文档文本内容
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（一）
一．选择题（共19 小题）
1．（2026•湖北）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，若A（﹣1，0），B（0，
﹣2），C（3，0），则点D 的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（2，2）
C．（1，2）
D．（2，1）
2．（2026•贵州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，∠BAC＝60°．以点A 为圆心，以
AO 的长为半径作弧，交边AD 于点E，连接OE，若OE＝1，则菱形ABCD 的边长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026•广东）某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
4．（2026•陕西）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG，点E 在BC 的延长线上．若CE＝2BC，则
tan∠AFC 的值为（ ）
A．2
B．1
2
C．√5
5
D．2√5
5
5．（2026•广元）如图，l1，l2经过正五边形的两个顶点，且l1∥l2，若∠1＝80°，则∠2＝（ ）
2
A．48°
B．46°
C．44°
D．42°
6．（2026•河北）如图，将一个边长为a 的正方形分成6 个全等的矩形，若这6 个矩形周长之和比原正方
形的周长多48，则a 的值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
7．（2026•黑龙江）如图，在菱形ABCD 中，DE 垂直平分BC，∠EDF= 1
2∠ADC，DF，DE 分别交对角
线AC 于G，H 两点，下列结论：①连接EF，则△DEF 为等边三角形；②过点G 作GN⊥AD 于点
N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CH= 2
3EF；④M 为边AB 上任意一点，连接MD 和ME，若S△BME：
S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S 菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF 与边AB 交于点P，
射线DE 与边BC 交于点Q，若CQ=√2，AP＝2√2，则PQ=√10．其中正确的是（ ）
A．①③④
B．②④⑤
C．①②③④
D．①②③⑤
8．（2026•河南）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，对角线OB，AC 交于点
P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上时，点A 的对应点的坐标为
（ ）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，1）
C．（0，2）
D．（0，1）
9．（2026•新疆）如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 上．第一步：以点E 为圆心，任意长为半径画弧交
3
AE，DE 于点M，N；第二步：以点B 为圆心，EM 长为半径画弧交AB 于点P；第三步：以点P 为圆心，
MN 长为半径画弧交第二步所画的弧于点Q，连接BQ 并延长，交DC 于点F．则下列结论一定成立的
是（ ）
A．∠ABF＝∠CBF
B．∠ADE＝∠CBF
C．DF＝CF
D．BE＝BF
10．（2026•山西）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O．将线段AD 沿射线AB 方向平移，
点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF 分别与OA，OD 交于点G，H．当点G 是OA 的中点时，
GH
AB 的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．√2
4
11．（2026•上海）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点（不与A、B 重合），过点E 作EM∥BD，
交AD 于点M，作E、M 关于BD 的对称点F、G，联结EF、MG 交BD 于点P、H．下列说法正确的是
（ ）
①四边形EFGM 周长是定值；
②四边形EPHM 周长是定值．
A．①、②均正确
B．①正确②错误
C．②正确①错误
D．①②均错误
12．（2026•攀枝花）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，M、N 分别是BC、BO 的中点，
∠ABC＝60°，AB＝4，则MN 的长为（ ）
4
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
13．（2026•攀枝花）如图，四边形ABCD 中，若AB＝AD，CB＝CD，则称四边形ABCD 为筝形．筝形
一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行
D．两组对边分别相等
14．（2026•眉山）如图，矩形ABCD 中，点F 在线段BC 上，连接AF．AE 平分∠BAF 交BC 于点E，过
点E 作EM⊥AF，垂足为点N，交AD 于点M．若AB＝6，BE＝2，则△AMN 的面积为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
15．（2026•眉山）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，点P 为线
段BC 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PM⊥AC 于点M，PN⊥BD 于点N，连接MN，则
MN 的最小值为（ ）
