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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（二）
一．解答题（共19 小题）
1．（2026•北京）如图，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，AC 为⊙O 的直径，过点B 作AC
的垂线，垂足为E，交⊙O 于点D，连接OP，CD．
（1）求证：∠ACD＝∠POA；
（2）连接PC 交BD 于点F．若CE＝2，tan∠ACD=√2，求BF 的长．
2．（2026•广东）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝2√5，点D 在AB 上，且BD＝3AD，连接
CD．过点A 作CD 的垂线交CD 于点E，交BC 于点F，连接BE，AE＝2．
（1）求CE 的长；
（2）求证：BD2＝9DE•DC；
（3）求S△BEF
S△BDE
的值．
3．（2026•南京）已知：Rt△ABC 中，∠C＝90°，F、G 为AC、BC 边上的点，且DF⊥AB，EG⊥AB．
（1）求证：△ADF∽△GEB；
（2）∠B＝30°，AB＝6，DE＝2，△ADF∽△GCF，求AD 的长．
4．（2026•陕西）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km．某数学兴趣小组开展测量渭河河道
宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
2
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取
两个观测点B，C；
2．测量∠ABC，∠ACB 的
度数；
3．测量B，C 两点之间的距
离．
1．在河道一侧的岸边选取两
个观测点B ，C ，分别在
AB，AC 的延长线上选取点
D，E，使得DE∥BC；
2．测量B，C 两点之间的距
离，D，E 两点之间的距离，
BC 与DE 之间的距离h．
测量数据
∠ABC ＝45° ，∠ACB ＝
63.4°，BC＝120m．
BC＝120m，DE＝150m，h＝
20m．
备注
1．点A 是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选
取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3 ．参考数据：sin63.4°≈0.89 ，cos63.4°≈0.45 ，
tan63.4°≈2.00．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A 到BC 的距离）．
5．（2026•湖北）在Rt△ABC 中，∠B＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到
△EDC，使得AD＝AE．
（1）如图1，若AD∥CE，DE 与AC 交于点F，作AM⊥DE，垂足为M．
①证明：△ADM∽△CED；
②求EF
DF 的值；
③若AC＝3，直接写出AB 的值．
（2）如图2，若∠DAE＝90°，直接写出AB
AC 的值．
3
6．（2026•广元）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆O 交AC 于点E，F 为半圆O 上
一点，连接BF 交AC 于点G，连接CF，且CF＝CB．
（1）求证：CF 为半圆O 的切线；
（2）连接EF，若tan∠AEF= 1
2，AB＝10，求AG 的长．
7．（2026•甘孜州）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保
持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE 是平行四边形，
CE
AE = AF
BF =k．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝ 度．
【变化探寻】
（2）如图2，AB＝10，AC＝15，固定点D，当k 为何值时，在移动点B 的过程中，始终有∠AEF 与
∠B 相等．
【深入探究】
（3）如图3，固定点D，若移动点B 到点B′，则点C 随之移动到点C′．
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①判断线段CC′与BB′的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点B 处安装一支描图针，在点C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角
三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L2，求图形L2的面积．（用含k 的代数式表示）
8．（2026•陕西）问题探究
（1 ）如图①，AD 是△ABC 的角平分线，若S△ABD ：S△ACD ＝3 ：2 ，则AB ：AC 的值为
；
（2）如图②，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D，E 在边BC 上．若BE•CD＝AB2，求
∠DAE 的度数；
问题解决
（3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两
条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处
修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形ABCD 区域为农田，AQ，DP 为小路，小路的出口P，Q 分别在农田边界AB，BC
上，AQ 与DP 相交于点M，点M 为蓄水池，点B 为水源接入口，BM 为地下输水管道．根据种植需求，
△ADP 区域与△ABQ 区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM 最短．
已知AD∥BC，AB⊥BC，AD＝400m，AB＝480m，BC＝720m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情
况下，当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积．（结果精确到1m2．小路的宽，蓄水
池的大小均忽略不计）．
9．（2026•巴中）四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，∠AEF＝90°．
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【教材重现•提出问题】
（1）如图1，AB＝BC，G、E 分别是AB、BC 的中点，EF 交矩形外角的平分线于点F．求证：
△AGE≌△ECF．
【模型建构•应用意识】
（2）如图2，AB＝BC＝4，EF 交矩形外角的平分线于点F，延长CF 交AD 的延长线于点H，求√2
BE+HF 的值．
【拓展推广•实践能力】
（3）如图3，AB＝mBC，AE＝mEF（m 为常数），求CF
BE 的值（用含m 的代数式表示）．
10．（2026•齐齐哈尔）综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形ABCD 和矩形EBFG，BA＝2，BE＝1，BC
BA = BF
BE =k．先将矩形EBFG 的边
BE，BF 分别落在矩形ABCD 的边BA，BC 上，再将矩形EBFG 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α，连接
AE，CF．
（1）【问题初探】
如图1，当k＝1，0°＜α＜90°时，∠AEB 与∠CFB 的数量关系是 ，AE 与CF 的数量
6
关系是 ；
（2）【类比推理】
如图2，当k=√3，0°＜α＜90°时，试探究AE 与CF 的数量关系，请写出结论，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当k=√3，0°＜α＜360°时，点M 为边BC 的中点，直线EG 交线段BC 于点N．若EN＝MN，
则CF 的长为 ；
（4）【拓展延伸】
如图4，当k=√3，0°＜α＜90°时，过点E 作EQ⊥BC，垂足为Q，在线段BE 上取点P，使BP= 2
3EQ，
连接AP．若△ABP 的面积为S，则S 的取值范围是 ．
11．（2026•广西）图1 是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高
度MN．
如图2，MN 所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B 处，BC 垂直地面于点C，点A，C 在同一
水平线上．乙沿CA 方向移动平面镜，移到点D 时，从点B 发出的光线反射到点M 处；移到点E 时，
从点B 发出的光线反射到点N 处．经测量：BC＝1.5 米，AC＝12 米，CD＝2 米，DE＝2 米．记点D，
E 处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝
∠BET．
（1）求证：∠MDA＝∠BDC；
（2）求此公益广告牌的高度MN．
12．（2026•上海）如图，菱形ABCD 中，点E 为CD 上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE 交AC 于点F．
（1）若AF＝2CF，求证：点E 是CD 的中点；
（2）若∠ABE 的角平分线BH 交AC 于点G，交AD 于点H，求证：CD•BG＝BH•BF．
13．（2026•江西）如图，D，E 分别在△ABC 的边BA，CA 的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE
＝5，求BC 的长．
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14．（2026•眉山）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，对角线AC 平分∠BAD
交BD 于点E，点F 在AB 的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O 的半径．
15．（2026•湖南）【问题背景】
如图1，给定平行四边形ABCD，点P 是AD 边上不与A，D 重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY
＝AD，且当点P 运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．
【动手操作】
将△XYZ 拼接于平行四边形ABCD 的上方：
操作一：如图3，使点X 与A 重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q，作QS∥AB 交AD 于点S；
操作二：如图4，使点X 与D 重合，点Y 与A 重合，将此时的Z 点记为R，连接RP．
【问题解决】
（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝ °；
（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：
①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；
（3）如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P 运动时，求PR+PD 的最大值．
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16．（2026•烟台）【尝试发现】
（1）如图1，△ABC∽△ADE，AB
AC = 2
3．当点D，E 分别在边AB 和AC 上时，BD
CE 的值是
．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，
BD，AC 与BD 交于点O，CE 与BD 的延长线交于点F．
①求BD
CE 的值；
②写出∠BAC 和∠BFC 的数量关系并证明．
【联系拓广】
（3）如图3，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝6，点E 在边BC 上且BE＝2，连接AE．F 是直线BC 上的
动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．
①当点F 在线段CB 的延长线上，且EG＝EA 时，求EF 的长；
