§2.13 函数与方程的综合应用
重点解读 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质,结
合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等,题目难度较大,一般出现在压轴题位置.
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1 (多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m 的两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是( )
A.当x1>0 且x2>0 时,0<m<1
B.当x1<1 且x2>1 时,m<1
C.当－2<x1<0 且0<x2<4 时,m<－4
5
D.当x1<2 且x2>4 时,m<－4
5
答案 ABD
解析 对于A,由题意得{
x1＋x2＝3-m>0,
x1 x2＝m>0,
Δ＝(m-3)
2- 4 m>0,
解得0<m<1,A 正确；
对于B,f(1)＝2m－2<0,解得m<1,B 正确；
对于C,{
f (-2)＝10-m>0,
f (0)＝m<0,
f (4)＝5m＋4>0,
解得－4
5 <m<0,C 错误；
对于D,{
f (2)＝3m-2<0,
f (4)＝5m＋4<0,解得m<－4
5 ,D 正确.
命题点2 其他函数的零点分布
例2 已知定义在R 上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin
πx 在区间[－1,m]上有10 个零点,则m 的取值范围是( )
A.[3.5,4)
B.(3.5,4]
C.(5,5.5]
D.[5,5.5)
答案 A
解析 由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2 的奇函数,
当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,
因此f(
1
2)＝－log21
2＝1,f(1)＝0,
所以f(0)＝0,f(- 1
2)＝－1,f(－1)＝0,
且g(x)＝sin πx 的周期为T＝2π
π ＝2,
且g(－1)＝0,g(- 1
2)＝－1,g(0)＝0,g(
1
2)＝1,g(1)＝0,
求F(x)＝f(x)－sin πx 的零点个数,
即求f(x)与g(x)图象的交点个数,
如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象,
因为f(x)与g(x)均为周期为2 的周期函数,
因此交点也呈周期出现,
若在区间[－1,m]上有10 个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10 个交点,
则第10 个交点坐标为(3.5,－1),第11 个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m<4.
思维升华 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x 轴的交点个数；
(4)区间端点值.
跟踪训练1 (1)设方程x2－2ax－a＝0 的两实根满足x1<x2<1,则实数a 的取值范围为( )
A.(- 1
3 ,1)
B.(-∞,- 1
3)∪(0,1)
C.(－∞,－1)∪(0, 1
3)
D.(-1, 1
3)
答案 C
解析 设f(x)＝x2－2ax－a,则其图象的对称轴方程为x＝a,
由x1<x2<1 可得{
a<1,
f (1)＝1-3a>0,
Δ＝4 a
2＋4 a>0,
解得a<－1 或0<a<1
3.
(2)已知函数f(x)＝{
4 x＋6, x ≤0,
|ln x|, x>0, 若g(x)＝f(x)－m 恰有3 个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是( )
A.(- 3
2 ,0)
B.(- 3
2 ,0]
C.(－∞,0]
D.(－∞,0)
答案 B
解析 不妨设x1<x2<x3,
由图可知,当0<m≤6 时,直线y＝m 与函数f(x)的图象有三个交点,
且有－3
2<x1≤0,0<x2<1<x3,
由f(x2)＝f(x3),即|ln x2|＝|ln x3|,
得ln x3＝－ln x2,
所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0,
即x2x3＝1,故x1x2x3＝x1∈(- 3
2 ,0].