A．5
4 cm
B．12
5 cm
C．5
2cm
D．24
5 cm
16．（2026•乐山）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件后，不能确
定四边形ABCD 是菱形的是（ ）
5
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
17．（2026•自贡）如图，在▱ABCD 中，AB＝8，AD＝6，∠D＝60°，∠DAB 与∠ABC 的角平分线分别
交CD 于点E，F，AE 与BF 相交于点P，连接CP，则sin∠PCF 的值为（ ）
A．2-√3
B．√3
3
C．√3
2
D．1
2
18．（2026•达州）两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若∠1＝65°，则∠2＝（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．65°
19．（2026•泸州）▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD
B．AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BD
D．OA＝OC，OB＝OD
二．填空题（共1 小题）
20．（2026•北京）如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD 的面积为24，BD 的长为8，
当AO 的长为 时，▱ABCD 是菱形．
6
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共19 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
D
B
C
B
C
A
B
A
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
答案
B
B
B
B
C
D
D
D
一．选择题（共19 小题）
1．（2026•湖北）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，若A（﹣1，0），B（0，
﹣2），C（3，0），则点D 的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（2，2）
C．（1，2）
D．（2，1）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的性质：对角线互相平分，即对角线的中点坐标相同，我们可以通过求对角
线AC 的中点，再根据中点坐标公式求出点D 的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴对角线AC 与BD 互相平分，即AC 的中点与BD 的中点重合．
已知A（﹣1，0），C（3，0），
设AC 的中点为M，
根据中点坐标公式：M (-1+3
2
，0+0
2
)= M (1，0)，
设D（x，y），已知B（0，﹣2），且BD 的中点也为M（1，0），再根据中点坐标公式：0+ x
2
=1，
-2+ y
2
=0，
解得：x＝2，y＝2，
∴点D 的坐标是（2，2）．
故选：B．
7
【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（2026•贵州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，∠BAC＝60°．以点A 为圆心，以
AO 的长为半径作弧，交边AD 于点E，连接OE，若OE＝1，则菱形ABCD 的边长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意，易得△ABC 为等边三角形，得到AB＝AC，根据作图得到AO＝AE，证明△AOE 为
等边三角形，得到AO＝OE＝1，即可得出结果．
【解答】解：在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，∠BAC＝60°，
∴AB＝BC，AC＝2OA，∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AB＝AC＝2OA，
由作图可知，AO＝AE，且OE＝1，
∴△AOE 为等边三角形，
∴AO＝OE＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∴AB＝2，即菱形ABCD 的边长为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握等边三
角形的判定与性质．
3．（2026•广东）某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用公式（n﹣2）×180°，代入边数 n＝6 计算即可．
【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
8
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角和，掌握多边形内角和是解题的关键．
4．（2026•陕西）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG，点E 在BC 的延长线上．若CE＝2BC，则
tan∠AFC 的值为（ ）
A．2
B．1
2
C．√5
5
D．2√5
5
【考点】正方形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】B
【分析】连接AC，根据正方形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，∠ACD= 1
2∠BCD＝45°，∠GCF= 1
2∠GCE＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵CE＝2BC，
∴设BC＝a，CE＝2a，
∴AC=√2BC=√2a，CF=√2CE＝2√2a，
∴tan∠AFC= AC
CF = √2a
2√2a = 1