②当CG 的长度最小时，直接写出此时BF 的长．
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17．（2026•南充）在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AP＝AB．
【初步感知】（1）如图1，点P 在线段AC 上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB 的长．
【深入探究】（2）如图2，点P 在线段CD 上，若CP＝DP，设AB 长为x，AC 长为y，求y 与x 之间
的函数关系式．
【拓展运用】（3）如图3，点P 在线段CD 上，将△ADP 沿直线AP 折叠，若点D 落在BC 边上，求
DP
DC 的值．
18．（2026•安徽）如图1，在▱ABCD 中，CD＝2AD，边CD 的中点为M，连接AM．
（1）求证：∠C＝2∠AMD；
（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P 在线段AM 上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（i）求证：PF﹣PE＝MN；
（ii）若PF＝4PE，求AP
PM 的值．
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19．（2026•遂宁）综合与实践——探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．
（1）如图1，先将一张正方形的纸片沿MN 对折，再找到MN 的中点O，将平角∠MON 五等分，得到
图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N 作NQ⊥OP 于点Q，得到图4，最后沿NQ
把图4 中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5 所示的一个正五边形．请直接写出正五边形
的内角和为 ．
（2）连结图5 中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题：
①求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的度数；
②求CD
AD 的值．
（3）把图4 剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿NR 把图7 中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到
一个五角星．例如，当∠RNQ＝25°时，得到的五角星如图8 所示；若使展开后的五角星如图6 所示，
则∠RNQ 的度数为 ．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（二）
参考答案与试题解析
一．解答题（共19 小题）
1．（2026•北京）如图，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，AC 为⊙O 的直径，过点B 作AC
的垂线，垂足为E，交⊙O 于点D，连接OP，CD．
（1）求证：∠ACD＝∠POA；
（2）连接PC 交BD 于点F．若CE＝2，tan∠ACD=√2，求BF 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图
形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】证明：（1）∵PA、PB 是圆O 的切线，
∴PA＝PB．
又∵OA＝OB，
OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠AOP=∠BOP= 1
2 ∠AOB．
∵AC 是直径，
BD⊥AC，
∴弧AB＝弧AD，
∴∠AOB＝∠AOD．
∴∠ACD = 1
2 ∠AOD = 1
2 ∠AOB．
∴∠ACD＝∠POA；
（2）√2．
【分析】（1）通过连接OB 利用SSS 证明三角形全等，得出OP 平分圆心角∠AOB；再结合直径垂直
于弦所对的弧相等（弧AB＝弧AD），利用“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这一性质
进行等量代换，从而完成证明；
（2）先在Rt△CDE 中利用正切值求出半弦长DE（即BE），再通过相似比或三角函数关系求出大直
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角三角形PAC 中∠PCA 的正切值；最后将视角转移到小直角三角形CEF 中算出EF 的长，利用线段的
和差关系（BF＝BE﹣EF）即可求得最终结果．
【解答】证明：（1）连接OB，如图，
∵PA、PB 是圆O 的切线，
∴PA＝PB．
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠AOP=∠BOP= 1
2 ∠AOB．
∵AC 是直径，
BD⊥AC，
∴弧 AB＝弧 AD，
∴∠AOB＝∠AOD．
∴∠ACD = 1
2 ∠AOD = 1
2 ∠AOB．
∴∠ACD＝∠POA；
解：（2）在Rt△CED 中，∠CED＝90°，
CE＝2，
tan∠ACD =√2，
∴DE＝CE•tan∠ACD =2√2．
∵AC⊥BD，
∴BE = DE =2√2．
∵PA 是圆O 的切线，
∴PA⊥AC，
即∠PAC＝90°．
在Rt△OAD 中，
tan∠AOP= PA
OA ，
∵∠ACD＝∠AOP，
∴PA
OA = tan∠ACD =√2，
即PA =√2OA．
设OA＝R，
则AC＝2R，
PA=√2R，
在Rt△PAC 中，tan ∠PCA = PA
AC = √2 R
2 R = √2
2 ．
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在Rt△CEF 中，∠CEF＝90°，
∴EF =CE⋅tan ∠PCA =2× √2
2 =√2．
∴BF = BE - EF =2√2-√2=√2．
答：BF 的长为√2．
【点评】本题考查圆的切线性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以
及解直角三角形．重难点在于：利用切线长定理和垂径定理推导角的关系．
2．（2026•广东）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝2√5，点D 在AB 上，且BD＝3AD，连接
CD．过点A 作CD 的垂线交CD 于点E，交BC 于点F，连接BE，AE＝2．
（1）求CE 的长；
（2）求证：BD2＝9DE•DC；
（3）求S△BEF
S△BDE
的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】（1）4；
（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴AD
CD = DE
AD ，
∴AD2＝DE•DC，
∵BD＝3AD，
∴BD2＝9AD2，
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∴BD2＝9DE•DC；
（3）2．
【分析】（1）直接由勾股定理求解即可；
（2）证明△ADE∽△CDA，得到AD2＝DE•DC，再由BD＝3AD 代入求证即可；
（3）先证明点F 为BC 的中点，然后求出AF，EF，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
【解答】（1）解：∵AC =2√5，AE＝2，AE⊥CD，
∴CE =√A C
2- A E
2= 4；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴AD
CD = DE
AD ，
∴AD2＝DE•DC，
∵BD＝3AD，
∴BD2＝9AD2，
∴BD2＝9DE•DC；
（3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠CEA＝90°，
∴△AED∽△CEA，
∴AE
CE = DE
AE = AD
AC ，
∴2
4 = DE
2 = AD
2√5，
∴DE =1，AD =√5，
∴BD =3 AD =3√5，
∴AB = AD + BD = 4√5，
∴AD× AB =√5×4√5=20，
∴A C
2=(2√5)
2=20，
∴AC2＝AD×AB，
∴AD
AC = AC
AB ，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
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∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠ACD，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴FA＝FB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∴FB＝FC，
∵∠BAC＝90°，
∴FA = 1
2 BC = 1
2 ×√A C
2+ A B
2= 1
2 ×√(2√5)
2+(4√5)
2=5，
∴EF＝AF﹣AE＝3，
设S△ADE＝S，
∵BD＝3AD，
∴S△BDE＝3S，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝4S，
∵AE
EF = 2
3，
∴
S△ABE
S△BEF
= AE
EF = 2
3，
∴S△BEF＝6S，
∴
S△BEF
S△BDE
= 6 S
3 S =2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
3．（2026•南京）已知：Rt△ABC 中，∠C＝90°，F、G 为AC、BC 边上的点，且DF⊥AB，EG⊥AB．
（1）求证：△ADF∽△GEB；
（2）∠B＝30°，AB＝6，DE＝2，△ADF∽△GCF，求AD 的长．
【考点】相似三角形的判定；含30 度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵DF⊥AB，EG⊥AB，
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∴∠ADF＝∠BEG＝90°，
∵C＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BGE+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BGE，
∴△ADF∽△GEB；
（2）1
2．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADF＝∠BEG＝90°，由余角的性质推出∠A＝∠BGE，即可证明
△ADF∽△GEB；
（2）过F 作FH⊥GE 于H，设AD＝x，由tanA= DF
AD =√3，得到DF=√3x，由tan∠B= EG
EB = √3
3 ，得
到EG= √3
3 （4﹣x），判定四边形DEHF 是矩形，得到EH＝DF=√3x，FH＝DE＝2，求出GH= 4√3
3
（1﹣x），由相似三角形的性质推出∠CGF＝∠A＝60°，求出∠FGH＝60°，由tan∠FGH= FH
GH =√3，
得到4（1﹣x）＝2，求出x= 1
2，即可得到AD 的长．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，EG⊥AB，
∴∠ADF＝∠BEG＝90°，
∵C＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BGE+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BGE，
∴△ADF∽△GEB；
（2）解：过F 作FH⊥GE 于H，
设AD＝x，
∵AB＝6，DE＝2，
∴BE＝4﹣x，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵tanA＝tan60°= DF
AD =√3，
∴DF=√3x，
∵tan∠B＝tan30°= EG
EB = √3
3 ，
∴EG= √3
3 （4﹣x），
∵∠FDE＝∠DEH＝∠EHF＝90°，
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∴四边形DEHF 是矩形，
∴EH＝DF=√3x，FH＝DE＝2，
∴GH＝EG﹣EH= 4√3
3
（1﹣x），
∵△ADF∽△GCF，
∴∠CGF＝∠A＝60°，
