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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）
一．填空题（共20 小题）
1．（2026•成都）正八边形的每个内角的度数都为 ．
2．（2026•北京）在凸五边形ABCDE 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，则∠D＝ °．
3．（2026•贵州）如图，在▱ABCD 中，DE⊥AB，垂足为E，且∠A＝45°，AE＝2，则AB 与CD 之间的
距离为 ．
4．（2026•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，分别以B，C 两点为圆心，以AB 的长为半径
作弧，两弧在矩形ABCD 内部交于点P，则点P 到AD 所在直线的距离为 ．
5．（2026•遂宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，AC＝2√7，BD＝6，EF 是线段
BC 的垂直平分线，交BC 于点E，交BD 于点F，连结CF，则△CDF 的周长为 ．
6．（2026•南京）正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n 边形，求n 可以是
（任写一个符合的）．
7．（2026•内蒙古）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，AC 是它的一条对角线．以点B 为圆心，
BA 长为半径画弧，交AC 于点E（异于点A），分别以点A 和点E 为圆心，大于1
2AE 长为半径，在直
线AC 的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC 交于点N，则BN 的长为
．
8．（2026•广元）如图1 的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．
2
它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1 个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，
将图1 中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2 和图3，图2 中菱形对角线的和为12，图3 中间正方形
的面积为20，则图1 中间正方形的面积是 ．
9．（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EF⊥BC 交直线BC 于点F．若DE＝3CF，
EF＝4√10，则菱形ABCD 的边长为 ．
10．（2026•黑龙江）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，且OA＝OC，请添加一个
条件 ，使四边形ABCD 是平行四边形．
11．（2026•广西）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，
tan∠DAE = 1
4 ，则BE＝ ．
12．（2026•宜宾）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AE 垂直且平分线段BO，垂足
为点E．已知BD＝20cm，则AB 的长为 cm．
13．（2026•内江）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P、Q 分别为对角线AC、边CD 上的动点，且DQ
=√2AP，则PQ 的最小值为 ．
3
14．（2026•福建）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠DFC＝90°，
∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点E，F 分别在BC，AE 上，则∠AFD 等于
度．
15．（2026•上海）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，EF 是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则
梯形ABCD 的面积为 ．
16．（2026•天津）如图，在菱形ABCD 中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC．
（Ⅰ）线段AC 的长为 ；
（Ⅱ）点E 在边AB 上，点F 在BC 的延长线上，EF 与AC 相交于点G，H 为CD 的中点．若AE＝CF＝
1，则线段GH 的长为 ．
17．（2026•扬州）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅
游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为 °．
18．（2026•湖南）如图，BD 是两个正六边形的公共边，A 和C 是离B 最远的顶点，则∠ABC＝
．
4
19．（2026•江西）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 是边AD 上的动点，连接BE，过点C 作
CF⊥BE 于点F．当△BFC 面积最大时，DE 的长为 ．
20．（2026•山东）如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于 °．
5
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）
参考答案与试题解析
一．填空题（共20 小题）
1．（2026•成都）正八边形的每个内角的度数都为
135°
．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】135°．
【分析】根据正多边形的定义可知，正八边形的内个内角都相等，由多边形的内角和公式，可得正八
边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，最后计算1080°÷8 即可得出答案．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
∵正八边形的内个内角都相等，
∴正八边形每个内角的度数为：1080°÷8＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义是解题的关键．