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例3 (多选)已知函数f(x)＝{
x
2-kx ＋1, x ≤0,
lo g2 x , x>0,
下列关于函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数的说法中,正确的是
( )
A.当k>1 时,有1 个零点
B.当k>1 时,有3 个零点
C.当k<0 时,有9 个零点
D.当k＝－4 时,有7 个零点
答案 AD
解析 由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1,
则函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数即为方程f(f(x))＝－1 解的个数,
设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1 的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝k
2 ,
当k>1 时,y＝x2－kx＋1 在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图,
由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝1
2 ,
由f(x)＝t,得log2x＝1
2 ,解得x＝√2,
因此当k>1 时,函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数是1,A 正确,B 错误；
当k＝－4 时,f(x)＝{
x
2＋4 x＋1, x ≤0,
lo g2 x , x>0,
作出函数f(x)的图象,如图,
由图象知函数f(x)的值域为R,
令t＝f(x),则f(t)＝－1 有3 个根,
当t>0 时,log2t＝－1,解得t＝1
2；
当t≤0 时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2±√2,
当t＝1
2 ,即f(x)＝1
2时,
若x>0,则log2x＝1
2 ,解得x＝√2,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝1
2 ,解得x＝－2±√14
2 ,此时共有3 个解；
当t＝－2＋√2,即f(x)＝－2＋√2时,若x>0,则log2x＝－2＋√2有1 个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋√2,即(x＋2)2＝1＋√2有2 个解,此时共有3 个解；
当t＝－2－√2,即f(x)＝－2－√2时,若x>0,则log2x＝－2－√2有1 个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2－√2,即(x＋2)2＝1－√2<0 无解,此时共有1 个解.
因此当k＝－4 时,函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数是7,D 正确,C 错误.
命题点2 根据复合函数零点求参数
例4 (多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝{
- x
2- 4 x -2, x ≤0,
|ln x|, x>0,
若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m 有5
个不同的零点,则实数m 的值可能是( )
A.－5
B.－6
C.－7
D.－8
答案 CD
解析 令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0,
即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0,
解得f(x)＝1 或f(x)＝m
3 ,
如图,画出函数f(x)的图象,
当f(x)＝1 时,直线y＝1 与y＝f(x)的图象有4 个交点,
所以直线y＝m
3 与y＝f(x)的图象只能有1 个交点,
则m
3 <－2,得m<－6,
结合选项可知,m 的值可能是－7 或－8.
思维升华 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3,…,n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3,…,n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y＝f(g(x))的
零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝{
1＋ln x , x>0,
x
2＋4 x＋3, x ≤0,则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
解析 当x>0 时,由1＋ln x＝0,得x＝1
e ,
当x≤0 时,由x2＋4x＋3＝0,得x＝－1 或x＝－3,
所以f(x)的零点为－3,－1, 1
e ,
令t＝f(x),则t∈R,f(t)＝0 的根分别为t1＝－3,t2＝－1,t3＝1
e ,
结合f(x)的图象可知,方程f(x)＝t1,f(x)＝t2,f(x)＝t3的根的个数分别为1,2,3,故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.
(2)函数f(x)＝{
ln(- x -1), x<-1,
2 x＋1, x ≥-1, 若函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点,则实数a 的取值范围是 .
答案 [－1,＋∞)
解析 设t＝f(x),则t∈R,
令g(x)＝f(f(x))－a＝0,则a＝f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a,y＝f(t)的图象,如图所示.
①当a≥－1 时,直线y＝a 与y＝f(t)的图象有两个交点,
设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),
则t1<－1,t2≥－1.
当t1<－1 时,t1＝f(x)有一个解；
当t2≥－1 时,t2＝f(x)有两个解,
此时g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点,满足题意；
②当a<－1 时,直线y＝a 与y＝f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3,则t3<－1,
此时t3＝f(x)有一个解,不满足题意,
综上所述,当a≥－1 时,函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点.
课时精练
[分值：52 分]
一、单项选择题(每小题5 分,共30 分)
1.若方程－x2＋ax＋4＝0 的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则 a 的取值范围是( )
A.(0,3)
B.[0,3]
C.(－3,0)
D.(－∞,1)∪(3,＋∞)
答案 A
解析 令f(x)＝－x2＋ax＋4,
则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于－1,
由二次函数的图象可知,
{
f (2)>0,
f (-1)>0,即{
-2
2＋a·2＋4>0,
-(-1)
2＋a·(-1)＋4>0,
解得0<a<3.
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝{
3 x
2-12 x＋12, x ≥1,
|3
x -1|, x<1,
若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实
数t 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,3)
D.(1,3)
答案 A
解析 由题意,作出y＝f(x)的大致图象,如图所示,
要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,
即函数y＝f(x)与y＝t 的图象有4 个不同的交点,则0<t<1,
所以实数t 的取值范围是(0,1).
