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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之无理数与实数（一）
一．选择题（共17 小题）
1．（2026•北京）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b
B．﹣a＞b
C．|a|＝﹣a
D．ab＞0
2．（2026•贵州）实数a，b 在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．a＝﹣b
3．（2026•绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．|﹣3|＝﹣3
B．a2+2a2＝3a4
C．√4 =±2
D．2
−1= 1
2
4．（2026•广元）下列比﹣2 小的实数是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
5．（2026•巴中）下列实数中最大的是（ ）
A．π
B．−√2
C．﹣1
D．0
6．（2026•福建）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0
B．a﹣b＜0
C．ab＞0
D．a
b ＜0
7．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（ ）
A．5
7
B．4
C．√2
D．√9
8．（2026•天津）√2sin30°﹣cos45°的值等于（ ）
A．1−√2
B．0
C．1−√2
2
D．√2
9．（2026•天津）估计1+√11的值在（ ）
A．2 和3 之间
B．3 和4 之间
C．4 和5 之间
D．5 和6 之间
10．（2026•攀枝花）实数a、b 满足a+b＝0，则以下结论一定成立的是（ ）
A．a＝1，b＝﹣1
B．a、b 同时为0
C．a、b 互为倒数
D．a、b 互为相反数
11．（2026•乐山）若实数a、b 满足√a−2+(b+3)
2=0，则ab 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．6
D．﹣6
2
12．（2026•湖南）已知点P 在数轴上的位置如图所示，则点P 表示的数可能是（ ）
A．4
3
B．√2
C．3
2
D．√5
13．（2026•山东）下列实数中，比1 大的数是（ ）
A．﹣2
B．0
C．0.5
D．√2
14．（2026•连云港）如图，数轴上的点A，B，C 分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|c|
B．|b|＞|c|
C．|a|＜|b|
D．|c|＞|a+b|
15．（2026•连云港）已知p=√9+√5，以下对p 的值估算正确的是（ ）
A．3＜p＜4
B．4＜p＜5
C．5＜p＜6
D．6＜p＜7
16．（2026•广安）下列比0 小的数是（ ）
A．√3
B．π
C．﹣1
D．1
17．（2026•泸州）下列四个数中，是整数的是（ ）
A．2026
B．−
1
2026
C．√2026
D．2.026
3
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之无理数与实数（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共17 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A．
A
D
C
B
C
D
D
题号
12
13
14
15
16
17
答案
D
D．
B
C
C．
A
一．选择题（共17 小题）
1．（2026•北京）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b
B．﹣a＞b
C．|a|＝﹣a
D．ab＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置确定a，b 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较
法则进行判断．
【解答】解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴a＜0，b＞0，
A：∵a＜0，b＞0，
∴a＜b，
∴A 不符合题意；
B：∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
又∵b＞2，
∴﹣a＜b，
∴B 不符合题意；
C：∵a＜0，根据绝对值的性质可得|a|＝﹣a，
∴C 符合题意；
D：∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴D 不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握实数与数轴是解题的关键．
4
2．（2026•贵州）实数a，b 在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．a＝﹣b
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】观察数轴可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，再判断各个选项的正误即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴a＜b，a≠b，a≠﹣b，
∴A 选项正确，B，C，D 选项结论错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上点边数的数的大小关系．
3．（2026•绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．|﹣3|＝﹣3
B．a2+2a2＝3a4
C．√4 =±2
D．2
−1= 1
2
【考点】算术平方根；合并同类项；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据算术平方根、合并同类项、负整数指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：A、|﹣3|＝3，故该项不正确，不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故该项不正确，不符合题意；
C、√4 =2，故该项不正确，不符合题意；
D、2﹣1= 1
2，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根、合并同类项、负整数指数幂，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（2026•广元）下列比﹣2 小的实数是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
【考点】实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】A．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
5
【解答】解：A．∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，故符合题意；
B．∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，故不符合题意；
C．0＞﹣2，故不符合题意；
D．2＞﹣2，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正
数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
5．（2026•巴中）下列实数中最大的是（ ）
A．π
B．−√2
C．﹣1
D．0
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；数据观念．
【答案】A
【分析】利用“正数大于0，0 大于负数”的基本性质即可求解．
【解答】解：∵所有正数都大于0，所有负数都小于0，
又∵−√2，﹣1 是负数，0 不是正数，π≈3.14 是正数，
∴π ＞0＞−1＞−√2，
因此所给实数中最大的实数是π．
故选：A．
【点评】本题考查实数大小比较，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．（2026•福建）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0
B．a﹣b＜0
C．ab＞0
D．a
b ＜0
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】由数轴得0＜a＜1，b＜﹣1，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＜0，a﹣b＞0，ab＜0，a
b ＜0即可．
【解答】解：由数轴得0＜a＜1，b＜﹣1，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，ab＜0，a
b ＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
7．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（ ）
A．5
7
B．4
C．√2
D．√9
6
【考点】无理数；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据有理数和无理数的定义判断各选项即可．
【解答】解：A、5
7
是分数，不是无理数，不符合题意；
B、4 是整数，不是无理数，不符合题意；
C、√2是无理数，符合题意；
D、√9=3，是整数，不是无理数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
8．（2026•天津）√2sin30°﹣cos45°的值等于（ ）
A．1−√2
B．0
C．1−√2
2
D．√2
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：原式=√2× 1
2 −√2
2
= √2
2 −√2
2
＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2026•天津）估计1+√11的值在（ ）
A．2 和3 之间
B．3 和4 之间
C．4 和5 之间
D．5 和6 之间
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先确定√11的取值范围，再通过不等式性质得到1+√11的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵√9＜√11＜√16，
∴3＜√11＜4，
∴3+1＜1+√11＜4 +1，
∴4＜1+√11＜5，
∴1+√11的值在4 和5 之间．
故选：C．
7
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
10．（2026•攀枝花）实数a、b 满足a+b＝0，则以下结论一定成立的是（ ）
A．a＝1，b＝﹣1