2．（2026•北京）在凸五边形ABCDE 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，则∠D＝
135
°．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】135．
【分析】根据多边形内角和的计算方方求出五边形的内角和，再根据各个内角的度数和关系进行计算
即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE 的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
而∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，
∴∠D＝∠E= 540° -90°×3
2
=135°，
故答案为：135．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
3．（2026•贵州）如图，在▱ABCD 中，DE⊥AB，垂足为E，且∠A＝45°，AE＝2，则AB 与CD 之间的
距离为
2
．
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】2．
【分析】由平行四边形性质得AB∥CD，再由DE⊥AB 得DE⊥CD，∠DEA＝90°，则AB 与CD 之间的
6
距离为线段DE 的长，证明△ADE 是等腰直角三角形得DE＝AE＝2，据此可得AB 与CD 之间的距离为
2．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥CD，∠DEA＝90°，
∴AB 与CD 之间的距离为线段DE 的长，
在△ADE 中，∠DEA＝90°，∠A＝45°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2，
AB 与CD 之间的距离为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解平行线间的距离，
熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
4．（2026•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，分别以B，C 两点为圆心，以AB 的长为半径
作弧，两弧在矩形ABCD 内部交于点P，则点P 到AD 所在直线的距离为 4 -√7 ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】4 -√7．
【分析】连接PB，PC，过点P 作PE⊥AD 于点E，EP 的延长线交BC 于点F，证明四边形ABFE 是矩
形得EF＝AB＝4，PF⊥BC，由尺规作图得PB＝PC＝AB＝4，由此得BF＝CF= 1
2BC＝3，在Rt△PFB
中，由勾股定理得PF=√7，进而得PE= 4 -√7，据此可得点P 到AD 所在直线的距离．
【解答】解：连接PB，PC，过点P 作PE⊥AD 于点E，EP 的延长线交BC 于点F，如图所示：
∴∠FEA＝90°，
∵四边形ABCD 是矩形，且AB＝4，BC＝6，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
7
∴∠A＝∠ABC＝∠FEA＝90°，
∴四边形ABFE 是矩形，
∴EF＝AB＝4，∠PFB＝90°，
∴PF⊥BC，
由尺规作图得：PB＝PC＝AB＝4，
在△PBC 中，PB＝PC＝4，PF⊥BC，
∴BF＝CF= 1
2BC＝3，
在△PFB 中，∠PFB＝90°，
由勾股定理得：PF=√P B
2- B F
2=√4
2-3
2=√7，
∴PE＝EF﹣PF= 4 -√7，
∴点P 到AD 所在直线的距离为4 -√7．
故答案为：4 -√7．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩
形的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
5．（2026•遂宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，AC＝2√7，BD＝6，EF 是线段
BC 的垂直平分线，交BC 于点E，交BD 于点F，连结CF，则△CDF 的周长为
10
．
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推
理能力．
【答案】10．
【分析】由菱形的性质得OA＝OC=√7，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再由勾股定理求出CD＝4，然后由
线段垂直平分线的性质得BF＝CF，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC＝2√7，BD＝6，
∴OA＝OC= 1
2AC=√7，OB＝OD= 1
2BD＝3，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴CD=√OC
2+O D
2=√(√7)
2+3
2=4，
∵EF 是线段BC 的垂直平分线，
8
∴BF＝CF，
∴△CDF 的周长＝CD+DF+CF＝CD+DF+BF＝CD+BD＝4+6＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质
和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．（2026•南京）正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n 边形，求n 可以是
3 或
9
（任写一个符合的）．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆．
【答案】3 或9．
【分析】求出正九边形的外接圆圆心，表示出相邻顶点对应的圆心角度数即可．
【解答】解：∵正九边形，
∴外接圆对应的圆心角为：360°
9
= 40°，
∵顺次连接正九边形的若干顶点得到的正n 边形，顶点必然也落在这个外接圆上，
∴它的相邻顶点对应的圆心角为360°
n
，该角度必须是40°的正整数倍，
即存在正整数k 满足：k ×40° = 360°
n
，整理可得k×n＝9，
9 的正整数因数中，满足多边形边数n≥3 的取值只有3 和9，
故答案为：3 或9．
