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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（三）
一．填空题（共15 小题）
1．（2026•河南）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，∠ADC＝40°，则∠CAB 的度数为
．
2．（2026•内江）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA 为12，则该圆锥母线AB 的
长为 ．
3．（2026•新疆）已知圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角为 ．
4．（2026•宜宾）如图，已知△ABC 中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，点P 在BC 边上运动，连接AP．当
△ABP 和△APC 的内切圆半径相等时，设BP＝t，则AP＝ （用含t 的代数式
表示）．
5．（2026•上海）如图，正六边形ABCDEF 中，AF
→
= a
→，AB
→
= b
→，则AD
→
= ．
6．（2026•湖南）如图，⊙O 的半径为6，若它的周长等于^
AB的长的6 倍，则阴影部分的面积为
．
2
7．（2026•扬州）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，点D 在^
BC上，∠ABC＝20°，则∠CDB＝
°．
8．（2026•江西）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1 是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈．
当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切．已知AC 与BD 相交于
点O，CE 为半圆的直径，OC＝9，CE＝6，则此时张角∠AOB 的大小为 °．
9．（2026•苏州）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意
境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由
^
ABC，线段CD，DE，EA 四部分构成，AE，CD 分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B 到
地面的距离为21 分米，AE＝CD＝3 分米，DE＝12 分米，则^
ABC所在圆的半径为 分米．
10．（2026•甘肃）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3
世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17 世纪，德国数学家开普
勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，
将⊙O 的面积转化为Rt△ODC 的面积，其中S 扇形AOB＝S△OMN．在Rt△ODC 中，CD 等于⊙O 周长，
3
OD 等于⊙O 半径，若CD＝4π，MN= 2
9π，则扇形AOB 的圆心角等于 度．
11．（2026•烟台）如图，正五边形ABCDE 的边长为10，连接AC，以AB 为直径作⊙O，与AC 交于点
F，与CB 的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF 的面积为 ．
12．（2026•自贡）正五边形ABCDE 与等腰Rt△CDF 如图摆放，则∠BCF＝ °．
13．（2026•广安）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5m 的圆，其中水面宽为0.8m，则水面
高为 m．
14．（2026•重庆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A，D 在⊙O 上，AD＝12，BE 经过圆心O，且
BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC 交⊙O 于点F，连接FB 并延长交⊙O 于点G，BE＝OC，则OB
的长度为 ，BG 的长度为 ．
15．（2026•达州）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距OM =√3，分别以F，C 为圆心，
以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是
．
4
二．解答题（共3 小题）
16．（2026•贵州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P，C 在⊙O 上，^
PA =^
PC．
（1）线段PA 与线段PC 的数量关系是 ，若连接AC，则直线PO 与AC 的位置关系是
；
（2）求证：PO∥BC；
（3）过点P 作⊙O 的切线l，过点A 作AD⊥l 于点D．根据题意补全图形，若PD＝2√2，BC＝2，求
⊙O 的半径．
17．（2026•广东）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，且AC＝BC，∠OAB＝40°，∠AOB＝100°．求证：
直线AB 是⊙O 的切线．
18．（2026•南京）背景材料：模拟“月食”变化
已知圆O 的圆心为O（0，0），半径为3，另有一圆M，半径为2．当t＝0 时，圆M 的圆心为（﹣4，
3），圆M 以每分钟1 个单位长度的速度沿着x 轴正方向运动，在运动过程中，将圆M 中未被圆O 覆
盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M 停止运动，示意图如图所示：
5
（1）判断下面命题是否正确，并说明理由．
①亮面始终为轴对称图形；
②当t＝8 时，亮面再次为完整的圆；
③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M 面积的2
3；
（2）画出亮面面积S 关于运动时间t 的大致图象，并简述理由．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（三）
参考答案与试题解析
一．填空题（共15 小题）
1．（2026•河南）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，∠ADC＝40°，则∠CAB 的度数为
50°
．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】50°．
【分析】由AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，得∠ACB＝90°，∠B＝∠ADC＝40°，则∠CAB＝