2，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
5．（2026•广元）如图，l1，l2经过正五边形的两个顶点，且l1∥l2，若∠1＝80°，则∠2＝（ ）
A．48°
B．46°
C．44°
D．42°
9
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形．根据正多边形的定义可得各内角相等，再根据多边形的内角和公式求
出正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，即可得出∠BAE＝∠AED＝540°÷5＝108°．然后再根
据平行线的性质以及邻补角进行计算，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，过点A 作l3∥l1．
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥l3．
∴∠1＝∠BAF，∠EAF＝∠3．
∵正五边形ABCDE 的各内角相等，
∴∠BAE＝∠AED．
∵正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠BAE＝∠AED＝540°÷5＝108°．
∵∠1＝80°，
∴∠BAF＝80°，
∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣80°＝28°，
∴∠3＝28°．
∵∠2+∠AED+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠AED﹣∠3
＝180°﹣108°﹣28°
＝72°﹣28°
＝44°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义
平行线的性质是解题的关键．
6．（2026•河北）如图，将一个边长为a 的正方形分成6 个全等的矩形，若这6 个矩形周长之和比原正方
形的周长多48，则a 的值为（ ）
10
A．6
B．8
C．12
D．16
【考点】矩形的性质；全等图形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】依题意设AE＝x，AH＝DH＝y，则AB＝3x，AD＝2y，由正方形性质得AB＝AD＝a，则3x＝
2y＝a，由此得y＝1.5x，a＝3x，进而得正方形ABCD 的周长为12x，每个小矩形的周长为5x，然后根
据6 个矩形周长之和比原正方形ABCD 的周长多48 可列出方程30x﹣12x＝48，解此方程得x= 8
3，继而
可得a＝3x＝8．
【解答】解：如图所示：
依题意设AE＝x，AH＝DH＝y，
∴AB＝3x，AD＝2y，
∵四边形ABCD 是正方形，且边长得a，
∴AB＝AD＝a，
∴3x＝2y＝a，
∴y＝1.5x，a＝3x，
∴正方形ABCD 的周长为：4a＝12x，每个小矩形的周长为：2（x+y）＝5x，
∴6 个矩形周长之和：6×5x＝30x，
又∵6 个矩形周长之和比原正方形ABCD 的周长多48，
∴30x﹣12x＝48，
解得：x= 8
3，
∴a＝3x＝8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问
题的关键．
7．（2026•黑龙江）如图，在菱形ABCD 中，DE 垂直平分BC，∠EDF= 1
2∠ADC，DF，DE 分别交对角
11
线AC 于G，H 两点，下列结论：①连接EF，则△DEF 为等边三角形；②过点G 作GN⊥AD 于点
N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CH= 2
3EF；④M 为边AB 上任意一点，连接MD 和ME，若S△BME：
S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S 菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF 与边AB 交于点P，
射线DE 与边BC 交于点Q，若CQ=√2，AP＝2√2，则PQ=√10．其中正确的是（ ）
A．①③④
B．②④⑤
C．①②③④
D．①②③⑤
【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、
旋转与对称；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形性质及DE 垂直平分BC 可判定△DBC 和△ABD 均为等边三角形，进而求出各角度数；
利用等边三角形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形性质及面积公式逐一判断各结论即可．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC+∠BCD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DE 垂直平分BC，
∴DB＝CD，BE＝EC，∠DEC＝90°，
∴DB＝CD＝BC，
即△DBC 为等边三角形，
∴∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，∠ABC＝120°，∠ADC＝120°，
∴△ABD 也是等边三角形，∠BAD＝60°，
∵∠EDF = 1
2 ∠ADC，
∴∠EDF＝60°，
∵DE⊥BC，△DBC 为等边三角形，
12
∴DE 平分∠CDB，∠CDE＝∠BDE＝30°，
∴∠FDB＝∠EDF﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ADF＝∠ADB﹣∠FDB＝60°﹣30°＝30°，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，DA＝CD，∠ADF＝∠CDE＝30°，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴DF＝DE，
∵∠EDF＝60°，
∴△DEF 为等边三角形，
故①正确，符合题意；
如图，过点G 作GN⊥AD 于点N，
∵∠BAD＝60°，∠ADF＝30°，
∴∠AFD＝90°，