3.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝{
- x
2- x , x ≤0,
ln x , x>0, 函数g(x)＝f(x)－m 有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围
是( )
A.[0, 1
4)
B.[0, 1
e)
C.[0, e
1
4
4 )
D.[0,e]
答案 C
解析 作出函数f(x)的图象如图所示,
不妨设x1<x2<x3,则方程f(x)＝m 有三个不同的根,则0≤m<1
4 ,
当x≤0 时,－x2－x－m＝0,得x2＋x＋m＝0,
则x1·x2＝m；
当x>0 时,ln x3＝m,x3＝em,
则x1·x2·x3＝mem,
设h(m)＝mem(0≤m< 1
4),
则h'(m)＝(m＋1)em>0,
所以h(m)在[0, 1
4)上单调递增,
所以h(m)∈[0, e
1
4
4 ),
即x1·x2·x3的取值范围是[0, e
1
4
4 ).
4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R 的偶函数,当x≥0 时,f(x)＝{(
1
2)
x
,0≤x ≤2,
lo g16 x , x>2,
若关于x 的方程
[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7 个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( )
A.(-2,- 5
4)
B.(－2,－1)
C.(
1
4 ,1)
D.(
1
4 ,＋∞)
答案 A
解析 由题可画出函数f(x)的大致图象,
∵关于x 的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7 个不同的实数根,
设t＝f(x),则t≥1
4 ,结合函数图象,可知方程t2＋at＋b＝0 必有两个根t1,t2,
且t1＝1,t2∈(
1
4 ,1),
∴t1＋t2＝－a∈(
5
4 ,2),
则－2<a<－5
4 ,即a 的取值范围是(-2,- 5
4).
5.已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x),对于任意x∈R,
2
f ( x)- g( x)＝3x恒成立,若函数y＝3f(x)＋
2g(x)＋m 有且仅有两个零点,则实数m 的取值范围为( )
A.(－∞,－2√5)
B.(0,2√3)
C.(2√3,2√5)
D.(2√5,＋∞)
答案 A
解析 由
2
f ( x)- g( x)＝3x可得f(x)－g(x)＝2×3－x,
①
所以f(－x)－g(－x)＝2×3x,
因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(x)＋g(x)＝2×3x,
②
由①②,可得f(x)＝3x＋3－x,g(x)＝3x－3－x,
所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m,
令y＝0,上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0,
令t＝3x(t>0),方程可化为5t2＋mt＋1＝0,
因为函数t＝3x是增函数,若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m 有且仅有两个零点,
只需要方程5t2＋mt＋1＝0 有两个不相等的正实数根,记为t1,t2.
有{
Δ＝m
2-20>0,
t1＋t2＝-m
5 >0,
t1t2＝1
5 >0,
解得m<－2√5,
故所求实数m 的取值范围为(－∞,－2√5).
6.已知函数f(x)＝{
2
x＋2
2
, x ≤1,
|lo g2( x -1)|, x>1,
则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－3
2的零点个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 A
解析 令t＝f(x),则t≥0,
若F(x)＝0,则f(t)－2t－3
2＝0,
作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋3
2 ,由图象可得有两个交点,设横坐标分别为t1,t2,t1<t2,
∴t1＝0,t2∈(1,2).
当f(x)＝t1时,有x＝2,即有一解；当f(x)＝t2时,有三个解,
综上,F(x)＝0 共有4 个解,
即函数F(x)有4 个零点.