90°﹣∠B＝50°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，∠ADC＝40°，
∴∠ACB＝90°，∠B＝∠ADC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠ACB＝90°及∠B＝
∠ADC＝40°是解题的关键．
2．（2026•内江）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA 为12，则该圆锥母线AB 的
长为
13
．
【考点】圆锥的计算；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长求出OB，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：2π•OB＝10π，
解得：OB＝5，
7
由勾股定理得：AB=√O B
2+O A
2=√5
2+12
2=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
3．（2026•新疆）已知圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角为
90°
．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】90°．
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
利用该关系列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得，2π = nπ ×4
180
解得n＝90，
∴它的侧面展开图的圆心角为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2026•宜宾）如图，已知△ABC 中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，点P 在BC 边上运动，连接AP．当
△ABP 和△APC 的内切圆半径相等时，设BP＝t，则AP＝ 21-8t
2t -7 （用含t 的代数式表示）．
【考点】三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质．
【答案】21-8t
2t -7 ．
【分析】设左边圆的圆心为O，过点O 分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，E，
F，则可设AP＝x，OD＝OE＝OF＝r，根据S△ABP＝S△BOP+S△AOP+S△AOB，得到S△ABP= 1
2 (t + x +3)r，
同理可得S△ACP= 1
2 (12-t + x)r，则
S△ABP
S△ACP
=
1
2 (t + x +3)r
1
2 (12-t + x)r
= t + x +3
12-t + x ，而
S△ABP
S△ACP
= BP
CP =
t
7-t ，即可
8
得到t + x +3
12-t + x =
t
7-t ，即可求解．
【解答】解：设左边圆的圆心为O，过点O 分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，
E，F，
∵⊙O 为△ABP 的内切圆，
∴OD＝OE＝OF，
设AP＝x，OD＝OE＝OF＝r，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP+S△AOB，
∵AB＝3，BP＝t，AC＝5，BC＝7，
∴PC＝7﹣t，
∴S△ABP= 1
2 BP×r + 1
2 AP×r + 1
2 AB×r = 1
2 (BP+ AP+ AB)r = 1
2 (t + x +3)r，
∵△ABP 和△APC 的内切圆半径相等，
∴同理可得，S△ACP= 1
2 ( AC + PC + AP)r = 1
2 (5+7-t + x)r = 1
2 (12-t + x)r，
∴
S△ABP
S△ACP
=
1
2 (t + x +3)r
1
2 (12-t + x)r
= t + x +3
12-t + x ，
又∵
S△ABP
S△ACP
= BP
CP =
t
7 -t ，
∴t + x +3
12-t + x =
t
7-t ，
解得x = 21-8t
2t -7 ，即AP = 21-8t
2t -7 ，
故答案为：21-8t
2t -7 ．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，掌握其相关知识点是解题的关键．
5．（2026•上海）如图，正六边形ABCDEF 中，AF
→
= a
→，AB
→
= b
→，则AD
→
=
2 a
→
+2b
→ ．
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【考点】正多边形和圆；*平面向量．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】2a
→
+2b
→．
【分析】如图，延长AF，DE 交于点T．求出FE
→，再根据AD
→
= AF
→
+ FE
→
+ ED
→求解．
【解答】解：如图，延长AF，DE 交于点T．
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠AFE＝∠DEF＝120°，
∴∠TFE＝∠TEF＝60°，
∴△TEF 是等边三角形，
∴EF＝TF＝TE，
∵AF＝EF＝DE＝AB，
∴AF
→
= FT
→
=a，
→
TE
→
= ED
→
= AB
→
= b
→
，
∴FE
→
= FT
→
+TE
→
= a
→
+ b
→
，
∴AD
→
= AF
→
+ FE
→
+ ED
→
= a
→
+ a
→
+ b
→
+ b
→
=2a
→
+2b
→
．
故答案为：2a
→
+2b
→．
【点评】本题考查正多边形和圆，平面向量，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．（2026•湖南）如图，⊙O 的半径为6，若它的周长等于^
AB的长的6 倍，则阴影部分的面积为
6 π
．
10
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【答案】6π．
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
设∠AOB 的度数为n°，
则n⋅π ⋅6
180
= 1
6 ×2π ×6，
解得n＝60，
所以∠AOB＝60°，
所以阴影部分的面积为60⋅π ⋅6
2
360
=6 π．
故答案为：6π．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
7．（2026•扬州）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，点D 在^
BC上，∠ABC＝20°，则∠CDB＝
110
°．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】110．