∵∠BGE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠FGH＝180°﹣∠CGF﹣∠BGE＝60°，
∵tan∠FGH＝tan60°= FH
GH =√3，
∴√3GH＝FH，
∴4（1﹣x）＝2，
∴x= 1
2，
∴AD= 1
2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，关键是掌握相似三
角形的判定方法，由锐角的正切定义得到关于x 的方程．
4．（2026•陕西）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km．某数学兴趣小组开展测量渭河河道
宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取
两个观测点B，C；
2．测量∠ABC，∠ACB 的
度数；
3．测量B，C 两点之间的距
离．
1．在河道一侧的岸边选取两
个观测点B ，C ，分别在
AB，AC 的延长线上选取点
D，E，使得DE∥BC；
2．测量B，C 两点之间的距
离，D，E 两点之间的距离，
BC 与DE 之间的距离h．
测量数据
∠ABC ＝45° ，∠ACB ＝BC＝120m，DE＝150m，h＝
18
63.4°，BC＝120m．
20m．
备注
1．点A 是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选
取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3 ．参考数据：sin63.4°≈0.89 ，cos63.4°≈0.45 ，
tan63.4°≈2.00．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A 到BC 的距离）．
【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用；平行线之间的距离．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】这段河道的宽度为80m．
【分析】方案一：过点A 作AH⊥BC 于点H，解Rt△ABH 和Rt△ACH 求解即可；方案二：过点A 作
AG⊥DE 于点G，交BC 于点H，可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比等于对应高之比求解
即可．
【解答】解：方案一：过点A 作AH⊥BC 于点H，
∵∠ABC＝45°，∠ACB＝63.4°，
∴在Rt△ABH 中，AH＝BH×tan∠ABC＝BH，
在Rt△ACH 中，CH =
AH
tan ∠ACB = AH
2 ，
∵BH+CH＝BC，BC＝120m，
∴AH + 1
2 AH =120，解得 AH＝80m，
∴这段河道的宽度为80m；
方案二：过点A 作AG⊥DE 于点G，交BC 于点H，
19
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，AH⊥BC，
∴BC
DE = AH
AG ，
∵BC＝120m，DE＝150m，h＝HG＝20m，
∴120
150 = AG -20
AG
，解得 AG＝100m，
∴AH＝100﹣20＝80m，
答：这段河道的宽度为80m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线之间的距离，解直角三角形的应用，掌握其相关
知识点是解题的关键．
5．（2026•湖北）在Rt△ABC 中，∠B＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到
△EDC，使得AD＝AE．
（1）如图1，若AD∥CE，DE 与AC 交于点F，作AM⊥DE，垂足为M．
①证明：△ADM∽△CED；
②求EF
DF 的值；
③若AC＝3，直接写出AB 的值．
（2）如图2，若∠DAE＝90°，直接写出AB
AC 的值．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；几何直观；应用意识．
【答案】（1）①证明：∵CE∥AD，
20
∴∠DEC＝∠ADM，
∵AM⊥DE，
∴∠AMD＝90°，
由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，
∴∠AMD＝∠EDC＝90°．
∴△ADM∽△CED；
②EF
DF 的值为2；
③AB 的值为3√10
4
；
（2）AB
AC 的值为2√5
5
．
【分析】（1）先判断出∠DEC＝∠ADM，由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，进而得出∠AMD＝∠EDC
＝90°，即可得出结论；
②先判断出DM = 1
2 DE，进而得出CE
AD = DE
MD =2．在判断出△AFD∽△CFE，即可得出答案；
③设DE＝6x，由②知，DM = 1
2 DE =3x，由①知，△ADM∽△CED，得出CD＝2AM，再判断出
△AFM∽△CFD，得出DF＝2FM，CF＝2AF，进而得出FM＝x，DF＝2x，AF＝1，CF＝2，最后用勾
股定理求出x，即可得出答案；
（2）过点A 作AM⊥DE 于M，设AM＝a，CD＝b，得出DE＝2AM＝2a，EM＝a，延长DE 至G，使
EG＝CD＝b，判断出△ADC≌△AEG（SAS），得出AG＝AC，在Rt△AMG 中，AC2＝2a2+2ab+b2，在
Rt△BCD 中，AC2＝（2a）2+b2＝4a2+b2，进而判断出a＝b，利用勾股定理表示出AC，即可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵CE∥AD，
∴∠DEC＝∠ADM，
∵AM⊥DE，
∴∠AMD＝90°，
由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，
∴∠AMD＝∠EDC＝90°．
∴△ADM∽△CED；
②∵AD＝AE，AM⊥DE，
∴DM = 1
2 DE，
由①知，△ADM∽△CED，
∴CE
AD = DE
MD =2．
∵CE∥AD，
21
∴△AFD∽△CFE，
∴EF
DF = CE
AD =2，
即EF
DF 的值为2；
③设DE＝6x，
由②知，DM = 1
2 DE =3x，
由①知，△ADM∽△CED，
∴AM
CD = DM
DE = 1
2，
∴CD＝2AM，
∵AM⊥DE，
∴∠AMD＝90°＝∠CDE，
∵∠AFM＝∠CFD，
∴△AFM∽△CFD，
∴AF
CF = AM
CD = FM
DF = 1
2，
∴DF＝2FM，CF＝2AF，
∵DF+FM＝DM＝3x，AF+CF＝AC＝3，
∴FM＝x，DF＝2x，AF＝1，CF＝2，
由旋转知，DE＝AB＝6x，CE＝AC＝3，
在Rt△CDE 中，CD2+DE2＝CE2，
∴CD2+（6x）2＝32，
∴CD2+36x2＝9（Ⅰ），
在Rt△CDF 中，CD2+DF2＝CF2，
∴CD2+（2x）2＝22，
∴CD2+4x2＝4（Ⅱ），
（Ⅰ）﹣（Ⅱ）得，32x2＝5，
∴x= √10
8 （舍去负值），
∴AB＝6x＝6× √10
8 = 3√10
4
，
即AB 的值为3√10
4
；
（2）过点A 作AM⊥DE 于M，设AM＝a，CD＝b，
∵AD＝AE，
∴DM＝EM，
22
∴AM= 1
2DE，
∴DE＝2AM＝2a，EM＝a，
延长DE 至G，使EG＝CD＝b，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝135°，
∵∠AEG＝180°﹣∠AED＝135°，
∴∠ADC＝∠AEG，
∴△ADC≌△AEG（SAS），
∴AG＝AC，
在Rt△AMG 中，AM2+MG2＝AG2，
∴a2+（a+b）2＝AC2，
∴AC2＝2a2+2ab+b2，
在Rt△BCD 中，CE2＝DE2+CD2，
∴AC2＝（2a）2+b2＝4a2+b2，
∴2a2+2ab+b2＝4a2+b2，
∴a＝b，
∴DE＝2a，CD＝a，
由旋转知，AB＝DE＝2a，BC＝CD＝a，
根据勾股定理得，AC=√A B
2+ BC
2=√5a，
∴AB
AC = 2a
√5a = 2√5
5
，
即AB
AC 的值为2√5
5
．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾
股定理，全等三角形的判定和性质，构造成全等三角形是解（2）的关键．
23
6．（2026•广元）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆O 交AC 于点E，F 为半圆O 上
一点，连接BF 交AC 于点G，连接CF，且CF＝CB．
（1）求证：CF 为半圆O 的切线；
（2）连接EF，若tan∠AEF= 1
2，AB＝10，求AG 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OC 交BF 于H，连接OF，如图，
在△OCF 和△OCB 中，
{
OF =OB
OC =OC
CF =CB
，
∴△OCF≌△OCB（SSS），
∴∠OFC＝∠OBC＝90°，
∴OF⊥CF，
∵OF 为半径，
∴CF 为半圆O 的切线；
（2）10√2
3
．
【分析】（1）证明△OCF≌△OCB 得到∠OFC＝∠OBC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）连接AF，如图，先根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，∠ABF＝∠AEF，则在Rt△ABF 中利用正
切的定义得到tan∠ABF= AF
BF = 1
2，所以利用勾股定理可计算出AF＝2√5，BF＝4√5，再证明OC 垂直
平分BF 得到FH＝BH＝2√5，所以OH= 1
2AF=√5，接着证明Rt△OBH∽Rt△OCB，利用相似比求出
OC＝5√5，所以CH＝4√5，然后证明△AFG∽△CGH，则利用相似比和比例的性质可求出FG= 2√5
3
，最后利用勾股定理计算出AG 的长．
【解答】（1）证明：连接OC 交BF 于H，连接OF，如图，
24
在△OCF 和△OCB 中，
{
OF =OB
OC =OC
CF =CB
，
∴△OCF≌△OCB（SSS），
∴∠OFC＝∠OBC＝90°，
∴OF⊥CF，
∵OF 为半径，
∴CF 为半圆O 的切线；
（2）解：连接AF，如图，
∵AB 为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴tan∠ABF＝tan∠AEF= 1
2，
在Rt△ABF 中，∵tan∠ABF= AF
BF = 1
2，
∴BF＝2AF，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴AF2+4AF2＝102，
解得AF＝2√5，
∴BF＝4√5，
∵OB＝OF，CF＝CB，
∴点O、C 在BF 的垂直平分线上，
即OC 垂直平分BF，
∴FH＝BH= 1
2BF＝2√5，
∴OH= 1
2AF=√5，
∵∠BOH＝∠COB，
∴Rt△OBH∽Rt△OCB，
∴OB：OC＝OH：OB，
即5：OC=√5：5，
解得OC＝5√5，
∴CH＝OC﹣OH＝4√5，
∵∠AFG＝∠CHG，∠AGF＝∠CGH，
∴△AFG∽△CGH，
25
∴FG
GH = AF
CH = 2√5
4√5 = 1
2，
∴
FG
GH + FG = 1
3，
∴FG= 1
3FH= 2√5
3
，
在Rt△AFG 中，AG√F G
2+ A F
2=√( 2√5
3
)
2+(2√5)
2
❑
= 10√2
3
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比
表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定与性质．
7．（2026•甘孜州）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保
持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE 是平行四边形，
CE
AE = AF
BF =k．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝
180
度．
【变化探寻】
（2）如图2，AB＝10，AC＝15，固定点D，当k 为何值时，在移动点B 的过程中，始终有∠AEF 与
∠B 相等．
【深入探究】
（3）如图3，固定点D，若移动点B 到点B′，则点C 随之移动到点C′．
①判断线段CC′与BB′的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点B 处安装一支描图针，在点C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角