即GF⊥AB，
∵AC 平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB，
∴GN＝GF，
故②正确，符合题意；
∵△ABD 是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴AF = BF = 1
2 AB = 1
2 CD，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
∴AG
CG = AF
CD = 1
2，
∴AG = 1
3 AC，
同理△CEH∽△ADH，CH
AH = CE
AD = 1
2，
∴CH = 1
3 AC，
13
∴GH = AC - AG -CH = 1
3 AC，
即AG =GH =CH = 1
3 AC，
∵点E、F 是BC、AB 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF = 1
2 AC，
∴AC＝2EF，
∴AG =GH =CH = 2
3 EF，
故③正确，符合题意；
如图，M 为边AB 上任意一点，连接MD 和ME，过点M 作MH⊥BC 交CB 延长线于点H，
设菱形边长为a，则DE =CD⋅sin 60° = √3
2 a，
∴S 菱形ABCD＝BC•DE＝a•√3
2 a= √3
2 a
2，S△DEC = 1
2 EC ⋅DE = 1
2 ⋅a
2 ⋅√3
2 a= √3
8 a
2，
∵S△BME：S△DEC＝4：5，
∴S△BME= 4
5 × √3
8 a
2= √3
10 a
2，
∴1
2 ⋅a
2 ⋅MH = √3
10 a
2，
解得MH = 2√3
5
a，
∵∠ABC＝120°，
∴∠MBH＝60°，
∴BM =
MH
sin 60° =
2√3a
5
√3
2
= 4
5 a，
∴AM = AB - BM = 1
5 a，
∴S△DAM = 1
2 AM ⋅DE = 1
2 ⋅a
5 ⋅√3
2 a= √3
20 a
2，
14
∴S△DAM ：S菱形ABCD= √3
20 a
2：√3
2 a
2=1：10，
故④正确，符合题意；
由旋转性质知∠PDQ＝60°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADP＝∠BDQ，
∵∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°，
∴△DAP≌△DBQ（ASA），
∴BQ = AP =2√2，
∵CQ =√2，
∴BC = BQ+CQ =3√2，
∴AB =3√2，
∴PB = AB - AP =√2，
如图，过点P 作PM⊥CB 交CB 延长线于M，
∵∠ABC＝120°，
∴∠PBM＝60°，
∴BM = PB⋅cos60° =√2× 1
2 = √2
2 ，PM＝PB•sin60°=√2× √3
2 = √6
2 ，
∴MQ＝BM+BQ= √2
2 +2√2= 5√2
2
，
在Rt△PMQ 中，PQ=√P M
2+ M Q
2=√( √6
2 )
2+( 5√2
2
)
2=√14≠√10，
故⑤错误，不符合题意．
综上所述，正确的是①②③④．
故选：C．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
勾股定理，旋转的性质，菱形的性质，三角形中位线定理，三角形的面积，等边三角形的性质，掌握
以上知识点是解题的关键．
8．（2026•河南）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，对角线OB，AC 交于点
P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上时，点A 的对应点的坐标为
（ ）
15
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，1）
C．（0，2）
D．（0，1）
【考点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点P 作PD⊥OA 轴于点D，证明PD 是△AOC 的中位线得PD= 1
2OC＝2，OD＝AD= 1
2OA＝
1，则点D 的坐标为（0，1），由平移性质得将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上时，
此时点P 向左平移了2 个单位长度，由此得点A 向左平移2 个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，
2），据此可得出答案．
【解答】解：过点P 作PD⊥OA 轴于点D，如图所示：
∵OA＝2，OC＝4，
∴点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标为（4，0），
∵四边形OABC 是矩形，对角线OB，AC 交于点P，
∴OA⊥OC，点P 是AC 的中点，
∵PD⊥OA 轴于点D，
∴PD∥OC，
∴PD 是△AOC 的中位线，
∴PD= 1
2OC＝2，OD＝AD= 1
2OA＝1，
∵将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上，
∴点P 向左平移了2 个单位长度，
∵点A 的坐标为（0，2），
∴点A 向左平移2 个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形，图形的平移变换及其性质，矩形的性质，三角形中位线定理，
理解图形的平移变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
9．（2026•新疆）如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 上．第一步：以点E 为圆心，任意长为半径画弧交
16
AE，DE 于点M，N；第二步：以点B 为圆心，EM 长为半径画弧交AB 于点P；第三步：以点P 为圆心，
MN 长为半径画弧交第二步所画的弧于点Q，连接BQ 并延长，交DC 于点F．则下列结论一定成立的
是（ ）
A．∠ABF＝∠CBF
B．∠ADE＝∠CBF
C．DF＝CF
D．BE＝BF