【分析】由AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，点D 在^
BC上，得∠ACB＝90°，∠CDB+∠A＝180°，
因为∠ABC＝20°，所以∠A＝90°﹣∠ABC＝70°，则∠CDB＝180°﹣∠A＝110°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，点D 在^
BC上，
∴∠ACB＝90°，∠CDB+∠A＝180°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝70°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝110°，
11
故答案为：110．
【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补、直角三角形的两个锐角
互余等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键．
8．（2026•江西）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1 是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈．
当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切．已知AC 与BD 相交于
点O，CE 为半圆的直径，OC＝9，CE＝6，则此时张角∠AOB 的大小为
150
°．
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】150．
【分析】设右半圆的圆心为M，BD 与⊙M 相切于点N，连接MN，分别求得MN，OM，根据
sin∠MON = 1
2，，得出∠MON＝30°，进而根据邻补角的定义，即可求解．
【解答】解：如图，设右半圆的圆心为M，BD 与⊙M 相切于点N，连接MN，
∴∠MNO＝90°，
∵OC＝9，CE＝6，
∴MN = MC = 1
2 EC =3，OM＝OC﹣MC＝9﹣3＝6，
∴sin ∠MON = MN
OM = 3
6 = 1
2，
∴∠MON＝30°，
∵∠AOB＝180°﹣∠MON＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
【点评】本题考查了切线的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
9．（2026•苏州）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意
境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由
^
ABC，线段CD，DE，EA 四部分构成，AE，CD 分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B 到
地面的距离为21 分米，AE＝CD＝3 分米，DE＝12 分米，则^
ABC所在圆的半径为
10
分米．
12
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】连接AC，过B 作BN⊥DE 于N，交AC 于M，设圆的圆心是O，圆的半径是r 分米，连接
OC，得到四边形CDEA 是矩形，由垂径定理得到CM= 1
2AC＝6（分米），由勾股定理得到r2＝（18﹣
r）2+62，求出r＝10，即可得到^
ABC所在圆的半径的长．
【解答】解：连接AC，过B 作BN⊥DE 于N，交AC 于M，设圆的圆心是O，圆的半径是r 分米，连接
OC，
∵AE，CD 分别垂直于地面l，AE＝CD＝3 分米，
∴四边形CDEA 是矩形，
∴CA∥DE，
∴OM⊥AC，
∴CM= 1
2AC= 1
2 ×12＝6（分米），
∵该月洞门的最高点B 到地面的距离为21 分米，
∴BN＝21 分米，
∵BM＝BN﹣MN＝21﹣3＝18（分米），
∴OM＝（18﹣r）分米，
由勾股定理得到：OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝（18﹣r）2+62，
∴r＝10，
∴^
ABC所在圆的半径为10 分米．
故答案为：10．
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【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是由垂径定理和勾股定理列出关于r 的方程．
10．（2026•甘肃）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3
世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17 世纪，德国数学家开普
勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，
将⊙O 的面积转化为Rt△ODC 的面积，其中S 扇形AOB＝S△OMN．在Rt△ODC 中，CD 等于⊙O 周长，
OD 等于⊙O 半径，若CD＝4π，MN= 2
9π，则扇形AOB 的圆心角等于
20
度．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】20．
【分析】设圆的半径是r，扇形AOB 的圆心角等于n 度，由圆周长公式求出r＝2，求出△OMN 的面积
= 1
2MN•OD= 2
9π，由扇形AOB 的面积= nπ ×2
2
360
= 2
9
π，求出n＝20，即可得到扇形AOB 的圆心角的度
数．
【解答】解：设圆的半径是r，扇形AOB 的圆心角等于n 度，
∴2πr＝4π，
∴r＝2，
∵OD⊥DC，
∴△OMN 的面积= 1
2MN•OD= 1
2 × 2
9π×2= 2
9π，
∵扇形AOB 的面积= nπ ×2
2
360
= 2
9π，
∴n＝20，
∴扇形AOB 的圆心角等于20 度．
故答案为：20．
【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，关键是掌握扇形的面积公式．
11．（2026•烟台）如图，正五边形ABCDE 的边长为10，连接AC，以AB 为直径作⊙O，与AC 交于点
F，与CB 的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF 的面积为 15
2 π ．
14
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】15
2 π．
【分析】根据正五边形的定义得出 AB＝CB，∠ABC＝108°，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
∠ACB＝36°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AGB＝90°，最后根据直角三角形的性质求解即可