三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L2，求图形L2的面积．（用含k 的代数式表示）
26
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）180；
（2）k = 9
4 ；
（3）①BB'∥CC'，BB' = 1
k CC '，理由如下：
如图，连接BC，B'C'，
同（1）可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴B、C、D，B'、D、C'三点共线，
∵F'D∥A'C，
∴△B'F'D∽△B'A'C'，
∴B' D
DC ' = B' F
A ' F ' = 1
k ，
∵FD∥AC，
∴BD
DC = BF
AF = 1
k ，
又∵∠BDB'＝∠CDC'，
∴△BB′D∽△CC'D，
∴∠DBB'＝∠DCC'，BB'
CC ' = BD
DC = 1
k ，
∴BB'∥CC'，BB' = 1
k CC '；
②2k2．
27
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得CE
DE = DF
BF ，AC∥DF，AB∥DE，进而可得∠CED＝∠A＝
∠DFB，根据已知可得CE
DE = DF
BF ，进而证明△CDE∽△DFB 得出∠1＝∠C，再根据平行线的性质，
即可得证；
（2）设AE＝DF＝x，BF＝y，则CE＝kx，AF＝DE＝ky，证明△EDC∽△AEF，得出k =( x
y )
2，证明
△BFD∽△BAC 得出x
y = 3
2，即可求解；
（3）①连接B'C'，BC，证明△B'F'D∽△B'A'C，△BB'D∽ΔCC′D，根据相似三角形的性质，即可得
出结论；
②依题意，L1与L2是关于点D 的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2求得L1的面积，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴AE＝DF，AF＝DE，AE∥DF，AF∥DE，
∴△ABC∽△EDC，△ABC∽△FBD，
∴DE
AB = CE
AC ，DF
AC = BF
AB ，
∴CE
DE = AC
AB ，DF
BF = AC
AB ，
∴CE
DE = DF
BF ，AC∥DF，AB∥DE，
∴∠CED＝∠A＝∠DFB，
∵CE
AE = AF
BF =k，
∴CE
AF = AE
BF ，
∴CE
DE = DF
BF
∴△CDE∽△DFB，
∴∠1＝∠C，
∵AC∥DF，
∴∠C+∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°；
故答案为：180；
（2）∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴AE＝DF，AF＝DE，FD∥AC，
设AE＝DF＝x，BF＝y，
则CE＝kx，AF＝DE＝ky，
28
∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠B，
∴∠AEF∽△ABC，
∵DE∥AF，
∴∠EDC＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠EDC＝∠AEF，
∴△EDC∽△AEF，
∴AE
DE = AF
EC ，即x
ky = ky
kx ，
∴k =( x
y )
2，
∵FD∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴AC
AB = DF
BF ，
∵AB＝10，AC＝15，
∴x
y = 15
10 = 3
2，
∴k =( x
y )
2= 9
4 ，
∴当k = 9
4 时，在移动点B 的过程中，始终有∠AEF 与∠B 相等．
（3）①BB'∥CC'，BB' = 1
k CC '，理由如下：
如图，连接BC，B'C'，
同（1）可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴B、C、D，B'、D、C'三点共线，
∵F'D∥A'C，
∴△B'F'D∽△B'A'C'，
∴B' D
DC ' = B' F
A ' F ' = 1
k ，
∵FD∥AC，
29
∴BD
DC = BF
AF = 1
k ，
又∵∠BDB'＝∠CDC'，
∴△BB′D∽△CC'D，
∴∠DBB'＝∠DCC'，BB'
CC ' = BD
DC = 1
k ，
∴BB'∥CC'，BB' = 1
k CC '；
②由①可得BB' = 1
k CC '，
依题意，L1与L2是关于点D 的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2，
∵等腰直角三角形L1的边长为2，面积为1
2 ×2×2=2，
∴图形L2的面积为2k2．
【点评】本题主要考查了位似图形、相似三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．（2026•陕西）问题探究
（1）如图①，AD 是△ABC 的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC 的值为 3
2 ；
（2）如图②，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D，E 在边BC 上．若BE•CD＝AB2，求
∠DAE 的度数；
问题解决
（3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两
条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处
修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形ABCD 区域为农田，AQ，DP 为小路，小路的出口P，Q 分别在农田边界AB，BC
上，AQ 与DP 相交于点M，点M 为蓄水池，点B 为水源接入口，BM 为地下输水管道．根据种植需求，
△ADP 区域与△ABQ 区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM 最短．
已知AD∥BC，AB⊥BC，AD＝400m，AB＝480m，BC＝720m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情
况下，当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积．（结果精确到1m2．小路的宽，蓄水
池的大小均忽略不计）．
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【专题】图形的相似；推理能力．
30
【答案】（1）3
2；
（2）50°；
（3）155077m2．
【分析】（1）过点D 作DE⊥AB，DG⊥AC，垂足为点E，G，根据角平分线性质定理得到DE＝DG，
再由三角形面积公式求解即可；
（2）证明△ABE∽△DCA，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
（3 ）先证明△DAP∽△ABQ ，得到∠AMD ＝90° ，取AD 的中点E ，连接ME ，BE ，则
AE = 1
2 AD =200，则点M 的轨迹为以E 为圆心，AD 为直径的一段圆弧，EM＝AE＝200，故当点B，
M ，E 三点共线时，BM 取得最小值，过点M 作MF⊥AD 交AD ，BC 于点F ，G ，然后由
△AEM∽△QBM，求出QB＝320，MF = 2400
13 ，再证明四边形AQCD 是平行四边形，最后由S 四边形
MQCD＝S▱AQCD﹣S△AMD求解．
【解答】解：（1）过点D 作DE⊥AB，DG⊥AC，垂足为点E，G，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴DE＝DG，
∴
S△ABD
S△ACD
=
1
2 × AB× DE
1
2 × AC × DG
= 3
2，
∴AB
AC = 3
2，
故答案为：3
2；
（2）∵∠BAC＝80°，AB＝AC，
∴∠B =∠C = 180° -∠BAC
2
=50°，
∵BE•CD＝AB2，
∴BE•CD＝AB•AC，
∴BE
AC = AB
CD ，
∴△ABE∽△DCA，
31
∴∠BEA＝∠CAD，
∴∠BEA﹣∠EAC＝∠CAD﹣∠EAC，
∴∠C＝∠DAE＝50°；
（3）∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴
S△ADP
S△ABQ
=
1
2 AD× AP
1
2 AB×BQ
= 400 AP
480 BQ = 25
36 ，
∴AP
BQ = 5
6，
∵AD
AB = 400
480 = 5
6，
∴AP
BQ = AD
AB ，
∵∠DAP＝∠ABQ＝90°，
∴△DAP∽△ABQ，
∴∠ADP＝∠BAQ，
∴∠ADP+∠MAD＝∠BAQ+∠MAD＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝90°，
取AD 的中点E，连接ME，BE，则AE = 1
2 AD =200，
∴点M 的轨迹为以E 为圆心，AD 为直径的一段圆弧，EM＝AE＝200，
∵BM+ME≥BE，
∴BM≥BE﹣ME，
∴当点B，M，E 三点共线时，BM 取得最小值，如图：
32
过点M 作MF⊥AD 交AD，BC 于点F，G，
∵∠BAD＝90°，
∴BE =√A E
2+ A B
2=√200
2+ 480
2=520，
∴此时 BM＝BE﹣EM＝520﹣200＝320，
∵AD∥BC，MF⊥AD，
∴MG⊥BQ，
∴四边形ABGF 是矩形，
∴FG＝AB＝480，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△QBM，
∴AE
QB = EM
MB = MF
MG ，
∴200
QB = 200
320 =
MF
480- MF ，
∴QB＝320，MF = 2400
13 ，
∴CQ＝BC﹣QB＝720﹣320＝400＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AQCD 是平行四边形，
∴S 四边形MQCD＝S▱AQCD﹣S△AMD= 400×480- 1
2 ×400× 2400
13 = 2016000
13
≈155077m
2，
答：当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积为155077m2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质及判定，四边形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
9．（2026•巴中）四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，∠AEF＝90°．
【教材重现•提出问题】
33
（1）如图1，AB＝BC，G、E 分别是AB、BC 的中点，EF 交矩形外角的平分线于点F．求证：
△AGE≌△ECF．
【模型建构•应用意识】
（2）如图2，AB＝BC＝4，EF 交矩形外角的平分线于点F，延长CF 交AD 的延长线于点H，求√2
BE+HF 的值．
【拓展推广•实践能力】
（3）如图3，AB＝mBC，AE＝mEF（m 为常数），求CF
BE 的值（用含m 的代数式表示）．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，
∵AB＝BC，G、E 分别是AB、BC 的中点，
∴AG＝BG＝BE＝EC，
∴∠BGE＝45°，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAG＝∠FEC，
∵CF 平分∠DCM，
∴∠DCF = 1
2 ∠DCM = 45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）4√2；
（3）√m
2+1
m
．
【分析】（1）由题意易得∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，AG＝BG＝BE＝EC，然后可得∠EAG＝
∠FEC，∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，进而问题可求证；
（2）在AB 上截取一点P，使得BP＝BE，由题意易得∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°＝∠DCN＝∠CDH，
