，
∴AF= AE⋅BE
BC
= AE⋅BE
2
= 1
2AE•BE，
∴y＝AE+AF＝AE+ 1
2AE•BE＝x+ 1
2x（3﹣x）=- 1
2x2+ 5
2x，
∵y=- 1
2x2+ 5
2x=- 1
2（x- 5
2）2+ 25
8 ，
∴当x= 5
2时，y 的值最大，最大值是25
8 ，
14
∴AE+AF 的最大值是25
8 ，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判
定与性质、二次函数的最值等知识，证明△AFE∽△BEC 是解题的关键．
9．（2026•甘肃）如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是以原点O 为位似中心的位似图形．若
B′（2，0），B（4，0），A'B'=√5，则AB＝（ ）
A．3
B．2√5
C．4
D．3√5
【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标之间的关系得到相似比为2：1，然后根据
相似多边形的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是以原点O 为位似中心的位似图形，
而B′（2，0），B（4，0），
∴相似比为2：1，
∴AB：A′B′＝2：1，
∴AB＝2A′B′＝2×√5=2√5．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．也考查了坐标与图形性质．
10．（2026•凉山州）如图，将△ABC 在平面内绕点B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC 与A′C′交
于点E，AC 与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝EF
B．∠ABA′＝∠CBC′
C．△ABC≌△A′BC′
D．△BCF∽△EC′F
15
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转得∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，可判断B 不符合题意，C 不符合题意；
由∠BFC ＝∠EFC′ ，∠C ＝∠C′ ，根据“ 两角分别相等的两个三角形相似” 证明
△BCF∽△EC′F，可判断D 不符合题意；当AB＝BC，且BC′⊥AC 时，设AB 交A′C′于点H，连
接AC′，而BC′＝BC，则AB＝BC′，所以∠BAC′＝∠BC′A，由∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝
∠C，推导出∠BAC＝∠A′C′B，进而证明∠EAC′＝∠EC′A，则AE＝C′E，即可由C′E＞EF，
证明AE＞EF，通过这个“反例”证明“AE＝EF”这一结论不一定正确，可判断A 符合题意，于是得
到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABC 在平面内绕点B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，
∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，
∴故B 不符合题意，C 不符合题意；
∵AC 与A′C′交于点E，AC 与BC′交于点F，
∴∠BFC＝∠EFC′，
∵∠C＝∠C′，
∴△BCF∽△EC′F，
故D 不符合题意；
如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC 时，设AB 交A′C′于点H，连接AC′，
∵BC′＝BC，
∴AB＝BC′，
∴∠BAC′＝∠BC′A，
∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，
∴∠BAC＝∠A′C′B，
∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B，
∴∠EAC′＝∠EC′A，
∴AE＝C′E，
∵C′E＞EF，
∴AE＞EF，
∴“AE＝EF”这一结论不一定正确，
故A 符合题意，
故选：A．
16
【点评】此题重点考查旋转的性质、相似三角形的判定、垂线段最短等知识，正确理解和应用旋转的
性质是解题的关键．
11．（2026•重庆）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A 作
AF⊥DE，垂足为F，连接BF 并延长交CD 于点G，连接CF，则△BEF 与△CFG 的面积之比为
（ ）
A．7
9
B．3
4
C．5
7
D．2
3
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】B
【分析】设BE＝a（a＞0），则CE＝2a，AD＝CD＝BC＝3a，DE =√13a，先得出△ADF∽△DEC，
则可得DF 的长，再过点F 作FM⊥BC 于点M ，作FN⊥CD 于点N ，得出△DFN∽△DEC ，
△BCG∽△BMF，求出FN，FM，CG 的长，进而求出△BEF 与△CFG 的面积即可．
【解答】解：设BE＝a（a＞0），
∵CE＝2BE，
∴CE＝2a，BC＝BE+CE＝3BE＝3a，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝3a，
∴∠ADF+∠CDE＝90°，DE =√C D
2+C E
2=√13a，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠FAD＝∠CDE，
在△ADF 和△DEC 中，
{
∠FAD =∠CDE
∠AFD =∠DCE =90°，
∴△ADF∽△DEC，
17
∴DF
CE = AD
DE ，即DF
2a = 3a
√13a，
解得DF = 6√13a
13
，
如图，过点F 作FM⊥BC 于点M，作FN⊥CD 于点N，
∴四边形CMFN 是矩形，
∴FM＝CN，FN＝CM，FN∥BC，FM∥CD，
∴△DFN∽△DEC，
∴FN
CE = DN
CD = DF
DE ，即FN
2a = DN
3a = 6√13a
√13a ，
解得FN = 12a
13 ，DN = 18a
13 ，
∴BM = BC -CM = BC - FN = 27a
13 ，FM =CN =CD - DN = 21a
13 ，
又∵FM∥CD，
∴△BCG∽△BMF，
∴CG
MF = BC
BM ，即
CG
21a
13 =
3a
27 a
13
，
解得CG = 7a
3 ，
∴S△BEF = 1
2 BE⋅FM = 1
2 a⋅21a
13 = 21a
2
26 ，S△CFG= 1
2 CG⋅FN = 1
2 × 7a
3 ⋅12a
13 = 14 a
2
13 ，
∴△BEF 与△CFG 的面积之比为
21a
2
26
14 a
2
13
= 3
4 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握
