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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 专题30 相似三角形压轴题综合（32 题） 答案版 1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．①③ 7．8 2 9 8．7 33 3 9．4 5 2 2 − 10．①③⑤ 11．3 5 2 12．4 10 2 − 13．14 14．2 2 或10 2 3 15． 4 3 5 16．(1)证明： AB BC = ，BO是ABC的中线， A C = ，AO CO = ，BO AC ⊥ ， BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ， E C = ，EO CO = ， A E = ，AO EO = ， AON EOM = ， 在AON 和EOM 中， A E AO EO AON EOM = = = ， ( ) ASA AON EOM ≌ ； (2)①解：DO DF = ， 理由如下： AB BC = ，BO是ABC的中线， ABO CBO = ， BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ， D CBO = ，OD OB = ， ABO D = ， ∵OD AB ∥ ， D AFD = ， AFD ABO = ， DF OB ∥ ， 四边形DFBO是平行四边形， OD OB = ， DFBO 是菱形， DO DF = ； ②线段BH 的长为13 或4 13 − 17．(1)60 (2)证明： 60 ACD ABD = = ， ACD E = ． AC EF ∥ ． ∵四边形AFBD 是 O 的内接四边形， 180 AFB ADB + = ． ABD是等边三角形， 60 ADB = ， 120 AFB = ． 180 AFB E += ． AF CE ∥ ． ∴四边形AFEC是平行四边形． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 (3) 7 3 18．(1)①证明：如图，作OG AB ⊥ 于G ，OZ CD ⊥ 于Z ，连接OC ， ∴ 1 2 AG AB = ， 1 2 CZ CD = ， ∵AB CD = ， ∴AG CZ = ， ∵OA OC = ， 90 AGO CZO = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL OAG OCZ ≌ ， ∴OG OZ = ， ∵ 90 PGO PZO = = ，OP OP = ， ∴ ( ) Rt OPG Rt OPZ HL ≌ ， ∴ APO CPO = ； ② 3 4 PH = ； (2) 2 3 PQ AQ = 19．(1)证明：∵ ABC EAD △ △ ≌ ， ∴ BAC E = ，即 FAD E = ， 又∵ AFD EFA = ， ∴AFD EFA ∽ ， ∴AF FD FE AF = ， ∴ 2 AF FD FE = ； (2) 2 3 (3) 2 1 + 20．(1)CE BD = ，理由如下： 由旋转得 90 , DAE AD AE = = ∵ 90 BAC = ∴ DAE BAC = ∴ DAC CAE DAC BAD + = + ∴ CAE BAD = ∵AB AC = ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ∴CE BD = ； (2) 6 13 5 (3) 1 1 k − 21．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ 90 BAE ABF = = ， 在ABE 和BAF 中 90 AE BF BAE ABF AB BA = = = = ( ) SAS ABE BAF ≌ ； (2) 2 3 MG CF = ，理由如下： 如图，连接 CG ，过点 G 作 GH BC ⊥ 于点 H ， BE 平分 ABC 、AF 平分 BAC ，且AF 与 BE 相交于点G ， 点G 是ABC 的内心， 点G 到ABC三边的距离相等 设GH r = ， 1 1 1 1 2 2 2 2 r AB r AC r BC BC AB + + = ， 即( ) r AB AC BC BC AB + + = ， ∵ 2 AB AC BC + = 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 3 r BC BC AB = ∴ 3 AB r = ∴ 3 : :1 GH AB = , 90 FHG FBA AFB GFH = = = FGH FAB △ ∽△ 3:1 : GF AF = 3:2 : AG AF = 2:1 : CM AM = 3:2 : AM AC = ∵ GAM FAC = GAM FAC ∽ ∴ 2 3 MG CF = ； (3) 3 tan 3 23 DAH = 或5 3 17 22．(1)①证明： CE AD ∥ ， DEC ADM = ， AM DE ⊥ ， 90 AMD = ， 由旋转得， 90 EDC B = = ， 90 AMD EDC = = ， ADM CED △ ∽△ ； ②2；③ 3 10 4 AB = (2) 2 5 5 23．(1) AEB CFB = ，AE CF = (2)解： 3 CF AE = ，证明如下： ∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， ∴ 90 ABC EBF = = ， ∴ ABC EBC EBF EBC − = − ， ∴ ABE CBF = ， 3 BC BF BA BE = = ， CBF ABE ∽ ， 3 CF BC AE BA = = ， 3 CF AE = ； (3)3或 21 (4) 1 0 3 S 24．