AB＝CD＝4，然后可得△APE≌△ECF（ASA），则有PE =CF =√2BE，进而根据等腰直角三角形的
性质进行求解即可；
（3）连接AC，AF，由题意易得AB
AE = BC
EF ，则有△ABC∽△AEF，然后可得AB
AE = AC
AF ，∠BAC＝
∠EAF，进而通过证明△ABE∽△ACF 可进行求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
34
∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，
∵AB＝BC，G、E 分别是AB、BC 的中点，
∴AG＝BG＝BE＝EC，
∴∠BGE＝45°，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAG＝∠FEC，
∵CF 平分∠DCM，
∴∠DCF = 1
2 ∠DCM = 45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）解：在AB 上截取一点P，使得BP＝BE，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°＝∠DCN＝∠CDH，AB＝CD＝4，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAP＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAP＝∠FEC，
∵AB＝BC，BP＝BE，
∴AP＝EC，
∵∠B＝90°，BP＝BE，
∴∠BPE＝45°，PE =√2BE，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝135°，
∵CF 平分∠DCN，
∴∠DCF = 1
2 ∠DCN = 45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠APE，
∴△APE≌△ECF（ASA），
∴PE =CF =√2BE，
∵∠CDH＝90°，∠DCH＝45°，
∴△DCH 是等腰直角三角形，
35
∴CH =√2CD = 4√2，
∵CH =CF + FH =√2BE + HF，
∴√2BE + HF = 4√2；
（3）解：连接AC，AF，如图所示：
∵AB＝mBC，AE＝mEF，
∴AB
BC = AE
EF =m，
∴AB
AE = BC
EF ，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴AB
AE = AC
AF ，∠BAC＝∠EAF，
∴AB
AC = AE
AF ，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC，∠CAF＝∠EAF﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴AB
AC = BE
CF ，
∵AB＝mBC，∠B＝90°，
∴AC =√A B
2+ BC
2=√m
2+1BC，
∴BE
CF =
mBC
√m
2+1BC
=
m
√m
2+1
，
∴CF
BE = √m
2+1
m
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及判定，矩形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
10．（2026•齐齐哈尔）综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形ABCD 和矩形EBFG，BA＝2，BE＝1，BC
BA = BF
BE =k．先将矩形EBFG 的边
BE，BF 分别落在矩形ABCD 的边BA，BC 上，再将矩形EBFG 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α，连接
36
AE，CF．
（1）【问题初探】
如图1，当k＝1，0°＜α＜90°时，∠AEB 与∠CFB 的数量关系是 ∠
AEB
＝∠
CFB
，AE 与CF 的数量
关系是AE
＝
CF
；
（2）【类比推理】
如图2，当k=√3，0°＜α＜90°时，试探究AE 与CF 的数量关系，请写出结论，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当k=√3，0°＜α＜360°时，点M 为边BC 的中点，直线EG 交线段BC 于点N．若EN＝MN，
则CF 的长为
3 或
√21 ；
（4）【拓展延伸】
如图4，当k=√3，0°＜α＜90°时，过点E 作EQ⊥BC，垂足为Q，在线段BE 上取点P，使BP= 2
3EQ，
连接AP．若△ABP 的面积为S，则S 的取值范围是 0＜S≤1
3 ．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；
（2）CF =√3 AE，证明如下：
∵四边形ABCD 和四边形EBFG 都是矩形，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
37
∵BC
BA = BF
BE =√3，
∴△CBF∽△ABE，
∴CF
AE = BC
BA =√3，
∴CF =√3 AE；
（3）3 或√21；
（4）0＜S≤1
3．
【分析】（1）证明△ABE≌△CBF（SAS），即可得到∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；
（2）证明△CBF∽△ABE，得到CF
AE = BC
BA =√3，则CF =√3 AE；
（3）分两种情况：点E 在BC 上方和点E 在BC 下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
（4）过点P 作PM⊥AB 于点M，证明△MPB∽△QBE，推出PM = 2
3 EQ⋅BQ，根据（BQ﹣EQ）
2≥0，推出2EQ•BQ≤BQ2+EQ2；由勾股定理得BQ2+EQ2＝BE2＝12＝1，则可证明EQ⋅BQ≤1
2，根据
S = 1
2 AB⋅PM = 2
3 EQ⋅BQ可得答案．
【解答】解：（1）当k＝1 时，则BC
BA = BF
BE =k =1，
∴BC＝BA，BF＝BE，
∵四边形ABCD 和四边形EBFG 都是矩形，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFB，AE＝CF，
故答案为：∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；
（2）CF =√3 AE，证明如下：
∵四边形ABCD 和四边形EBFG 都是矩形，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BC
BA = BF
BE =√3，
∴△CBF∽△ABE，
38
∴CF
AE = BC
BA =√3，
∴CF =√3 AE；
（3）如图所示，当点E 在BC 上方时，连接AN，过点B 作BT⊥AN 于点T，
∵BC
BA = BF
BE =k =√3，
∴BC =√3 BA =2√3；
∵点M 为BC 的中点，
∴BM =CM = 1
2 BC =√3；
∵四边形EBFG 是矩形，
∴∠BEG＝∠EGF＝90°，
设EN＝MN＝x，则BN = BM - MN =√3- x，
在Rt△EBN 中，由勾股定理得BN2＝EN2+BE2，
∴(√3- x)
2= x
2+1
2，
∴x = √3
3 ，
∴BN = 2√3
3
，EN = √3
3 ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AN =√A B
2+ B N
2= 4√3
3
，
∵BT⊥AN，
∴S△ABN = 1
2 AB⋅BN = 1
2 AN ⋅BT，
∴1
2 ×2× 2√3
3
= 1
2 × 4√3
3
BT，
∴BT＝1，
∴TN =√B N
2- BT
2= √3
3 ，
39
∵BN＝BN，BE＝BT＝1，EN =TN = √3
3 ，
∴△BEN≌△BTN（SSS），
∴∠BNE＝∠BNT，
∴E、N、T 三点共线，即点E 与点T 重合；
∴AE = AN - EN =√3，
由（2）得CF =√3 AE =3；
如图所示，当点E 在BC 下方时，
∵四边形EBFG 是矩形，
∴∠BEG＝∠EBF＝90°，
∴∠BEN＝180°﹣∠BEG＝90°，
同理可得EN = √3
3 ，
∴tan ∠EBN = EN
BE = √3
3 ，
∴∠EBN＝30°；
如图所示，过点E 作ET⊥AB 交AB 的延长线于点T，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBT＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴BT = BE⋅cos∠EBT = 1
2，ET = BE⋅sin ∠EBT = √3
2 ，
∴AT = AB+ BT = 5
2，
∴AE =√A T
2+ ET
2=√7；
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABC+∠EBC＝∠EBF+∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BC
BA = BF
BE =k =√3，
40
∴△ABE∽△CBF，
∴CF
AE = BC
BA =√3，
∴CF =√3 AE =√21；
综上所述，CF 的长为3 或√21，
故答案为：3 或√21；
（4）如图所示，过点P 作PM⊥AB 于点M，
∵PM⊥AB，EQ⊥BC，
∴∠PMB＝∠BQE＝90°，
∴∠MBP+∠MPB＝90°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠MBP+∠QBE＝90°，
∴∠MPB＝∠QBE，
∴△MPB∽△QBE，
∴PM
BQ = BP
BE ，
∴PM = BP⋅BQ
BE
= BP⋅BQ，
∵PB = 2
3 EQ，
∴PM = 2
3 EQ⋅BQ，
∵（BQ﹣EQ）2≥0，
∴BQ2+EQ2﹣2EQ•BQ≥0，
∴2EQ•BQ≤BQ2+EQ2；
在Rt△EBQ 中，由勾股定理得BQ2+EQ2＝BE2＝12＝1，
∴2EQ•BQ≤BQ2+EQ2＝1，
∴EQ⋅BQ≤1
2，
∵S = 1
2 AB⋅PM = 1
2 ×2⋅2
3 EQ⋅BQ = 2
3 EQ⋅BQ，
41
∴S≤2
3 × 1
2 = 1
3，
又∵S＞0，
∴0＜S≤1
3，
故答案为：0＜S≤1
3．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
11．（2026•广西）图1 是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高
度MN．
如图2，MN 所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B 处，BC 垂直地面于点C，点A，C 在同一
水平线上．乙沿CA 方向移动平面镜，移到点D 时，从点B 发出的光线反射到点M 处；移到点E 时，
从点B 发出的光线反射到点N 处．经测量：BC＝1.5 米，AC＝12 米，CD＝2 米，DE＝2 米．记点D，
E 处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝
∠BET．
（1）求证：∠MDA＝∠BDC；
（2）求此公益广告牌的高度MN．
【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）证明：∵SD⊥AC，
∴∠SDA＝∠EDC＝90°，
∴∠SDM+∠MDA＝∠SDB+∠BDC＝90°，
∵∠MDS＝∠BDS，
∴∠MDA＝∠BDC；
（2）此公益广告牌的高度MN 约为4.5m．
【分析】（1）根据等角的余角相等，即可解答；
（2）证明△BCE∽△NAE，△BCD∽△MAD，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵SD⊥AC，
∴∠SDA＝∠EDC＝90°，
∴∠SDM+∠MDA＝∠SDB+∠BDC＝90°，
∵∠MDS＝∠BDS，
42
∴∠MDA＝∠BDC；
（2）解：∵TE⊥AC，
∴∠TEA＝∠TEC＝90°，
∴∠TEN+∠NEA＝∠TEB+∠BEC＝90°，
∵∠NET＝∠BET，
∴∠BEC＝∠NEA，
∵BC⊥AC，MA⊥AC，
∴∠BCA＝∠MAC＝90°，
∴△BCE∽△NAE，
∴BC
CE = NA
AE ，
∴1.5
4 =
NA
12-2-2，
解得：NA＝3，
∵∠MDA＝∠BDC，
∴△BCD∽△MAD，
∴BC
CD = MA
AD ，