其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•泸州）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在AC 上，若AD＝BC＝BD，则S△BCD
S△ABC
的值为（
）
18
A．√5-1
4
B．3-√5
2
C．4 -√5
5
D．√5-1
2
【考点】黄金分割；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB
BD = BC
DC ．
又∵AD＝BD，
∴AC
AD = AD
CD ．
令AC＝k，
则k（k﹣AD）＝AD2，
解得AD=-k +√5k
2
（舍负），
∴BC
AB = AD
AB = √5-1
2
，
∴
S△BCD
S△ABC
=（BC
AB ）2=( √5-1
2
)
2= 3-√5
2
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义及相似三角形的判定与
性质是解题的关键．
13．（2026•台湾）如图，△ABC 与△ADE 中，D 点在△ABC 外，E 点在AB 上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝
∠C＝65°．若BC 上有一点F，AF 与直线DE 相交于P 点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP 与AF 的
19
长度比为何？（ ）
A．4：5
B．5：6
C．6：7
D．7：8
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设直线DE 交BC 于点H，由BF＝5，FC＝8，求得BC＝13，由∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝
65°，得DH∥AC，AB＝BC＝13，而BE＝6，所以AD＝AE＝AB﹣BE＝7，可证明∠BEH＝∠BHE，则
BH＝BE＝6，推导出∠BHE＝∠D，则CH∥AD，所以四边形ACHD 是平行四边形，则CH＝AD＝7，
求得FH＝BC﹣BF﹣CH＝1，再证明△FPH∽△APD，得FP
AP = FH
AD = 1
7 ，则AP＝7FP，所以AF＝
AP+FP＝8FP，求得AP
AF = 7
8，于是得到问题的答案．
【解答】解：设直线DE 交BC 于点H，
∵点F 在BC 上，BF＝5，FC＝8，BE＝6，
∴BC＝BF+FC＝5+8＝13，
∵D 点在△ABC 外，E 点在AB 上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°，
∴DH∥AC，AB＝BC＝13，
∴AD＝AE＝AB﹣BE＝13﹣6＝7，
∵∠BEH＝∠EAC，∠BHE＝∠C，
∴∠BEH＝∠BHE，
∴BH＝BE＝6，
∵∠BHE＝∠C，∠D＝∠C，
∴∠BHE＝∠D，
∴CH∥AD，
∴四边形ACHD 是平行四边形，
∴CH＝AD＝7，
∴FH＝BC﹣BF﹣CH＝13﹣5﹣7＝1，
∵FH∥AD，AF 与直线DE 相交于P 点，
∴△FPH∽△APD，
∴FP
AP = FH
AD = 1
7 ，
20
∴AP＝7FP，
∴AF＝AP+FP＝7FP+FP＝8FP，
∴AP
AF = 7 FP
8 FP = 7
8，
∴AP 与AF 的长度比为7：8，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出图中的相似三角形是解题的关键．
二．填空题（共7 小题）
14．（2026•吉林）如图，在△ABC 中，AC＞AB，点D 为边AB 上一点，AD＝2，BD＝1．以点C 为圆心，
AD 长为半径画弧，交AC 于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝
4
．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】4．
【分析】利用基本作图得到CE＝AD＝2，再根据平行线分线段成比例定理得到AD
DB = AE
EC ，然后利用
比例的性质可求出AE 的长．
【解答】解：由作法得CE＝AD＝2，
∵DE∥BC，
∴AD
DB = AE
EC ，
即2
1 = AE
2 ，
解得AE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
21
15．（2026•广元）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F 分别在AB，AC，BC
边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF 的最小值为 6√5
5
．
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】6√5
5
．
【分析】勾股定理求得 AB ＝5 ，设∠BAC ＝2α ，延长CA 至H ，使得AH ＝AB ＝5 ，则
∠H =∠ABH = 1
2 ∠CAB =α，进而求得sinα = √5
5 ，取EF 的中点G，连接AG，CG，DG，根据直角
三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出DG＝EG，
CG = 1
2 EF，可得G 点在∠CAB 的角平分线上，CG⊥AG 时，CG 最小，此时EF 最小，进而解
Rt△ACG 求得CG 的最小值，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB =√A C
2+ BC
2=5，
设∠BAC＝2α，
如图，延长CA 至H，使得AH＝AB＝5，则∠H =∠ABH = 1
2 ∠CAB =α，
∴HC＝AC+AH＝AC+AB＝3+5＝8，HB =√BC
2+C H
2=√4
2+8
2= 4√5，
22
∴sinα =sinh = BC
HB =
4
4√5 = √5
5 ，
如图，取EF 的中点G，连接AG，CG，DG，
∴DG＝EG，CG = 1
2 EF，
又∵AD＝AE，
∴AG 垂直平分DE，AG 是∠CAB 的角平分线，
∴G 点在∠CAB 的角平分线上，CG⊥AG 时，CG 最小，此时EF 最小，
∴此时CG = ACsinα = 3√5
5
，
∴E Fmin= 6√5
5
，
故答案为：6√5
5
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
16．（2026•深圳）已知2a+b
b
=7，则a
b的值为
3
．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【答案】3．
【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到a
b的值．
【解答】解：∵2a+b
b
=7，
∴2a
b + b
b =7，
即2a
b +1=7，
∴2a
b =6，
∴a