(1) 25 8 (2)5，25 8 ，8． (3)6 25．(1)证明： PA为 O 的切线， PA OA ⊥ ， ∴ 90 PAO = ， ∵BC OP ∥ ， ∴ , AOP B COP OCB = = ． ∵OB OC = ， ∴ B OCB = ， ∴ AOP COP = ． ∵在AOP 和COP 中， OA OC AOP COP OP OP = = = ∴ ( ) AOP COP SAS ≌ ， ∴ 90 PCO PAO = = ． OC是 O 的半径， PC 为 O 的切线． (2) 4 5 5 ① = BC ；② 24 tan 7 = PEC 26．(1) BE DF = ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , 90 AB AD BAD = = ， ∵ , 90 AE AF EAF = = ， ∴由旋转可得， , 90 AE AF E AF = = ， ∴ 90 BAD E AF = = ， ∴ BAE DAF = ， ∴ ( ) SAS BAE DAF △ ≌△ ， ∴BE DF = ； (2)①证明：∵AE BE ⊥ ， ∴ 90 AE B = ， 由（1）可得， BAE DAF △ ≌△ ， ∴ 90 AE B AF D = = ， ∵ 90 E AF = ， ∴ 180 E AF AF D + = ， ∴AE DF ∥ ， ∴NA NE ND NF = ， ∴NA NF ND NE = ； ②4 3 27．(1) 3 2 (2)50 (3) 2 155077m 28．(1)180 (2) 9 4 k = (3)①BB CC ∥ ， 1 BB CC k = ，理由如下： 如图，连接 , BC B C ， 同（1）可得 180 BDF EDF CDE + + = ∴ , , B C D ， , , B D C 三点共线， ∵F D A C ∥ ， ∴B F D B A C ∽ ， ∴ 1 B D B F DC A F k = = ， ∵FD AC ∥ ， ∴ 1 BD BF DC AF k = = ， 1 BD B D DC DC k = = ， 又∵ BDB CDC = ， ∴BB D CC D ∽ ， ∴ DBB DCC = ， 1 BB BD CC DC k = = ， ∴BB CC ∥ ， 1 BB CC k = ； ② 2 2k ． 29．(1)如图①，点P 即为所求； (2)两点之间线段最短 (3)1 (4) 4 3 4 6 3 + 30．(1)证明：如图1，连接OC ， 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 PC PA PB = ， ∴PC PA PB PC = ， 又∵ P P = ， ∴PCB PAC ∽ ， ∴ PCA PBC = ， ∵AB 是 O 的直径，OA OC = ， ∴ 90 , ACB OAC OCA = = ， ∴ 90 PBC OAC PCA OCA OCP + = + = = ， 又∵OC 是 O 的半径， ∴直线PC 是 O 的切线； (2)14 21 11 (3) 1 2 S S ，证明如下： 如图2，连接BD ， ∵O 为AB 的中点，点M 是BE 的中点， ∴OM 是ABE 的中位线， ∴ // OM AE， ∴ 90 ACB ONB = = ， ∵DH AB ⊥ ， ∴ 90 OHD = ， ∴ 90 ODF DOH OBF DOH + = + = ， ∴ ODF OBF = ， ∵OD OB = ， ∴ ODB OBD = ， ∴ ODB ODF OBD OBF − = − ，即 BDF DBF = ， ∴DF BF = ， 在Rt BFH 中， 90 BHF = ，BF BH ， ∴DF BF FH = ， ∵ 1 2 1 1 , 2 2 OFD OFH S S DF OH S S FH OH = = = = ， ∴1 1 2 2 DF OH FH OH ，即 1 2 S S ． 31．(1)如图：点D、点E 即为所求． (2)如图：点FP 、点G 即为所求． 32．(1)证明：∵DG 平分 CDE ， ∴ CDG EDG = ， ∵正方形ABCD的边CD绕点D 逆时针旋转得到DE ， ∴AD CD DE = = ， 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ∵DG DG = ， ∴ ( ) SAS DCG DEG ≌ ， ∴CG EG = ， DEG DCG = ， ∵AD CD DE = = ， ∴ DAE DEG = ， ∴ DAE DCG = ， ∵ AFD CFG = ， ∴ 90 CGF ADF = = ， ∴ 90 CGE = ， ∴CGE是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得DCG DEG ≌ ， 90 CGE = ， ∴ ( ) 1 360 90 135 2 CGD EGD = = − = ， ∴ 180 180 135 45 AGD EGD = − = − = ， ∴ 45 AGD ADB = = ， 又∵ DAG FAD = ， ∴ADH AGD ∽ ， ∴AD AH AG AD = ，即 2 AD AH AG = ① ， 如图：过 D 作 DM AE ⊥ 于 M ， 则 90 AMD ADF = = ， ∵ DAM FAD = ， ∴ADM AFD V V ∽ ， ∴AD AM AF AD = ，即 2 AD AM AF = ② ， ∵AD DE = ，DM AE ⊥ ， ∴ 1 2 AM EM AE = = ， ∴ 2 1 2 AD AM AF AE AF = = 由①②两式得， 1 2 AH AG AE AF = ，即 2 AF AE AH AG = ． (3) 34 2 −