∴1.5
2 = MA
12-2，
解得：MA＝7.5，
∴MN＝MA﹣AN＝7.5﹣3＝4.5（m），
∴此公益广告牌的高度MN 约为4.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解
题的关键．
12．（2026•上海）如图，菱形ABCD 中，点E 为CD 上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE 交AC 于点F．
（1）若AF＝2CF，求证：点E 是CD 的中点；
（2）若∠ABE 的角平分线BH 交AC 于点G，交AD 于点H，求证：CD•BG＝BH•BF．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）∵四边形ABCD 为菱形，
43
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴CE
AB = CF
AF = CF
2CF = 1
2，
∴CE= 1
2AB= 1
2CD，
∴点E 是CD 的中点；
（2）∵四边形ABCD 为菱形，
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，
∵∠EBC＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，
∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG，
∴∠BAH＝∠AFB，
∵BH 平分∠ABE，
∴∠ABH＝∠FBG，
∴△ABH∽△FBG，
∴AB：BF＝BH：BG，
∴AB•BG＝BH•BF．
∵AB＝CD，
∴CD•BG＝BH•BF．
【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△CEF∽△ABF，接着利用相似三角
形的性质得到CE= 1
2AB，所以CE= 1
2CD，从而得到结论；
（2）先根据菱形的性质得∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，再利用∠EBC＝∠CAB 得到∠CAB＝∠HAG＝
∠ACB＝∠EBC，接着证明∠BAH＝∠AFB，由于BH 平分∠ABE，所以∠ABH＝∠FBG，于是可判断
△ABH∽△FBG，然后根据相似三角形的性质得到AB•BG＝BH•BF．于是利用AB＝CD 得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴CE
AB = CF
AF = CF
2CF = 1
2，
∴CE= 1
2AB= 1
2CD，
∴点E 是CD 的中点；
（2）∵四边形ABCD 为菱形，
44
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，
∵∠EBC＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，
∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG，
∴∠BAH＝∠AFB，
∵BH 平分∠ABE，
∴∠ABH＝∠FBG，
∴△ABH∽△FBG，
∴AB：BF＝BH：BG，
∴AB•BG＝BH•BF．
∵AB＝CD，
∴CD•BG＝BH•BF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比
表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．
13．（2026•江西）如图，D，E 分别在△ABC 的边BA，CA 的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE
＝5，求BC 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】BC = 25
3 ．
【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出AB
AD = BC
DE ，代入数据即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB
AD = BC
DE ．
根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5，
代入得5
3 = BC
5 ，
45
∴BC = 25
3 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
14．（2026•眉山）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，对角线AC 平分∠BAD
交BD 于点E，点F 在AB 的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O 的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；运算能力；
推理能力．
【答案】（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF＝∠OCA，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
又∵点C 在⊙O 上，
∴CF 是⊙O 的切线；
（2）10
3 ．
【分析】（1）连接OC，由OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA，然后由圆周角定理得到∠ACB＝90°，再
46
结合已知条件进行等量代换证明∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°即可；
（2）先由勾股定理求解BC，然后根据圆周角定理得到CD＝CB＝4，再由△DEC∽△AEB 求出AB，
即可求解半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF＝∠OCA，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
又∵点C 在⊙O 上，
∴CF 是⊙O 的切线；
（2）解：由（1）得∠ACB＝90°，
∵CE＝3，BE＝5，
∴BC =√B E
2-C E
2= 4，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴^
CD =^
CB，
∴CD＝CB＝4，
∵∠BAC＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，
∴△DEC∽△AEB，
∴DC
AB = CE
BE ，
∴4
AB = 3
5，
∴AB = 20
3 ，
47
∴OA = 1
2 AB = 1
2 × 20
3 = 10
3 ，
∴⊙O 的半径为10
3 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，掌握以上
知识点是解题的关键．
15．（2026•湖南）【问题背景】
如图1，给定平行四边形ABCD，点P 是AD 边上不与A，D 重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY
＝AD，且当点P 运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．
【动手操作】
将△XYZ 拼接于平行四边形ABCD 的上方：
操作一：如图3，使点X 与A 重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q，作QS∥AB 交AD 于点S；
操作二：如图4，使点X 与D 重合，点Y 与A 重合，将此时的Z 点记为R，连接RP．
【问题解决】
（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝
100
°；
（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：
①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；
（3）如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P 运动时，求PR+PD 的最大值．
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）100；
（2）选择①△ASQ∽△BAP，
证明：∵QS∥AB，
∴∠ASQ＝∠BAP，
又∵∠QAS＝∠ABP，
∴△ASQ∽△BAP；
48
选择②△DSQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵QS∥AB，
∴QS∥CD，
∴∠QSD＝∠PDC，
又∵∠QDS＝∠DCP，
∴△DSQ∽△CDP；
（3）AP＝DS，理由：
∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，
∴SQ
AP = AS
AB ①，SQ
DP = DS
CD ，
∵AB＝CD，
∴SQ
DP = DS
AB ②，
由①得AB•SQ＝AP•AS，
由②得AB•SQ＝DP•DS，
∴AP•AS＝DP•DS，
∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，
∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，
∴AP•AD＝AD•DS，
∴AP＝DS；
（4）49
12．
【分析】（1）根据平角定义求解即可；
（2）选择①：根据平行线的性质得出∠ASQ＝∠BAP，结合∠QAS＝∠ABP 即可得证；选择②：根据
平行四边形的性质和平行线的传递性得出QS∥CD，根据平行线的性质得出∠QSD＝∠PDC，结合
∠QDS＝∠DCP 即可得证；
（3）根据（2）中：△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，可得出AB•SQ＝AP•AS，AB•SQ＝DP•DS，则
AP•AS＝DP•DS，变形为AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，则AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，
得出AP•AD＝AD•DS，然后根据等式的性质即可得出结论；
（4）根据题意，得图3 中△ADQ 和图4 中△DAR 全等，得出DQ＝AR，由图3 中△DSQ﹣△CDP，得
出QD
PC = DS
CD ，结合 AP＝DS，得出AR
PC = AP
CD ，则可证明△ARP∽△CPD，设PD＝x，则 AP＝4﹣x，
根据相似三角形的性质求出PR = 4 x - x
2
3
，则PR+ PD = 4 x - x
2
3
+ x，然后根据二次函数的性质求解即
49
可．
【解答】解：（1）∵∠BPC＝80°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠BPC＝100°，
故答案为：100；
（2）选择①△ASQ∽△BAP，
证明：∵QS∥AB，
∴∠ASQ＝∠BAP，
又∵∠QAS＝∠ABP，
∴△ASQ∽△BAP；
选择②△DSQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵QS∥AB，
∴QS∥CD，
∴∠QSD＝∠PDC，
又∵∠QDS＝∠DCP，
∴△DSQ∽△CDP；
（3）AP＝DS，理由：
∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，
∴SQ
AP = AS
AB ①，SQ
DP = DS
CD ，
∵AB＝CD，
∴SQ
DP = DS
AB ②，
由①得AB•SQ＝AP•AS，
由②得AB•SQ＝DP•DS，
∴AP•AS＝DP•DS，
∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，
∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，
∴AP•AD＝AD•DS，
∴AP＝DS；
（4）根据题意，得图3 中△ADQ 和图4 中△DAR 全等，
∴DQ＝AR，
∵图3 中△DSQ∽△CDP，
∴QD
PC = DS
CD ，
50
由（3）知：AP＝DS，
∴AR
PC = AP
CD ，
又∵∠RAP＝∠DCP，
∴△ARP∽△CPD，
∴AR
PC = AP
DC = PR
PD ，
设PD＝x，则AP＝4﹣x，
∴4 - x
3
= PR
x ，
解得PR = 4 x - x