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．（2026•内蒙古）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，AC 是它的一条对角线．以点B 为圆心，
BA 长为半径画弧，交AC 于点E（异于点A），分别以点A 和点E 为圆心，大于1
2AE 长为半径，在直
线AC 的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC 交于点N，则BN 的长为
4√5
5
．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；尺规作图；运算能力；推理能力．
【答案】4√5
5
．
9
【分析】由矩形的性质得到∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，由勾股定理求出AC=√A B
2+ BC
2=2√5，由
三角形的面积公式得到2√5×BN＝2×4，即可求出BN 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∵AB＝2，
∴AC=√A B
2+ BC
2=2√5，
由题意得到BN⊥AC，
∵△ABC 的面积= 1
2AC•BN= 1
2AB•BC，
∴2√5×BN＝2×4，
∴BN= 4√5
5
．
故答案为：BN= 4√5
5
．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，尺规作图﹣基本作图，关键是由三角形的面积公式得到
AC•BN＝AB•BC，掌握用尺规过直线外一点作已知直线的方法．
8．（2026•广元）如图1 的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．
它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1 个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，
将图1 中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2 和图3，图2 中菱形对角线的和为12，图3 中间正方形
的面积为20，则图1 中间正方形的面积是
4
．
【考点】菱形的性质；勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；社会热点情境．
【答案】4．
【分析】设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据菱形的性质和勾股
定理即可得到结论．
10
【解答】解：设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
∵图2 中菱形对角线的和为12，
∴2a+2b＝12，
∴a+b＝6，
∵图3 中间正方形的面积为20，
∴c2＝20，
∴c＝2√5，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝c2＝20，
∴ab＝8，
∴图1 中间正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣32＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．
9．（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EF⊥BC 交直线BC 于点F．若DE＝3CF，
EF＝4√10，则菱形ABCD 的边长为 6√5或12√2 ．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】6√5或12√2．
【分析】设CF＝a，则DE＝3a，AD＝2DE＝6a，由菱形性质得CD＝AD＝6a，AD∥BC，则
EF⊥BC，再分两种情况讨论如下：①当点F 在BC 上时，过点CH⊥AD 于点H，证明四边形CHEF 是
矩形得HE＝CF＝a，CH＝EF= 4√10，则DH＝2a，在Rt△CHD 中，由勾股定理得a=√5，进而得CD
＝6a=6√5；②当点F 在BC 的延长线上时，过点CH⊥AD 于点H，同①得四边形CHEF 是矩形，则
HE＝CF＝a，CH＝EF= 4√10，进而得DH＝4a，在Rt△CHD 中，由勾股定理得a=2√2，则CD＝6a
=12√2，综上所述即可得出菱形ABCD 的边长．
【解答】解：∵DE＝3CF，
∴设CF＝a，则DE＝3a，其中a＞0，
∵点E 是边AD 的中点，
∴AD＝2DE＝6a，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD＝AD＝6a，AD∥BC，
∵EF⊥BC 交直线BC 于点F，
∴EF⊥BC，
∴∠EFC＝∠FED＝90°，
依题意有以下两种情况：
①当点F 在BC 上时，过点CH⊥AD 于点H，如图1 所示：
11
∴∠CHE＝∠CHD＝90°，
∴∠CHE＝∠EFC＝∠FED＝90°，
∴四边形CHEF 是矩形，
∴HE＝CF＝a，CH＝EF= 4√10，
∴DH＝DE﹣HE＝3a﹣a＝2a，
在△CHD 中，∠CHD＝90°，
由勾股定理得：CH=√C D
2- D H
2=√(6a)
2-(2a)
2= 4√2a= 4√10，
解得：a=√5，
∴CD＝6a=6√5，
∴菱形ABCD 的边长为6√5；
②当点F 在BC 的延长线上时，过点CH⊥AD 于点H，如图2 所示：
∴∠CHD＝90°，
同①得：四边形CHEF 是矩形，
HE＝CF＝a，CH＝EF= 4√10，
∴DH＝DE+HE＝3a+a＝4a，
在△CHD 中，∠CHD＝90°，
由勾股定理得：CH=√C D
2- D H
2=√(6a)
2-(4 a)
2=2√5a= 4√10，
解得：a=2√2，
∴CD＝6a=12√2，
∴菱形ABCD 的边长为12√2，
综上所述：菱形ABCD 的边长为6√5或12√2．
故答案为：6√5或12√2．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，矩形的判定
和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是易错点．
12
10．（2026•黑龙江）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，且OA＝OC，请添加一个
条件OB
＝
OD
（答案不唯一）
，使四边形ABCD 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】OB＝OD（答案不唯一）．