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹可知∠ABF＝∠AED，从而推出DE∥BF，结合平行四边形AD∥BC 的性质，
利用三角形内角和定理及平角定义进行角度转换即可得出结论．
【解答】解：由作图步骤可知，∠ABF＝∠AED，
∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠ABF，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED，
∵∠ABF＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CBF，其余结论均不能证明．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AD∥BC 解答．
10．（2026•山西）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O．将线段AD 沿射线AB 方向平移，
点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF 分别与OA，OD 交于点G，H．当点G 是OA 的中点时，
GH
AB 的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．√2
4
【考点】正方形的性质；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
17
【答案】A
【分析】由正方形性质得AD＝AB，由平移的性质得EF∥AD，则GH∥AD，再由点G 是OA 的中点得
OG＝AG，OA＝2AG，证明△OGH 和△OAD 相似得GH
AD = OG
OA = 1
2，据此可得GH
AB 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝AB，
由平移的性质得：EF∥AD，
∴GH∥AD，
∵点G 是OA 的中点，
∴OG＝AG，OA＝2AG，
∵GH∥AD，
∴△OGH∽△OAD，
∴GH
AD = OG
OA = AG
2 AG = 1
2，
∴GH
AB = 1
2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握相
似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
11．（2026•上海）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点（不与A、B 重合），过点E 作EM∥BD，
交AD 于点M，作E、M 关于BD 的对称点F、G，联结EF、MG 交BD 于点P、H．下列说法正确的是
（ ）
①四边形EFGM 周长是定值；
②四边形EPHM 周长是定值．
A．①、②均正确
B．①正确②错误
C．②正确①错误
D．①②均错误
【考点】正方形的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力
推理能力．
【答案】B
18
【分析】设正方形ABCD 的边长为a，则a 为定值，设BE＝x，则AE＝a﹣x，证明△AEM 是等腰直角
三角形得AM＝AE＝a﹣x，由勾股定理得EM=√2(a- x)，根据对称的性质可得BD 是EF 的垂直平分
线，四边形EFGM 和四边形EPHM 都是矩形，再由勾股定理求出EF=√2 x，则EP= √2 x
2
，由此可得
矩形EFGM 周长为2EM+2EF=2√2a为定值；矩形EPHM 的周长为2EM+2EP=2√2a-√2 x不是定值，
由此得①正确②错误，据此可得出答案．
【解答】解：设正方形ABCD 的边长为a，则a 为定值，
由正方形性质得：AB＝a，∠A＝∠EBF＝90°，∠ABD＝45°，
设BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝a﹣x，
∵EM∥BD，
∴∠AEM＝∠ABD＝45°，
在△AEM 中，∠A＝90°，∠AEM＝45°，
∴△AEM 是等腰直角三角形，
∴AM＝AE＝a﹣x，
由勾股定理得：EM=√A E
2+ A M
2=√2AE=√2(a- x)，
∵点E、M 关于BD 的对称点为F、G，
∴EF⊥BD，EP＝FP= 1
2EF，MG⊥BD，MH＝GH= 1
2MG，EM∥FG，
∴BD 是EF 的垂直平分线，
∴BF＝BE＝x，
∵EM∥BD，
∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG，
∴四边形EFGM 和四边形EPHM 都是矩形，
∴PH＝EM＝FG=√2(a- x)，
在△BEF 中，∠EBF＝90°，
由勾股定理得：EF=√B E
2+ B F
2=√2BE=√2 x，
∴MG＝EF=√2 x，
∴EP＝MH= 1
2EF= √2 x
2
，
∴矩形EFGM 周长为：2EM+2EF=2√2(a- x)+2√2 x =2√2a为定值；
矩形EPHM 的周长为：2EM+2EP=2√2(a- x)+2× √2 x
2
=2√2a-√2 x不是定值，
综上所述：①正确②错误，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性
19
质，勾股定理，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定
和性质，勾股定理是解决问题的关键．
12．（2026•攀枝花）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，M、N 分别是BC、BO 的中点，
∠ABC＝60°，AB＝4，则MN 的长为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形性质得CB＝AB＝4，OC= 1
2AC，再由∠ABC＝60°得△ABC 是等边三角形，则AC＝AB
＝4，进而得OC= 1
2AC＝2，然后根据点M、N 分别是BC、BO 的中点得MN 是△BOC 的中位线，则
MN= 1
2OC＝1，据此可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB＝4，