B．a、b 同时为0
C．a、b 互为倒数
D．a、b 互为相反数
【考点】实数的性质；相反数；倒数．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据互为相反数的两个数的和是0 解答即可．
【解答】解：若实数a、b 满足a+b＝0，则a、b 互为相反数，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
11．（2026•乐山）若实数a、b 满足√a−2+(b+3)
2=0，则ab 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．6
D．﹣6
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可．
【解答】解：∵√a−2+（b+3）2＝0，√a−2≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
则ab＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是非负数的性质，灵活运用算术平方根、偶次方的非负性是解题的关键．
12．（2026•湖南）已知点P 在数轴上的位置如图所示，则点P 表示的数可能是（ ）
A．4
3
B．√2
C．3
2
D．√5
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据数轴得出点P 表示的数的取值范围，再根据每个选项判断即可．
【解答】解：设点P 表示的数是x，由数轴得2＜x＜3，
4
3 ＜2，√2＜2，3
2 ＜2，2＜√5＜3，
所以点P 表示的数可能是√5，
8
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
13．（2026•山东）下列实数中，比1 大的数是（ ）
A．﹣2
B．0
C．0.5
D．√2
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．﹣2＜1，故不符合题意；
B．0＜1，故不符合题意；
C．0.5＜1，故不符合题意；
D．√2＞1，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正
数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
14．（2026•连云港）如图，数轴上的点A，B，C 分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|c|
B．|b|＞|c|
C．|a|＜|b|
D．|c|＞|a+b|
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由所给数轴可知，
a＜b＜0＜c 且|c|＜|b|＜|a|，
则|c|＜|a+b|，
显然只有B 选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
15．（2026•连云港）已知p=√9+√5，以下对p 的值估算正确的是（ ）
A．3＜p＜4
B．4＜p＜5
C．5＜p＜6
D．6＜p＜7
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
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【分析】由题意得p＝3+√5，利用夹逼法估算即可．
【解答】解：p=√9+√5=3+√5，
∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴5＜3+√5＜6，
即5＜p＜6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
16．（2026•广安）下列比0 小的数是（ ）
A．√3
B．π
C．﹣1
D．1
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．√3＞0，故不符合题意；
B．π＞0，故不符合题意；
C．﹣1＜0，故符合题意；
D．1＞0，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正
数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
17．（2026•泸州）下列四个数中，是整数的是（ ）
A．2026
B．−
1
2026
C．√2026
D．2.026
【考点】实数．菁优网版权所有
【专题】实数；数据观念．
【答案】A
【分析】先判断各个选项中的数是哪种实数，再判断是不是整数即可．
【解答】解：∵2026 不是平方数，
∴√2026不是整数，
∵−
1
2026
是分数，2.026 是小数，2026 是整数，
∴B，C，D 选项不符合题意，A 选项符合题意，
故选：A．
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【点评】本题主要考查了实数，解题关键是熟练掌握实数的有关定义．
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考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0 外，互为相反数的两
个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a 的相反数是﹣a，
m+n 的相反数是﹣（m+n），这时m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a 表示有理数，则数a 绝对值要由字母a 本身的取值来确定：
①当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a；
②当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a 是零时，a 的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
（1）倒数：乘积是1 的两数互为倒数．
一般地，a•1
a =1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1
a
．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重
要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0 没有倒数．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0 时，则其中的每一项都必须等于0．
12
5．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x 叫做a 的算
术平方根．记为√a．
（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以
借助乘方运算来寻找．
6．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出
不等式求解．非负数之和等于0 时，各项都等于0 利用此性质列方程解决求值问题．
7．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2 的平方根
等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，1
3 =0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有
π 的数，如分数π
2
是无理数，因为π 是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如√2，√3，
3√5等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多一个0）．
（3）含有π 的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
8．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数：{
有理数{
正有理数
0
负有理数
无理数{
正无理数
负无理数
或 实数：{
正实数
0
负实数
13
9．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点
与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a 的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0．
（3）实数a 的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，
即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1 的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a 与b 互为倒数，
这里应特别注意的是0 没有倒数．
10．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
11．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个
负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在
原点左侧，绝对值大的反而小．
12．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
13．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊
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三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
14．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到
化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指
数不变．
15．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p= 1
a
p（a≠0，p 为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
16．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°= 1
2
； cos30°= √3
2
；tan30°= √3
3
；
sin45°= √2
2
；cos45°= √2
2
；tan45°＝1；
sin60°= √3
2
；cos60°= 1
2
； tan60°=√3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
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