【分析】已知对角线AC 被点O 平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需补充另一条
对角线BD 也被点O 平分即可．
【解答】解：添加条件：OB＝OD，
∵在四边形ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
11．（2026•广西）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，
tan∠DAE = 1
4 ，则BE＝
5
．
【考点】正方形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】解Rt△ADE 得DE＝1，进而得CE＝3，在Rt△BCE 中，由勾股定理可得BE＝5．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，且AB＝4，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，
在△ADE 中，∠D＝90°，
∴tan∠DAE= DE
AD = 1
4 ，
∴DE= 1
4 AD= 1
4 ×4 =1，
∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，
在△BCE 中，∠C＝90°，
13
由勾股定理得：BE=√BC
2+C E
2=√4
2+3
2=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，理解正方形的性质，灵活利用锐角三角函数
的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
12．（2026•宜宾）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AE 垂直且平分线段BO，垂足
为点E．已知BD＝20cm，则AB 的长为
10
cm．
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AO，再由矩形的性质得到AO = 1
2 BD =10cm，则 AB
＝AO＝10cm．
【解答】解：∵AE 垂直且平分线段BO，
∴AB＝AO，
∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O，BD＝20cm，
∴AO = 1
2 AC = 1
2 BD =10cm，
∴AB＝AO＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．（2026•内江）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P、Q 分别为对角线AC、边CD 上的动点，且DQ
=√2AP，则PQ 的最小值为 3√2 ．
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能
力；推理能力．
【答案】3√2．
14
【分析】过点P 作PE⊥CD 于点E ，设AP=√2 x，则DQ ＝2x ，由勾股定理求出AC=6√2得
0＜√2 x＜6√2，则0＜x＜6，证明△PEC 是等腰直角三角形，由勾股定理得PC=√2PE，则
√2 x +√2 PE =6√2，由此得PE＝CE＝6﹣x，由此可得EQ＝x，在Rt△PEQ 中，由勾股定理得PQ2＝
PE2+EQ2＝（6﹣x）2+x2，整理得PQ2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18，由此根据二次函数的性质得当x
＝3 时，PQ2的值为最小，最小值为18，进而可得PQ 的最小值为3√2．
【解答】解：过点P 作PE⊥CD 于点E，如图所示：
∵DQ=√2AP，
∴设AP=√2 x，则DQ＝2x，
∵四边形ABCD 是正方形，且边长为6，AC 是对角线，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∠ACD＝45°，
在△ADC 中，∠D＝90°，
由勾股定理得：AC=√A D
2+C D
2=√6
2+6
2=6√2，
∴点P 是正方形对角线AC 上的动点，
∴0＜AP＜AC，
∴0＜√2 x＜6√2，
∴0＜x＜6，
∵PE⊥CD 于点E，∠ACD＝45°，
∴△PEC 是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
由勾股定理得：PC=√P E
2+C E
2=√2PE，
∵AP+PC＝AC=6√2，
∴√2 x +√2 PE =6√2，
∴PE＝6﹣x，
∴PE＝CE＝6﹣x，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣（6﹣x）＝x，
∴EQ＝DQ﹣DE＝2x﹣x＝x，
∵PE⊥CD 于点E，
∴△PEQ 是直角三角形，
由勾股定理得：PQ2＝PE2+EQ2＝（6﹣x）2+x2，
15
整理得：PQ2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18，
∵该二次函数的开口向上，对称轴为x＝3，x 的取值范围是0＜x＜6，
∴当x＝3 时，PQ2的值为最小，最小值为18，
∴PQ 的最小值为√18=3√2．
故答案为：3√2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，二次函数的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握
二次函数的性质是解决问题的关键，灵活利用勾股定理构造二次函数是解决问题的难点．
14．（2026•福建）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠DFC＝90°，
∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点E，F 分别在BC，AE 上，则∠AFD 等于
75
度．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】75．
【分析】根据矩形的性质和已知条件可得∠DAF＝60°，∠ADF＝45°，再根据三角形的内角和即可求解．
【解答】解：∵∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAF＝60°，∠ADF＝45°，
在三角形ADF 中，
∠AFD＝180°﹣∠DAF﹣∠ADF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查矩形的性质和直角三角形的性质，正确理解和应用三角形内角和定理是解题关键．