∴CB＝AB＝4，OC= 1
2AC，
在△ABC 中，CB＝AB＝4，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OC= 1
2AC＝2，
∵点M、N 分别是BC、BO 的中点，
∴MN 是△BOC 的中位线，
∴MN= 1
2OC＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定，三角形中位线定理，理解菱形的性质，熟
练掌握等边三角形的判定，三角形中位线定理是解决问题的关键．
13．（2026•攀枝花）如图，四边形ABCD 中，若AB＝AD，CB＝CD，则称四边形ABCD 为筝形．筝形
一定具有的性质是（ ）
20
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行
D．两组对边分别相等
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的定义即可判定AC 垂直平分线段BD．进而可以解决问题．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分线段BD．
∴筝形的AC⊥BD 或AC 垂直平分线段BD．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题．
14．（2026•眉山）如图，矩形ABCD 中，点F 在线段BC 上，连接AF．AE 平分∠BAF 交BC 于点E，过
点E 作EM⊥AF，垂足为点N，交AD 于点M．若AB＝6，BE＝2，则△AMN 的面积为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【考点】矩形的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】通过全等三角形转化线段关系，利用勾股定理建立方程求出线段长度，进而利用相似比或三
角函数关系求解三角形面积．
【解答】解：∵AE 平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠NAE．
∵EM⊥AF，
21
∴∠ANE＝90°，
在矩形ABCD 中，∠B＝90°，
在△ABE 和△ANE 中：∠B＝∠ANE＝90°．
∠BAE＝∠NAE．
AE＝AE（公共边），
∴△ABE≌△ANE（AAS）．
根据全等三角形的性质可得：AN＝AB＝6，EN＝BE＝2．
设MN＝x．
∵M，N，E 三点共线，
∴ME＝MN+EN＝x+2．
在Rt△AMN 中，根据勾股定理：AM2＝AN2+MN2．
代入数值：AM2＝62+x2＝36+x2．
∵AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM（内错角相等）．
在Rt△AMN 中，∠MAN+∠AMN＝90°，
在Rt△ANE 中，∠NAE+∠AEN＝90°，
∵∠MAN＝∠NAE，
∴∠AMN＝∠AEN．
在△AME 中，∠AME＝∠AEM（即∠AEN），
∴△AME 是等腰三角形，
即AM＝ME．
由AM＝ME 可得：AM＝x+2．
将AM＝x+2 代入步骤2 中的勾股定理方程：（x+2）2＝36+x2，
展开方程：x2+4x+4＝36+x2，
移项合并同类项：4x＝32，
解得：x＝8．
∴MN＝8．
△AMN 是直角三角形，两直角边分别为AN 和MN．
面积S△AMN= 1
2•AN•MN= 1
2 ×6×8＝24．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
15．（2026•眉山）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，点P 为线
段BC 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PM⊥AC 于点M，PN⊥BD 于点N，连接MN，则
MN 的最小值为（ ）
22
A．5
4 cm
B．12
5 cm
C．5
2cm
D．24
5 cm
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】本题中，菱形ABCD 的对角线AC＝6cm、BD＝8cm，由菱形性质知对角线互相垂直平分，可
得OC＝3cm、OB＝4cm，进而求出边长BC＝5cm．点P 在BC 上运动时，因PM⊥AC、PN⊥BD 且
AC⊥BD，四边形PMON 为矩形，故MN＝OP．要求MN 的最小值，即求点O 到BC 的最短距离（当
OP⊥BC 时取得）．利用△BOC 的面积公式（1
2 ×OB×OC = 1
2 ×BC ×OP)，可算出OP= 12
5 cm，即
MN 的最小值为12
5 cm．
【解答】解：在菱形ABCD 中，已知对角线AC＝6cm，BD＝8cm，交于点O．
根据菱形性质：对角线互相垂直平分→AO＝OC＝3cm，BO＝OD＝4cm；
边长BC =√BO
2+OC
2=√4
2+3
2=5cm．
点P 在BC 上运动，
作PM⊥AC，PN⊥BD．
由于AC⊥BD，
四边形PMON 为矩形，
∴MN＝OP．
因此，求MN 的最小值等价于求点O 到线段BC 的最短距离，
即当OP⊥BC 时取得最小值．
利用△BOC 面积的两种表示法：
方法一：S△BOC = 1
2 ×BO×OC = 1
2 ×4×3=6，
方法二：S△BOC = 1
2 ×BC ×OP= 1
2 ×5× P，
解得：1
2 ×5×OP=6⇒OP= 12
5 ，
23
故MN 的最小值为12
5 cm．
故选：B．
【点评】题目考查了菱形的性质，解题关键在于相关知识的灵活运用．
16．（2026•乐山）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件后，不能确
定四边形ABCD 是菱形的是（ ）
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能
力．
【答案】C
【分析】本题已知四边形ABCD 是平行四边形，需判断添加哪个条件后不能确定其为菱形．根据菱形
的判定定理（邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形为菱形），逐一分析选项：