2
3
，
∴PR + PD = 4 x - x
2
3
+ x
=- 1
3 x
2+ 7
3 x
=- 1
3 ( x - 7
2 )
2+ 49
12，
∴当x = 7
2时，PR+PD 取最大值为49
12．
【点评】本题主要考查了平角定义，平行线的性质，平行四边形的性质，平行线的传递性，相似三角
形的判定与性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
16．（2026•烟台）【尝试发现】
（1）如图1，△ABC∽△ADE，AB
AC = 2
3．当点D，E 分别在边AB 和AC 上时，BD
CE 的值是 2
3 ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，
BD，AC 与BD 交于点O，CE 与BD 的延长线交于点F．
①求BD
CE 的值；
②写出∠BAC 和∠BFC 的数量关系并证明．
【联系拓广】
（3）如图3，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝6，点E 在边BC 上且BE＝2，连接AE．F 是直线BC 上的
动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．
①当点F 在线段CB 的延长线上，且EG＝EA 时，求EF 的长；
②当CG 的长度最小时，直接写出此时BF 的长．
51
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）2
3；
（2）①2
3；
②∠BAC＝∠BFC，证明如下：
连接AF，
由①得△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，
∴点A、B、C、F 四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC；
（3）①5；②36
13．
【分析】（1）由相似三角形的性质可得AD
AE = AB
AC = 2
3，从而可得AD = 2
3 AE，AB = 2
3 AC，再结合
52
BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，计算即可得出结果；
（2）①由相似三角形的性质可得AB
AD = AC
AE ，∠BAC＝∠DAE，从而得出AB
AC = AD
AE = 2
3，∠BAD＝
∠CAE，再证明△BAD∽△CAE，即可得出结果；
②连接AF，由①得△BAD∽△CAE，由相似三角形的性质得出∠ABF＝∠ACF，即点A、B、C、F 四
点共圆，最后再由圆周角定理即可得证；
（3）①由矩形的性质得∠ABC＝90°，由勾股定理得AE =√13，由相似三角形的性质得∠AFG＝
∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，证明点A、F、G、E 四点共圆，求出∠AEG＝90°，
从而可得AG =√26，由正切的定义得出tan∠FAG= FG
AF = 2
3，设FG＝2x，则AF＝3x，结合勾股定理
求出AF =3 x =3√2，从而可得BF＝3，即可得出结果；
②由主动点F 在直线BC 上，得出点G 在直线EG 上运动，当CG1⊥EG 时，CG 的长度最小，为
CG1，此时点F 在F1处，由①得∠AEG＝90°，结合正切的定义得出C G1
EG1
= 2
3，设C G1
EG1
= 2
3，则EG1＝
3a，由勾股定理求得EG1=3a= 12√13
13
，C G1=2a= 8√13
13
，作G1M⊥BC 于M，由等面积法得出
G1 M = 24
13 ，从而可得CM = 16
13，BM = 62
13，再证明△ABF1∽△F1MG1，由相似三角形的性质计算即
可得出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴AD
AE = AB
AC = 2
3，
∴AD = 2
3 AE，AB = 2
3 AC，
∵点D，E 分别在边AB 和AC 上，
∴BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，
∴BD
CE = AB - AD
AC - AE =
2
3 AC - 2
3 AE
AC - AE
=
2
3 ( AC - AE)
AC - AE
= 2
3
，
故答案为：2
3；
（2）①∵△ABC∽△ADE，
∴AB
AD = AC
AE ，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，AB
AC = AD
AE = 2
3，
53
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BD
CE = AB
AC = 2
3；
②∠BAC＝∠BFC，证明如下：
连接AF，
由①得△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，
∴点A、B、C、F 四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC；
（3）①∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AE =√A B
2+ B E
2=√13，
∵△AFG∽△ABE，
∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，
∵点F 在线段CB 的延长线上，
∴∠AGF＝∠AEF，
∴点A、F、G、E 四点共圆，
∴∠AFG+∠AEG＝180°，
∴∠AEG＝90°，
∵EG = EA =√13，
∴AG =√A E
2+ EG
2=√26，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴tan ∠FAG = tan ∠BAE = BE
AB = 2
3，
∴tan ∠FAG = FG
AF = 2
3，
设FG＝2x，则 AF＝3x，
由勾股定理得AF2+FG2＝AG2，
54
∴(3 x)
2+(2 x)
2=(√26)
2，
∴x =√2（负值不符合题意，舍去），
∴AF =3 x =3√2，
∴BF =√A F
2- A B
2=3，
∴EF＝BF+BE＝5；
解法2：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AE =√A B
2+ B E
2=√13，
∵△AFG∽△ABE，
∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，
∵点F 在线段CB 的延长线上，
∴∠AGF＝∠AEF，
∴点A、F、G、E 四点共圆，
∴∠AFE＝∠AGE，
∵AG 为直径，
∴∠AEG＝90°，
当AE＝GE 时，∠AGE＝∠AFE＝45°，
∵FB＝AB＝3，
∴FE＝FB+BE＝5；
②∵主动点F 在直线BC 上，
∴从动点G 必须在某一直线上，
∵当点F 在点B 时，点G 在点E 的位置，
∴点G 在直线EG 上运动，
当CG1⊥EG 时，CG 的长度最小，为CG1，此时点F 在F1处，
由①得∠AEG＝90°，
∴∠AEB+∠BEG＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BEG＝∠BAE，
∵∠BEG＝∠CEG1，
55
∴∠BAE＝∠CEG1，
∴tan∠CEG1= tan∠BAE = 2
3，
∴
C G1
EG1
= 2
3，
设
C G1
EG1
= 2
3，则EG1＝3a，
由勾股定理得C G1
2+ EG1
2=C E
2，
∴（2a）2+（3a）2＝（6﹣2）2，
解得a= 4√13
13
（负值不符合题意舍去），
∴EG1=3a= 12√13
13
，C G1=2a= 8√13
13
，
作G1M⊥BC 于M，
∵S△C G1 E= 1
2 EG1⋅C G1= 1
2 CE⋅G1 M，
∴G1 M = EG1⋅C G1
CE
=
12√13
13
× 8√13
13
4
= 24
13
，
∴CM =√C G1
2-G1 M
2= 16
13，
∴BM = BC -CM = 62
13，
∵ΔAF1G1∽△ABE，
∴∠AF1G1＝∠ABE＝90°，
∴∠G1ME＝∠ABE＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠G1EM＝90°，
∴∠BAE＝∠G1EM，
∴△ABF1∽△F1MG1，
∴AB
B F1
= F1 M
G1 M ，
∴
3
B F1
= BM - B F1
24
13
，
56
∴3
B F1
=
62
13 - B F1
24
13
，
∴B F1= 36
13或BF1＝2（此时点F 和点E 重合，不符合题意，舍去），
综上所述，当CG 的长度最小时，此时BF 的长为36
13 ．
【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质及判定，掌握综合知识是解题的关键．
17．（2026•南充）在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AP＝AB．
【初步感知】（1）如图1，点P 在线段AC 上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB 的长．
【深入探究】（2）如图2，点P 在线段CD 上，若CP＝DP，设AB 长为x，AC 长为y，求y 与x 之间
的函数关系式．
【拓展运用】（3）如图3，点P 在线段CD 上，将△ADP 沿直线AP 折叠，若点D 落在BC 边上，求
DP
DC 的值．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）AB 的长为5；
（2）y 与x 之间的函数关系式为y = √6
2 x（x＞0）；
（3）DP
DC = √5-1
2
．
【分析】（1）先根据菱形的性质求出OC＝OA＝3，进而求出OP＝2，最后用线段的和求出AP，即可
得出答案；
（2）过点P 作PE⊥AC 于点E，根据菱形的性质表示出CP= 1
2 x，OC = 1
2 y，CE= 1
4
y，进而表示出
AE = AC -CE = 3
4 y，再在Rt△PCE 和在Rt△PAE 中根据勾股定理表示出PE2，进而得出等式
57
( x
2 )
2
-( y
4 )
2
= x
2-( 3 y
4 )
2
，最后整理即可得出结论；
（3）设AP 交BD 于点F，将△ADP 沿直线AP 折叠，使点D 落在BC 边上的D′，连接PD′，AD′
得出AD＝AD′ ＝AP ＝AB ，∠D′ AP ＝∠DAP ，进而得出∠DAP ＝∠D′ AP ＝∠BAD′ ，由
AB∥CD，得出∠APD＝∠PAB＝2∠DAP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP＝36°，∠APD＝
∠ADP＝72°，判断出∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，进而得出DF＝AF＝PD，再判断出△PDF∽△PAD，
得出DP2＝AP•FP，
设DP＝m，DC＝n，则AP＝n，FP＝n﹣m，得出m2＝n（n﹣m）即m2+mn﹣n2＝0，最后求解即可得
出m
n ，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
AC＝6，
∴OC＝OA＝3，
∵OP＝2CP，
∴OP＝2，
∴AB＝AP＝OP+OA＝5；
（2）过点P 作PE⊥AC 于点E，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴PE∥BD，
∵CP＝DP，AB＝x，AC＝y，
∴CP= 1
2 x，OC = 1
2 y，CE = 1
2 OC = 1
4 y，
∴AE = AC -CE = 3
4 y，
在Rt△PCE 中，P E
2= PC
2-C E
2=( x
2 )
2
-( y
4 )
2
，
在Rt△PAE 中，P E
2= P A
2- A E
2= x
2-( 3 y
4 )
2
，
58
即( x
2 )
2
-( y
4 )
2
= x
2-( 3 y
4 )
2
，
整理得y
2= 3
2 x
2，
即y = √6
2 x，y =- √6
2 x（舍去）．
∴y 与x 之间的函数关系式为y = √6
2 x（x＞0）；
（3）如图，设AP 交BD 于点F，将△ADP 沿直线AP 折叠，使点D 落在BC 边上的D′，连接PD′，
AD′，
则AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，
又∠ABD′＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD＝∠APD′＝∠AD′P＝∠AD′B＝∠ABD′，