15．（2026•上海）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，EF 是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则
梯形ABCD 的面积为
12
．
【考点】梯形中位线定理；三角形的面积；梯形．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；梯形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】首先，由BC＝2AD 且P 为中点可知BP＝PC＝AD，从而判定四边形ABPD 和APCD 均为平行
16
四边形．接着，根据梯形中位线EF 平行于底边，推导出M、N 分别是AP、DP 的中点，进而确定MN
是△PAD 的中位线，得出相似比为1：2．最后，利用相似三角形面积比等于相似比的平方（即1：
4），由△PMN 面积为1 算出△PAD 面积为4，再结合平行四边形对角线平分面积的性质，最终求得梯
形总面积为12．
【解答】解：梯形ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD，
P 是BC 的中点，
∴BP = PC = 1
2 BC = AD，
∴四边形ABPD、四边形APCD 都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵EF 是梯形的中位线，
∴EFAD∥BC，E 是AB 的中点，F 是DC 的中点，
在△ABP 中，E 为AB 的中点，EM∥BP，
∴M 是AP 的中点，
在△DCP 中，F 为DC 的中点，FN∥PC，
∴N 是DP 的中点，
∴MN 是△ADP 的中位线，
∴MN∥AD，MN = 1
2 AD，
∴△PMN∽△PAD，
k = MN
AD = 1
2，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方∴
S△PMN
S△PAD
=( 1
2 )
2= 1
4 ，
已知S△PMN＝1，代入得：
1
S△PAD
= 1
4 ，
S△PAD＝4，
∵▱ABPD 中，AP 为对角线，
∴S△ABP＝S△ADP＝4（平行四边形对角线平分面积），
∵▱APCD 中，DP 为对角线，
∴S△DPC＝S△ADP＝4S 梯形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝4+4+4＝12．
故答案为：12．
【点评】题目考查了梯形及梯形的中位线定理、三角形的面积，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
16．（2026•天津）如图，在菱形ABCD 中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC．
（Ⅰ）线段AC 的长为
5
；
（Ⅱ）点E 在边AB 上，点F 在BC 的延长线上，EF 与AC 相交于点G，H 为CD 的中点．若AE＝CF＝
17
1，则线段GH 的长为 √21
2 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何
直观；运算能力；推理能力．
【答案】（Ⅰ）5；
（Ⅱ）√21
2 ．
【分析】（Ⅰ）由菱形性质得AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，再由∠B＝60°得△ABC 是等边三角形，
据此可得AC＝AB＝5；
（Ⅱ）连接FH，并延长交AD 于点M，连接EM，过点E 作EK∥BC，交AC 于点K，EN⊥AD，交DA
的延长线于点N，证明△AEK 是等边三角形得EK＝AE＝CF＝1，进而证明△GEK 和△GFC 全等得点G
是EF 的中点，再证明△HMD 和△HFC 全等得DM＝CF＝1，HM＝HF，则点H 是MF 的中点，AM＝
4，解Rt△AEN 得EN= √3
2 ，AN= 1
2，则MN= 9
2，在Rt△MNE 中，由勾股定理得EM=√21，然后证明
GH 是△EFM 的中位线得GH= 1
2EM= √21
2 ．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，且BC＝5，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，
在△ABC 中，AB＝BC＝5，∠B＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC＝AB＝5，
故答案为：5；
（Ⅱ）连接FH，并延长交AD 于点M，连接EM，过点E 作EK∥BC，交AC 于点K，EN⊥AD，交DA
的延长线于点N，如图所示：
∴∠N＝90°，
由（Ⅰ）可知：△ABC 是等边三角形，AB＝BC＝AC＝AD＝5，
18
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵EK∥BC，交AC 于点K，
∴∠AEK＝∠B＝60°，∠AKE＝∠ACB＝60°，
∴∠AEK＝∠AKE＝60°，
∴△AEK 是等边三角形，
∴EK＝AE，
∵AE＝CF＝1，
∴EK＝CF＝1，
∵点F 在BC 的延长线上，EK∥BC，AD∥BC，
∴EK∥CF，MD∥CF，
∴∠GEK＝∠GFC，∠GKE＝∠GCF，
在△GEK 和△GFC 中，
{
∠GEK =∠GFC
EK =CF
∠GKE =∠GCF
，
∴△GEK≌△GFC（ASA），
∴GE＝GF，
即点G 是EF 的中点，
∵MD∥CF，
∴∠HMD＝∠HFC，∠D＝∠HCF，
∵点H 为CD 的中点，
∴HD＝HC，
在△HMD 和△HFC 中，
{
∠HMD =∠HFC
∠D =∠HCF
HD = HC
，
∴△HMD≌△HFC（AAS），
∴DM＝CF＝1，HM＝HF，
∴点H 是MF 的中点，AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，
∵点N 在AD 的延长线上，AD∥BC，
∴∠NAE＝∠B＝60°，
在△AEN 中，∠N＝90°，AE＝1，
∴sin∠NAE= EN
AE ，cos∠NAE= AN
AE ，
∴EN＝AE•sin∠NAE＝1×sin60°= √3
2 ，AN＝AE•cos∠NAE＝1×cos60°= 1
2，
∴MN＝AM+AN= 4+ 1
2 = 9
2，
19
在△MNE 中，∠N＝90°，
由勾股定理得：EM=√E N
2+ M N
2=√( √3
2 )
2+( 9