A 项：AB＝AD（邻边相等），结合平行四边形对边相等的性质，可推出四边相等，符合菱形定义；
B 项：AC⊥BD（对角线互相垂直），直接满足“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定；
C 项：AC＝BD（对角线相等），此条件仅能判定平行四边形为矩形（矩形不一定是菱形，除非邻边也
相等）；
D 项：∠BAC＝∠DAC，结合平行四边形对边平行的性质，可推出邻边相等（AB＝BC），进而判定为
菱形．
综上，只有添加“AC＝BD''时，无法确定四边形ABCD 是菱形，
故选：C．
【解答】A 项，增加条件AB＝AD，
因为四边形ABCD 是平行四边形，
根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD 是菱形．
故A 项表述正确．
B 项，增加条件AC⊥BD，
根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD 是菱形．
故B 项表述正确．
C 项，增加条件AC＝BD，
由“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD 是矩形，
当矩形ABCD 不是正方形时，矩形ABCD 就不是菱形．
24
故C 项表述错误．
D 项，增加条件∠BAC＝∠DAC，
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠ACB＝∠DAC，
所以∠ACB＝∠BAC，
所以AB＝BC．
根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD 是菱形．
故D 项表述正确．
故选：C．
【点评】题目考查了菱形的判定、平行四边形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
17．（2026•自贡）如图，在▱ABCD 中，AB＝8，AD＝6，∠D＝60°，∠DAB 与∠ABC 的角平分线分别
交CD 于点E，F，AE 与BF 相交于点P，连接CP，则sin∠PCF 的值为（ ）
A．2-√3
B．√3
3
C．√3
2
D．1
2
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理
能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得DC＝AB＝8，DC∥AB，∠ABC＝∠D＝60°，则∠DAB＝120°，所以
∠BAE＝∠DAE＝60°，∠ABF＝∠CBF＝30°，则∠APB＝90°，∠AED＝∠BAE＝60°，所以AP= 1
2AB
＝4，可证明△ADE 是等边三角形，则AE＝DE＝AD＝6，求得PE＝CE＝2，由∠AED＝∠EPC+∠PCF
＝2∠PCF＝60°，求得∠PCF＝30°，则sin∠PCF= 1
2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝8，AD＝6，∠D＝60°，
∴DC＝AB＝8，DC∥AB，∠ABC＝∠D＝60°，
∴∠DAB＝180°﹣∠D＝120°，
∵∠DAB 与∠ABC 的角平分线分别交CD 于点E，F，AE 与BF 相交于点P，
∴∠BAE＝∠DAE= 1
2∠DAB＝60°，∠ABF＝∠CBF= 1
2∠ABC＝30°，
∴∠APB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝90°，∠AED＝∠BAE＝60°，
25
∴AP= 1
2AB＝4，
∵∠D＝∠DAE＝∠AED＝60°，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AE＝DE＝AD＝6，
∴PE＝AE﹣AP＝6﹣4＝2，CE＝DC﹣DE＝8﹣6＝2，
∴PE＝CE，
∴∠EPC＝∠PCF，
∵∠AED＝∠EPC+∠PCF＝2∠PCF＝60°，
∴∠PCF＝30°，
∴sin∠PCF＝sin∠30°= 1
2，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和等于180°、直角三角形
中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明△ADE
是等边三角形，进而推导出PE＝CE 是解题的关键．
18．（2026•达州）两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若∠1＝65°，则∠2＝（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．65°
【考点】平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】依题意得AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD 是平行四边形，由此得∠ABC＝∠ADC，再根
据对顶角相等得∠2＝∠ABC，∠1＝∠ADC，进而得∠2＝∠1＝65°．
【解答】解：如图所示：
依题意得：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
26
∴∠ABC＝∠ADC，
根据对顶角相等得：∠2＝∠ABC，∠1＝∠ADC，
∴∠2＝∠1，
∴∠1＝65°，
∴∠2＝65°
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解决问题的
关键．
19．（2026•泸州）▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD
B．AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BD
D．OA＝OC，OB＝OD
【考点】平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得OA＝OC= 1
2AC，OB＝OD= 1
2BD，则选项D 一定成立，符合题意，
由于平行四边形的对角线不一定相等，因此选项A 不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角