b =3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键．
17．（2026•眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF 的长度是
15
．
23
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】15．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出EF，进而求出DF．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB
BC = DE
EF ，即3
6 = 5
EF ，
解得：EF＝10，
∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．（2026•湖南）如图，A，B，C 是反比例函数y= k
x （k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x 轴于
点D．
（1）若C 在△OAD 的外接圆上，且A 点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝
2
；
（2）设E 是线段OA 的中点，且BE∥y 轴．若BE＝mAD，则m＝ 3
2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；
三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）3
2．
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得∠OCD＝∠OAD，在Rt△OAD 中求tan∠OAD 即可；
（2）连接BE 并延长，交x 轴于点F，先根据平行关系得出BE∥AD，根据A，B，E 三点坐标关系得出
24
BF＝2AD，再根据相似三角形的相似比得出EF = 1
2 AD，即可求出BE = BF - EF = 3
2AD．
【解答】解：（1）∵AD⊥x 轴，
∴∠ODA＝90°，OD＝4，AD＝2，
∵C 在△OAD 的外接圆上，∠OCD，∠OAD 所对圆弧均为^
OD，
∴tan∠OCD＝tan∠OAD= OD
AD =2，
故答案为：2；
（2）如图，连接BE 并延长，交x 轴于点F，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由E 是线段OA 的中点得E( x1
2 ，x2
2 )，
∵AD⊥x 轴，BE∥y 轴，
∴AD∥BE，
∴B，E 两点横坐标相同，
∴x1
2 = x2，即x1＝2x2，
∵A，B 都在反比例函数上，
∴x1y1＝x2y2＝k，
∴y1= 1
2 y2，即BF＝2AD，
∵AD∥BE，
∴△OEF∽△OAD，
∴EF
AD = OE
OA = 1
2，
∵BF = BE+ EF = BE+ 1
2 AD =2 AD
∴BE = 3
2 AD，
∴m= 3
2，
25
故答案为：3
2．
【点评】本题考查了圆的基本性质，反比例函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
19．（2026•泸州）如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点E，F，G 分别是边AB，BC，CD 的中点，
AF 与DE 交于点M，BD 与AF，MG 分别交于点N，P．则NP 的长为 8√2
9
． ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】8√2
9
．
【分析】根据正方形性质证明△ADE≌△BAF，得出AF⊥DE，等积法求出AM 的长，勾股定理求出
DM 的长，证明△AND∽△FNB，推出DN = 2
3 BD，连接BG，易得四边形DEBG 为平行四边形，得到
BG∥DE ，BG = DE =2√5，证明△DMP∽△BGP ，推出DP= 4
9 BD，进而得到
NP= DN - DP= 2
3 BD - 4
9 BD = 2
9 BD，勾股定理求出BD 的长，即可得出结果．
【解答】解∵四边形ABCD 是正方形，边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵E、F、G 分别是AB、BC、CD 的中点，
∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2，
在△ADE 和△BAF 中，
{
AD = AB
∠DAE =∠ABF ，
AE = BF
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF，
∴∠ADE+∠DAF＝90°
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE，
在Rt△ADE 中，由勾股定理得DE =√A D
2+ A E
2=√4
2+2
2=2√5，
26
∵S△ADE= 1
2 AD⋅AE = 1
2 DE⋅AM，
∴AM = AD⋅AE
DE
= 4×2
2√5 = 4√5
5
，
∴DM =√A D
2- A M
2= 8√5
5
，
∵AD∥BC，
∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF，
∴△AND∽△FNB，
∴DN
BN = AD
BF = 4
2 =2，
∴DN = 2
3 BD，
连接BG，
∵AB∥CD，BE＝DG＝2，
∴四边形DEBG 为平行四边形，
∴BG∥DE，BG = DE =2√5，
∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB，
∴△DMP∽△BGP，
∴DP
BP = DM
BG = 4
5 ，
∴DP= 4
9 BD，
∴NP= DN - DP= 2
3 BD - 4
9 BD = 2
9 BD，
在Rt△ABD 中，BD =√A B
2+ A D
2=√4
2+ 4
2= 4√2，
∴NP = 2
9 ×4√2= 8√2
9
，
故答案为：8√2
9
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
20．（2026•成都）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 为△ABC 的一条中线，E 为AC 上一点，∠ADE
27
＝∠B．若AE＝5，CE＝2，则AB＝ 7√33
3
．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】7√33
3
．
【分析】ED 和AB 的延长线相交于F 点，过B 点作BH∥AC 交EF 于H 点，如图，∠DBH＝∠C＝
90°，先证明△CDE≌△BDH 得到CE＝HB＝2，DE＝DH，再证明△FBH∽△FAE，根据相似三角形的
性质得到FB
FA = FH
FE = 2
5，则设FB＝2x，FA＝5x，FH＝4a，FE＝10a，所以AB＝3x，DE＝DH＝3a，接