2 )
2=√21，
∴点G 是EF 的中点，点H 是MF 的中点，
∴GH 是△EFM 的中位线，
∴GH= 1
2EM= √21
2 ．
故答案为：√21
2 ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形
中位线定理，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和
性质，三角形中位线定理，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
17．（2026•扬州）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅
游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为
135
°．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】135．
【分析】根据正八边形的定义，多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：由题意可知，正八边形的每一个内角都相等，正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝
6×180°＝1080°，
∴正八边形的每个内角为：1080°÷8＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义是解题的关键．
18．（2026•湖南）如图，BD 是两个正六边形的公共边，A 和C 是离B 最远的顶点，则∠ABC＝
120°
．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】120°．
20
【分析】根据正六边形的内角和求得每一个内角为120°，由外角和角可得∠ABD＝∠CBD＝60°从而求
解．
【解答】解：∵这两个多边形为正六边形，
∴每一个内角是(6-2)×180°
6
=120°，
∵∠ABD 和∠CBD 是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°，
∴每一个外角是360°
6
=60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式和外角和为360°是关键．
19．（2026•江西）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 是边AD 上的动点，连接BE，过点C 作
CF⊥BE 于点F．当△BFC 面积最大时，DE 的长为
1
．
【考点】矩形的性质；圆周角定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推
理能力．
【答案】1．
【分析】根据题意得出点F 在以BC 为直径的⊙O 上运动，进而可得当OF⊥BC 时，点F 到BC 的距离
最大，此时△BFC 面积最大，得出∠FBC＝45°，结合题意得出△ABE 是等腰直角三角形，求得AE＝
AB＝3，根据线段的和差关系，即可求解．
【解答】解：如图，设BC 的中点为O，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F 在以BC 为直径的⊙O 上运动，
21
∴当OF⊥BC 时，点F 到BC 的距离最大，此时△BFC 面积最大，
∴BF＝FC，
∴∠FBC＝45°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键．
20．（2026•山东）如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于
720
°．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】720．
【分析】根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．
【解答】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
故答案为：720．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
22
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△= 1
2 ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
5．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用
面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
23
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
7．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3 且n 为整数）
此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD 是平行
24
四边形．
10．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
13．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的
高．
25
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
14．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线
平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2 倍乘高再除以2 就等于梯形的面积，即
梯形的面积= 1
2 ×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
15．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
16．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
26
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
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