线不一定垂直，因此选项B 不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角线不一定垂直，也不一
定相等，因此选项C 不一定成立，不符合题意．综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，
∴OA＝OC= 1
2AC，OB＝OD= 1
2BD，
故选项D 一定成立，符合题意；
对于选项A，
∵平行四边形的对角线不一定相等，
∴OA＝OB＝OC＝OD 不一定成立，
故选项A 不符合题意；
对于选项B，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，
∴AC⊥BD 不一定成立，故选项B 不符合题意；
对于选项C，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，
∴AC⊥BD，AC＝BD 不一定成立，
故选项C 不符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
27
二．填空题（共1 小题）
20．（2026•北京）如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD 的面积为24，BD 的长为8，
当AO 的长为
3
时，▱ABCD 是菱形．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】3．
【分析】当AC⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形，由菱形的面积公式求出AC＝6，即可得到OA 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当AC⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形，
∵菱形ABCD 的面积= 1
2AC•BD＝24，BD＝8，
∴AC＝6，
∴OA= 1
2AC＝3，
∴当AO 的长为3 时，▱ABCD 是菱形．
故答案为：3．
【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
28
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到
y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
4．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
5．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
29
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
6．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= 1
2BC．
7．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3 且n 为整数）
此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
30
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
10．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
11．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD 是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
12．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边
形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形
的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但
它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平
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行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
13．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
15．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，
综合性比较强．
16．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到
这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
17．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
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②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应
点的线段平行且相等．
18．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就
是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相
应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．）
19．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
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