∠FAG＝90°﹣∠ACG＝54°，进而得GOF＝2∠GAF＝108°，然后，再求扇形的面积即可．
【解答】解：如图，连接AG，
∵在正五边形ABCDE 中，
∴AB＝CB＝10，∠ABC = (5-2)×180°
5
=108°，
∴∠BAC =∠ACB = 1
2 (180° -∠ABC )=36°，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AGB＝90°，OG =OB = 1
2 AB =5，
∴∠FAG＝90°﹣∠ACB＝54°，
∴∠GOF＝2∠GAF＝108°，
∴S扇形GOF = 108 π ×5
2
360
= 15
2 π；
解法2，由题可知OF＝OA= 1
2AB= 1
2BC＝5，
∵O 为AB 的中点，
∴OF 是△ABC 的中位线，
∵OG＝OB，
15
∴∠OBG＝∠OGB＝72°，
∵∠OGB 与∠GOF 互补，
∴∠GOF＝108°，
∴阴影部分面积＝π×25× 108
360 = 15
2 π；
故答案为：15
2 π．
【点评】本题考查了圆的基本性质，掌握圆的基本性质是解题的关键．
12．（2026•自贡）正五边形ABCDE 与等腰Rt△CDF 如图摆放，则∠BCF＝
63
°．
【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】63．
【分析】根据正多边形的每个内角都相等求出正五边形的每个内角的度数，再求出等腰直角三角形两
个锐角的度数，即可得解．
【解答】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD= (5-2)×180°
5
=108°，
∵△CDF 是等腰直角三角形且∠CFD＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC＝45°，
∴∠BCF＝∠BCD﹣∠FCD＝108°﹣45°＝63°，
故答案为：63．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质以及多边形内角和定理是解题的关键．
13．（2026•广安）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5m 的圆，其中水面宽为0.8m，则水面
高为
0.2
或
0.8
m．
【考点】垂径定理的应用；圆柱的体积．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】0.2 或0.8．
【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到
水面的距离，进而得到水面高度．
【解答】解：设截面圆的圆心为O，弦AB 为水面，已知OA＝0.5m，AB＝0.8m，
过点O 作OC⊥AB 于点C，直线OC 交AB 下面圆弧于点D，
根据垂径定理可得：AC = 1
2 AB =0.4 m，
16
在Rt△OAC 中，由勾股定理得：OC =√O A
2- A C
2=√05
2-0 4
2=√009=0.3(m)，
分两种情况讨论：当水面在圆心下方时，水面高度为CD＝OD﹣OC＝02（m）；
当水面在圆心上方时，
水面高度为 CD＝OD+OC＝08（m），
故答案为：0.2 或0.8．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，圆柱的体积，掌握其相关知识点是解题的关键．
14．（2026•重庆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A，D 在⊙O 上，AD＝12，BE 经过圆心O，且
BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC 交⊙O 于点F，连接FB 并延长交⊙O 于点G，BE＝OC，则OB
的长度为
5
，BG 的长度为 √65 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】5，√65．
【分析】先得出BE⊥BC，再在Rt△BOC 中，利用勾股定理求解可得OB 的长度；过点O 作OM⊥FG
于点M，过点B 作BN⊥OC 于点N，连接OA，OG，先求出OF 的长，再求出BN，FN，BF 的长，然
后解直角三角形可得FM 的长，进而可得FG 的长，最后根据BG＝FG﹣BF 求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AD＝12，
17
∴BC＝AD＝12，AD∥BC，
∵BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
设BE＝OC＝x（x＞0），
∵OE＝8，
∴OB＝BE﹣OE＝x﹣8，
在Rt△BOC 中，OB2+BC2＝OC2，即（x﹣8）2+122＝x2，解得x＝13，
∴OC＝13，OB＝13﹣8＝5，
如图，过点O 作OM⊥FG 于点M，过点B 作BN⊥OC 于点N，连接OA，OG，
BE 经过圆心O，且BE⊥AD，
∴AE = 1
2 AD =6，
∴OG =OF =OA =√A E
2+O E
2=10，
∵S△BOC = 1
2 OC ⋅BN = 1
2 OB⋅BC，
∴BN = OB⋅BC
OC
= 5×12
13
= 60
13，
∴ON =√O B
2- B N
2=√5
2-( 60
13 )
2= 25
13，
∴FN =OF -ON =10- 25
13 = 105
13 ，
∴BF =√B N
2+ F N
2=√( 60
13 )
2+( 105
13 )
2= 15√65
13
，
在Rt△BFN 中，cos∠BFN = FN
BF = 7√65
65
，
在Rt△FOM 中，FM =OF ⋅cos∠BFN = 14√65
13
，
又∵OF＝OG，OM⊥FG，
∴FG =2 FM = 28√65
13
，
∴BG = FG - BF = 28√65
13
- 15√65
13
=√65，
故答案为：5，√65．
18
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，垂径定理，掌握其相关知识点
是解题的关键．
15．（2026•达州）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距OM =√3，分别以F，C 为圆心，
以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB，DE 所围成的阴影部分面积是
6 √3- 8 π
3 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】6√3- 8 π
3 ．
【分析】如图，连接OE，OD．证明△OED 是等边三角形，求出DE，阴影部分的面积＝正六边形的面
积﹣2 个扇形面积．
【解答】解：如图，连接OE，OD．
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠EOD= 360°
6