二、多项选择题(每小题6 分,共12 分)
7.已知x1,x2是关于x 的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,则下列说法正确的有( )
A.若1
x1
＋1
x2
＝2,则a＝2
B.若x1<1<x2,则a>3
2
C.若0<α<β<π
2 ,且x1＝tan α,x2＝tan β,则α＋β 为锐角
D.若x1,x2均小于2,则a∈(－∞,－√2)∪(√2, 3
2)
答案 ABD
解析 ∵x1,x2是关于x 的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,
∴Δ＝4a2－8>0,∴a>√2或a<－√2.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2a,x1x2＝2,
∵1
x1
＋1
x2＝2,
则2x1x2＝x1＋x2,∴4＝2a,
∴a＝2,故A 正确；
令f(x)＝x2－2ax＋2,若x1<1<x2,
则f(1)<0,得a>3
2 ,故B 正确；
若0<α<β<π
2 ,且x1＝tan α,x2＝tan β,则x1＋x2>0,
由{
Δ>0,
2a>0,得a>√2,
∵tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β ＝2a
1-2＝－2a<－2√2,
又∵α＋β∈(0,π),
∴α＋β 为钝角,故C 不正确；
若x1,x2均小于2,则{
f (2)>0,
Δ>0,
a<2,
即{
4 - 4 a＋2>0,
4 a
2-8>0,
a<2,
∴a∈(－∞,－√2)∪(√2, 3
2),故D 正确.
8.已知函数f(x)＝{
e|x -2|, x>0,
- x
2-2 x＋1, x ≤0,则下列结论正确的是( )
A.函数y＝f(x)－x 有2 个零点
B.若函数y＝f(x)－t 有4 个零点,则t 的取值范围为(1,2)
C.若关于x 的方程f(x)＝t 有4 个不相等的实根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝1
D.若关于x 的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0 有8 个不相等的实根,则α 的取值范围为(2, 9
4)
答案 BD
解析 函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2 对称,函数y＝－x2－2x＋1 的图象开口向下,关于直线x＝－1 对称,
当x≥2 时,f(x)＝ex－2单调递增,当0<x<2 时,f(x)＝e2－x单调递减,
当x<－1 时,f(x)＝－x2－2x＋1 单调递增,当－1≤x≤0 时,f(x)＝－x2－2x＋1 单调递减,
函数y＝f(x)－x 的零点,即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x 交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x,如图1,
观察图象知,函数y＝f(x)的图象与直线y＝x 有3 个交点,因此函数y＝f(x)－x 有3 个零点,A 错误；
函数y＝f(x)－t 的零点,即方程f(x)＝t 的根,亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t 交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t,如图2,
观察图象知,当1<t<2 时,函数y＝f(x)的图象与直线y＝t 有4 个交点,
因此函数y＝f(x)－t 有4 个零点,则t 的取值范围为(1,2),B 正确；
若关于x 的方程f(x)＝t 有4 个不相等的实根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4,如图2,
显然有x1＋x2＝－2,x3＋x4＝4,因此x1＋x2＋x3＋x4＝2,C 错误；
令f(x)＝m,由选项B 知,当且仅当m∈(1,2)时,方程f(x)＝m 有4 个不相等的实根,
要关于x 的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0 有8 个不相等的实根,
则当且仅当方程m2－3m＋α＝0 在(1,2)上有2 个不相等的实根,
则{
Δ＝9- 4 α >0,
f (1)＝α -2>0,
f (2)＝α -2>0,
解得2<α<9
4 ,
所以α 的取值范围是(2, 9
4),D 正确.
三、填空题(每小题5 分,共10 分)
9.若方程x2－mx－m＋3＝0 满足一个根在(0,1)之间,一个根在(1,2)之间,则实数m 的取值范围为 .
答案 (2, 7
3)
解析 设f(x)＝x2－mx－m＋3,
由题意可得{
f (0)＝3-m>0,
f (1)＝4 -2m<0,
f (2)＝7 -3m>0,
解得2<m<7
3.
因此,实数m 的取值范围是(2, 7
3).
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝{
|3
x -1|, x ≤2,
x
2-10 x＋24 , x>2,若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0 有6 个不相等的实根,则非
零实数m 的取值范围为 .
答案 [2,16)
解析 函数f(x)＝{
|3
x -1|, x ≤2,
x
2-10 x＋24 , x>2的图象如图,且f(2)＝8,
由2[f(x)]2－mf(x)＝0,可得f(x)＝0 或f(x)＝m
2 ,
由图象可知方程f(x)＝0 有3 个不相等的实根,
又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0 有6 个不相等的实根,
则f(x)＝m
2 有3 个不相等的实根,
所以m
2 ∈[1,8),解得m∈[2,16).