∴∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP．
∵∠PDA+∠APD+∠DAP＝180°，
∴5∠DAP＝180°，
∴∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，
∴∠ADF =∠PDF = 1
2 ∠ADP=36°，
∴∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，
∴∠DPF＝∠DFP＝72°，
∴DF＝AF＝PD．
又∠DPF＝∠APD，
∴△PDF∽△PAD．
∴DP
AP = FP
DP ．
∴DP2＝AP•FP，
设DP＝m，DC＝n，
59
则AP＝n，FP＝n﹣m，
∴m2＝n（n﹣m），
∴m2+mn﹣n2＝0，
即( m
n )
2
+ m
n -1=0，
∴m
n = √5-1
2
或m
n =-√5-1
2
（舍去），
∴DP
DC = √5-1
2
．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和
性质，解题的关键是作出正确的辅助线．
18．（2026•安徽）如图1，在▱ABCD 中，CD＝2AD，边CD 的中点为M，连接AM．
（1）求证：∠C＝2∠AMD；
（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P 在线段AM 上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（i）求证：PF﹣PE＝MN；
（ii）若PF＝4PE，求AP
PM 的值．
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【答案】（1）∵在▱ABCD 中，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，
∴∠DMA＝∠MAB，
∵CD＝2AD，边CD 的中点为M，
∴DM = 1
2 CD = AD，
∴∠DMA＝∠DAM，
∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD，
∴∠C＝2∠AMD；
（2）（ⅰ）作MG⊥PF 于G，
∵MN⊥BC，PF⊥BC，
60
∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°，
∴四边形MNFG 为矩形，
∴MN＝GF，∠GMN＝90°，
∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°，
∴∠C＝∠EMG，
∴∠EMG＝2∠EMA，
∴∠EMA＝∠GMA，
∵PE⊥CD，
∴∠MEP＝∠MGP＝90°，
∵MP＝MP，
∴△MEP≌△MGP（AAS），
∴PE＝PG，
∵PF﹣PG＝GF，
∴PF﹣PE＝MN；
（ⅱ）2．
【分析】（1）由题意，AD＝DM，AB∥CD，则可证∠DMA＝∠DAM＝∠MAB，则∠C＝∠DAB＝
2∠AMD；
（2）（i）作MG⊥PF 于G，可证∠EMA＝∠GMA，则可证明△MEP≌△MGP，所以PE＝PG，通过
证明四边形MNFG 为矩形，得MN＝GF，则题目可证；
（ⅱ）作MG⊥PF 于G 并延长交AB 于Q，过A 作AH⊥MG 交MG 于H，因为PF＝4PE，设PE＝a，
则PG＝a，PF＝4a，FG＝MN＝3a，，可证明△AHQ≌△MNC，所以AH＝MN＝3a，且可证
PG∥AH，则所以△MPG∽△MAH，所以MP
MA = PG
AH = a
3a = 1
3，则题目可证．
【解答】（1）证明：∵在▱ABCD 中，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，
∴∠DMA＝∠MAB，
∵CD＝2AD，边CD 的中点为M，
∴DM = 1
2 CD = AD，
∴∠DMA＝∠DAM，
∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD，
∴∠C＝2∠AMD；
（2）（i）证明：作MG⊥PF 于G，
61
∵MN⊥BC，PF⊥BC，
∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°，
∴四边形MNFG 为矩形，
∴MN＝GF，∠GMN＝90°，
∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°，
∴∠C＝∠EMG，
∴∠EMG＝2∠EMA，
∴∠EMA＝∠GMA，
∵PE⊥CD，
∴∠MEP＝∠MGP＝90°，
∵MP＝MP，
∴△MEP≌△MGP（AAS），
∴PE＝PG，
∵PF﹣PG＝GF，
∴PF﹣PE＝MN；
（i）解：作MG⊥PF 于G 并延长交AB 于Q，过A 作AH⊥MG 交MG 于H，
由（i）知，MG∥NF，
∵在▱ABCD 中，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠C＝∠DAB，
∴MQ∥AD，
∴∠DAB＝∠AQH，
∴∠C＝∠AQH，
∵MQ∥AD，AB∥CD，
∴四边形AQMD 为平行四边形，
∴AQ＝DM，
∵M 为边CD 的中点，
∴CM＝DM＝AQ，
62
又∠H＝∠MNC＝90°，
∴△AHQ≌△MNC（AAS），
∴AH＝MN，
∵PF＝4PE，
设PE＝a，则PF＝4a，PG＝a，FG＝MN＝3a，
∴MN＝AH＝3a，
∵MH⊥PF，MH⊥AH，
∴PG∥AH，
∴△MPG∽△MAH，
∴MP
MA = PG
AH = a
3a = 1
3，
∴MP
PA = 1
2，
即AP
PM =2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，掌握
其相关知识点是解题的关键．
19．（2026•遂宁）综合与实践——探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．
（1）如图1，先将一张正方形的纸片沿MN 对折，再找到MN 的中点O，将平角∠MON 五等分，得到
图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N 作NQ⊥OP 于点Q，得到图4，最后沿NQ
把图4 中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5 所示的一个正五边形．请直接写出正五边形
的内角和为
540°
．
（2）连结图5 中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题：
①求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的度数；
②求CD
AD 的值．
（3）把图4 剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿NR 把图7 中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到
一个五角星．例如，当∠RNQ＝25°时，得到的五角星如图8 所示；若使展开后的五角星如图6 所示，
则∠RNQ 的度数为
36°
．
63
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）540°；
（2）①180°；②√5-1
2
；
（3）36°．
【分析】（1）根据n 边形的内角和为（n﹣2）•180°，解答即可；
（2）①利用三角形内角和，三角形外角性质，求解即可；
②证明△ANE∽△AED，构造方程求解即可；
（3）根据折叠的性质，正五边形的内角求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得正五边形的内角和为：（5﹣2）•180°＝540°，
故答案为：540°；
（2）①设AC，BE 的交点为M，AD，BE 的交点为N，
根据题意，得∠AMN＝∠3+∠5，∠ANM＝∠2+∠4，
∵∠AMN+∠1+∠ANM＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝180°；
②设AB＝BC＝CD＝DE＝AE＝x，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠EAD＝∠EDA＝∠CBD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝∠CBA，
∴∠BAE﹣∠DAE﹣∠CAB＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED，
∴∠1＝∠5，
同理可证，∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，∠4＝∠5，
64
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5，
根据折叠的性质，得∠5＝∠CED，
∴∠NAE＝∠NEA＝∠ADE＝∠CED＝∠5，
∴∠DNE＝∠NAE+∠NEA＝∠CED+∠5＝∠NED，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE＝DN＝x，
∵∠EAN＝∠DAE，∠AEN＝∠ADE，
∴△ANE∽△AED，
∴AE
AD = AN
AE ，
∴AE
AD = AD - DN
AE
，
∴x
AD = AD - x
x
，
∴AD2﹣xAD﹣x2＝0，
解得AD = √5+1
2
x，AD=-√5+1
2
x（不能为负，舍去），
∴
CD
AD =
x
√5+1
2
x
= √5-1
2
；
（3）根据题意，得∠NAE＝∠NEA＝∠ADE＝∠CED＝∠5，
且正五边形的每个内角为540°
5
=108°，
∴∠NAE＝∠NEA＝∠ADE＝∠CED＝∠5＝2×（180°﹣108°）＝36°，
∴五角星单个尖角为36°，折叠后∠RNQ＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理
等相关知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
65
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
4．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
6．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
66
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
7．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
9．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
10．切线的性质
67
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
11．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
12．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用
时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
13．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
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线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
14．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造
直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高
度．
15．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，
难度大．
16．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
17．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量
边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化
得到实际问题的答案．
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