=60°，∠AFE＝∠BCD＝120°，
∵OE＝OD，
∴△OED 是等边三角形，
∵OM⊥DE，
∴EM＝MD，∠EOM＝∠DOM= 1
2∠EOM＝30°，
∴EM＝DM＝OM•tan30°=√3× √3
3 =1，
∴DE＝2EM＝2，
∴阴影部分的面积＝6× 1
2 ×2×√3-2× 120 π ×2
2
360
=6√3- 8 π
3 ．
故答案为：6√3- 8 π
3 ．
19
【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
二．解答题（共3 小题）
16．（2026•贵州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P，C 在⊙O 上，^
PA =^
PC．
（1）线段PA 与线段PC 的数量关系是PA
＝
PC
，若连接AC，则直线PO 与AC 的位置关系是PO
⊥
AC
；
（2）求证：PO∥BC；
（3）过点P 作⊙O 的切线l，过点A 作AD⊥l 于点D．根据题意补全图形，若PD＝2√2，BC＝2，求
⊙O 的半径．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）PA＝PC；PO⊥AC；
（2）延长PO 交AC 于点H，
由（1）可得，PO 垂直平分AC，即HA＝HC，
∵OA＝OB，
∴OH 是△ABC 的中位线，
∴OH∥BC，即PO∥BC；
（3）
；3．
【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明PO 垂直平分AC 即
可；
20
（2）证明OH 是△ABC 的中位线，再由中位线的性质求解即可；
（3）先根据题意补全图形，然后连接AC，延长PO 交AC 于点H，然后证明四边形PDAH 是矩形，再
由圆周角定理得到∠ACB＝90°，最后对Rt△ABC 运用勾股定理求解．
【解答】（1）解：∵在⊙O 中，^
PA =^
PC，
∴PA＝PC，
连接AC，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴PO 垂直平分AC，
∴直线PO 与AC 的位置关系是PO⊥AC，
故答案为：PA＝PC；PO⊥AC；
（2）证明：延长PO 交AC 于点H，
由（1）可得，PO 垂直平分AC，即HA＝HC，
∵OA＝OB，
∴OH 是△ABC 的中位线，
∴OH∥BC，即PO∥BC；
（3）解：补全图形如图：
连接AC，延长PO 交AC 于点H，
由（2）可知∠PHA＝90°，HA＝HC，
21
∵直线l 是⊙O 的切线，AD⊥l，
∴∠PDA＝∠DPH＝90°，
∴∠PDA＝∠DPH＝∠PHA＝90°，
∴四边形PDAH 是矩形，
∴AH = PD =2√2，
∴AC =2 AH = 4√2，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AB =√(4√2)
2+2
2=6，
∴半径为1
2 AB =3．
【点评】本题考查了圆的基本性质，圆的切线等，掌握圆的综合知识是解题的关键．
17．（2026•广东）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，且AC＝BC，∠OAB＝40°，∠AOB＝100°．求证：
直线AB 是⊙O 的切线．
【考点】切线的判定；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力；科学文化情境．
【答案】连接OC，
∵∠OAB＝40°，∠AOB＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
22
∴∠A＝∠B，
∴AO＝OB，
∵AC＝BC，
∴OC⊥AB，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴线AB 是⊙O 的切线．
【分析】连接OC，根据三角形的内角和定理得到∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵∠OAB＝40°，∠AOB＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠A＝∠B，
∴AO＝OB，
∵AC＝BC，
∴OC⊥AB，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴线AB 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（2026•南京）背景材料：模拟“月食”变化
已知圆O 的圆心为O（0，0），半径为3，另有一圆M，半径为2．当t＝0 时，圆M 的圆心为（﹣4，
3），圆M 以每分钟1 个单位长度的速度沿着x 轴正方向运动，在运动过程中，将圆M 中未被圆O 覆
盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M 停止运动，示意图如图所示：
（1）判断下面命题是否正确，并说明理由．
23
①亮面始终为轴对称图形；
②当t＝8 时，亮面再次为完整的圆；
③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M 面积的2
3；
（2）画出亮面面积S 关于运动时间t 的大致图象，并简述理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）圆M 的运动轨迹如图，
则M1（0，3），M2（4，3），
①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形，
则亮面始终为轴对称图形，且过O、M 的直线为对称轴；
故①正确，符合题意；
②当t＝8 时，圆M 运动到圆M2的位置，
此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；
故②正确，符合题意；
③由圆M 的运动轨迹可知，当圆M 运动到圆M1时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，
如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y 轴于点G，连接OE，
则OM 垂直平分EF，
当M（﹣4，3）时，圆M 与圆O 相切，
∴此时OM＝5，
24
∴圆M 的半径为2，
设MG＝x，则OG＝3﹣x，
在Rt△EMG 中，EG2＝ME2﹣MG2＝22﹣x2，
在Rt△EOG 中，EG2＝OE2﹣OG2＝32﹣（3﹣x）2＝6x﹣x2，
∴22﹣x2＝6x﹣x2，
解得x= 2
3，即MG= 2
3，
∴cos∠EMG= MG
ME =
2
3
2 = 1
3
，
∵cos60°= 1
2，且1
3 ＜1
2，
∴∠EMG＞60°，则∠EMF＞120°，
∴亮面的圆心角则小于240°，
此时亮面的面积小于圆M 面积的2
3；
故③错误，不符合题意；
（2）亮面面积S 关于运动时间t 的大致图象如图，
理由：①由第一问可知当t＝0 和t＝8 时，亮面为完整的圆，即圆M 的面积，
∴S 最大＝πr2＝4π，