着证明△FBD∽△FDA 得到2x：7a＝7a：5x，所以a= √10
7 x，DE= 3√10
7
x，根据勾股定理，在
Rt△ABC 中得到BC2＝9x2﹣49，则CD2= 1
4 （9x2﹣49），然后在Rt△CDE 中得到22+ 1
4 （9x2﹣49）＝
（3√10
7
x）2，解方程求出x，从而得到AB 的长．
【解答】解：ED 和AB 的延长线相交于F 点，过B 点作BH∥AC 交EF 于H 点，如图，∠DBH＝∠C＝
90°，
∵AD 为△ABC 的中线，
∴CD＝BD，
在△CDE 和△BDH 中，
{
∠C =∠DBH
CD = BD
∠CDE =∠BDH
，
∴△CDE≌△BDH（ASA），
∴CE＝HB＝2，DE＝DH，
∴BH∥AE，
∴△FBH∽△FAE，
∴FB
FA = FH
FE = BH
BE = 2
5，
设FB＝2x，FA＝5x，FH＝4a，FE＝10a，
∴AB＝3x，DE＝DH＝3a，
28
∵∠ADE＝∠ABC，
而∠ADE＝∠DAF+∠F，∠ABC＝∠BDF+∠F，
∴∠BDF＝∠DAF，
∵∠BFD＝∠DFA，
∴△FBD∽△FDA，
即FB：FD＝FD：FA，
∴2x：7a＝7a：5x，
∴a= √10
7 x，
∴DE= 3√10
7
x，
在Rt△ABC 中，∵BC2＝AB2﹣AC2＝9x2﹣49，
∴CD2= 1
4 BC2= 1
4 （9x2﹣49），
在Rt△CDE 中，22+ 1
4 （9x2﹣49）＝（3√10
7
x）2，
解得x1= 7√33
9
，x2=- 7√33
9
（舍去），
∴AB＝3x= 7√33
3
．
故答案为：7√33
3
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比
表示三之间的关系或进行几何计算．也考查了勾股定理．
29
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到
y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
3．二次函数的最值
（1）当a＞0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
（2）当a＜0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
4．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5．全等三角形的判定与性质
30
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
9．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
31
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
32
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
14．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾
股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
15．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角
度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
16．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特
殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
17．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若a
b = c
d ，则ad＝bc．
②合比性质．若a
b = c
d ，则a+b
b
= c +d
d
．
③分比性质．若a
b = c
d ，则a-b
b
= c -d
d
．
④合分比性质．若a
b = c
d ，则a+b
a-b = c +d
c -d ．
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⑤等比性质．若a
b = c
d =⋯= m
n （b+d+…+n≠0），则a+c +⋯⋯+m
b+d +⋯⋯+n = m
n ．
18．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB：
AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．
其中AC= √5-1
2
AB≈0.618AB，并且线段AB 的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为
黄金比：√5-1
2
；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄
金比：√5-1
2
．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为√5-1
2
．
19．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线
平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形
的三边与原三角形的三边对应成比例．
20．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用
时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
21．相似三角形的判定与性质
34
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
22．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造
直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高
度．
23．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图
形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k 或﹣k．
24．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
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sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
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