②由对称性可知对称轴为t＝4，
同时由（1）③可知此时S 最小值．
【分析】（1）①根据圆的对称性即可得解；
②当t＝8 时，圆M 与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；
③由圆M 的运动轨迹可知，当圆M 运动圆M1时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，如图，
设两圆交于点E、F，连接EF，交y 轴于点G，连接OE，双勾股求出MG，可得∠EMG 与60°的大小
关系，即可得解；
（2）根据对称性找到最高点和最低点，找出对称轴，即可画出大致图象．
【解答】解：（1）圆M 的运动轨迹如图，
25
则M1（0，3），M2（4，3），
①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形，
则亮面始终为轴对称图形，且过O、M 的直线为对称轴；
故①正确，符合题意；
②当t＝8 时，圆M 运动到圆M2的位置，
此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；
故②正确，符合题意；
③由圆M 的运动轨迹可知，当圆M 运动到圆M1时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，
如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y 轴于点G，连接OE，
则OM 垂直平分EF，
当M（﹣4，3）时，圆M 与圆O 相切，
∴此时OM＝5，
∴圆M 的半径为2，
设MG＝x，则OG＝3﹣x，
在Rt△EMG 中，EG2＝ME2﹣MG2＝22﹣x2，
在Rt△EOG 中，EG2＝OE2﹣OG2＝32﹣（3﹣x）2＝6x﹣x2，
∴22﹣x2＝6x﹣x2，
解得x= 2
3，即MG= 2
3，
26
∴cos∠EMG= MG
ME =
2
3
2 = 1
3
，
∵cos60°= 1
2，且1
3 ＜1
2，
∴∠EMG＞60°，则∠EMF＞120°，
∴亮面的圆心角则小于240°，
此时亮面的面积小于圆M 面积的2
3；
故③错误，不符合题意；
（2）亮面面积S 关于运动时间t 的大致图象如图，
理由：①由第一问可知当t＝0 和t＝8 时，亮面为完整的圆，即圆M 的面积，
∴S 最大＝πr2＝4π，
②由对称性可知对称轴为t＝4，
同时由（1）③可知此时S 最小值．
【点评】本题主要考查了圆和圆位置关系、勾股定理、垂径定理、函数图象等内容，熟练掌握相关知
识是解题的关键．
27
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
2．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
3．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3 且n 为整数）
此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
4．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
28
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
5．*平面向量
平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之
相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c 上面加一个小箭头表示，也可以用表
示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
6．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
7．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌
握．
8．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
9．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
29
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
10．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直
线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中
明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成
“有交点，作半径，证垂直”．
11．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
12．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
13．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
30
（2）弧长公式：l= nπR
180 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180 都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
14．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R 的扇形面积为S，则
S 扇形= n
360πR2或S 扇形= 1
2lR（其中l 为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
15．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2 条半径）．
（3）圆锥的侧面积：S 侧= 1
2•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S 全＝S 底+S 侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积= 1
3 ×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
16．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边
形一起，难度比较大．
17．圆柱的体积
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式，表达式为V＝π*r2*h．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:22:40；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
