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§8.2 两条直线的位置关系
分值：96 分
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知直线l1：x+(a-1)y-3=0 与直线l2：x+2y+3=0 相互垂直，则a 的值为( )
A.1
2
B.1
C.3
D.-1
2
2.“m=-3”是“直线2x+(m+1)y+4=0 与直线mx+3y-2=0 平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.与直线2x+3y+1=0 平行且过点(0，1)的直线方程是( )
A.2x+3y-3=0
B.3x+2y-2=0
C.2x-3y+3=0
D.3x-2y+2=0
4.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程
为( )
A.x-y-3=0
B.x+y-7=0
C.x-y+3=0
D.x+y-3=0
5.若曲线y=f(x)=2sin x+2 025 在点(
π
3 ，f(
π
3))处的切线与直线y=ax+2 025 垂直，则实数a 等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
6.已知直线l：x+my-2m-1=0，则点P(2，-1)到直线l 距离的最大值为( )
A.√5
B.√10
C.5
D.10
7.(2025·大同模拟)已知实数a，b，c，d 满足3a-4b+3=0，3c-4d-7=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.过定点A 的动直线x+ky=0 和过定点B 的动直线kx-y-2k+1=0 交于点M，则|MA|+|MB|的最大值是( )
A.2√2
B.3
C.√10
D.√15
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.已知直线l：√3x-y+1=0，则下列结论正确的是( )
A.直线l 过第一、三、四象限
B.过点(√3，1)与直线l 平行的直线的方程是√3x-y-2=0
C.直线√3x-y+2=0 到直线l 的距离为1
2
D.若直线m：x-√3y+1=0，则l⊥m
10.对于直线l1：ax+2y+3a=0，l2：3x+(a-1)y+3-a=0，则( )
A.l1∥l2的充要条件是a=3 或a=-2
B.当a=2
5时，l1⊥l2
C.直线l2经过第二象限内的某定点
D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为3√2
11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x-y+3=0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1-m，m)，m∈R，下列说法正确的是(
)
A.点P 到直线l 的距离为4√5
5
B.若点P 与点Q 位于直线l 的两侧，则m>5
3
C.点P 与点Q 之间距离的最小值为√2
D.|QR|+|QP|的最小值为2
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.经过点P(1，0)和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0 交点的直线方程为 .
13.若l1：2x+ay-2=0 与l2：x-y+a=0 平行，则两直线之间的距离为 .
14.请运用数形结合的思想，得出函数y=√x
2- 4 x +53-√x
2-8 x +25的最大值为 .
15~17 题每小题6 分，18 题5 分，共23 分
15.(多选)若直线m 被两平行直线l1：x-√3y+√3=0 与l2：x-√3y+3√3=0 所截得的线段长为√6，则直线m 的
倾斜角可以是( )
A.30°
B.75°
C.135°
D.165°
16.(多选)直线l：ax＋by＋c＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，m＝
a x1＋b y1＋c
a x2＋b y2＋c ，下列选项中正确的有 ( )
A.若m>1，则l 与直线PQ 相交
B.若m＝1，则l 与直线PQ 平行
C.若m＝－1，则l 与直线PQ 垂直
D.存在实数m，使得点Q 在直线l 上
17.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，
N)=|x1-x2|+|y1-y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s=a2+b2+2a+4b，则( )
A.若d(A，B)=1，则s 有最小值8
B.若d(A，B)=1，则点A 的轨迹是一个正方形
C.若d(A，B)≤1，则s 有最大值15
D.若d(A，B)≤1，则点A 的轨迹所构成区域的面积为π
18.(2024·曲靖模拟)设M，N 是同一平面上的两个区域，点P∈M，点Q∈N，P，Q 两点间距离的最小值叫
做区域M，N 间的距离，记作d(M，N).若M＝{(x，y)|ex－y＋2 024＝0}，N＝{(x，y)|ln(x－2 024)－y＝0}，
则d(M，N)＝ .
答案精析
1.A 2.A 3.A
4.A [运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x 轴的对称点为(1，-2)，又(1，-2)与(5，2)在同一条直线上，
运用两点式得到入射光线所在的直线方程为y -2
-2-2 = x -5
1-5 ，整理得x-y-3=0.则入射光线所在的直线方程为x-
y-3=0.]
5.B [函数f(x)=2sin x+2 025，求导得f'(x)=2cos x，因此曲线在点(
π
3 ，f(
π
3))处的切线斜率为k=f'(
π
3)
=1，而切线与直线y=ax+2 025 垂直，所以a=-1
k =-1.]
6.B [直线l：x+my-2m-1=0，
即x-1+m(y-2)=0，
由{
x -1=0,
y -2=0,得{
x =1,
y =2,
所以直线l 过定点A(1，2)，
当直线l 垂直于直线AP 时，距离最大，此时最大值为|AP|=√(2-1)
2+(-1-2)
2=√10.]
7.D [由题意得，点A(a，b)在直线3x-4y+3=0 上，点B(c，d)在直线3x-4y-7=0 上，两直线平行，所以(a-
c)2+(b-d)2的最小值为两平行线间距离的平方，即[
|3+7|
√3
2+(- 4)
2]
2
=4.]
8.C [由题意知x+ky=0 过定点A(0，0)，
动直线kx-y-2k+1=0，即k(x-2)-y+1=0 过定点B(2，1)，
对于直线x+ky=0 和动直线kx-y-2k+1=0 满足1×k+k×(-1)=0，
故两直线垂直，
因此点M 在以AB 为直径的圆上(除去点(2，0))，|AB|=√2
2+1
2=√5，
则|MA|2+|MB|2=5，
所以(|MA|+|MB|)2=|MA|2+|MB|2+2|MA||MB|≤2(|MA|2+|MB|2)=10，
当且仅当|MA|=|MB|=√10
2 时，等号成立，
故|MA|+|MB|的最大值为√10.]
9.BC [直线l 过第一、二、三象限，故A 错误；
设过点(√3，1)且与直线l 平行的直线的方程为√3x-y+t=0(t≠1)，由于点(√3，1)满足该直线，代入得
t=-2，所以所求的直线方程为√3x-y-2=0，故B 正确；
由于直线l：√3x-y+1=0 与直线√3x-y+2=0 平行，故两直线间的距离d=
|2-1|
√(√3)
2+(-1)
2=1
2 ，故C 正确；
直线l 的斜率为kl=√3，直线m 的斜率为km=√3
3 ，因为klkm≠-1，所以直线l 和直线m 不垂直，故D 错误.]
10.ABC [若l1∥l2，则a(a-1)-6=0，解得a=3 或a=-2，经检验，符合题意，所以a=3 或a=-2，所以l1∥l2的
充要条件是a=3 或a=-2，故A 正确；
当a=2
5时，3a+2(a-1)=6
5-6
5=0，所以l1⊥l2，故B 正确；
由l2：3x+(a-1)y+3-a=0，
得(y-1)a+3x-y+3=0，令{
y -1=0,
3 x - y +3=0,解得{
x =- 2
3 ,
y =1,
所以直线l2经过定点(- 2
3 ，1)，位于第二象限，故C
正确；
由l1：ax+2y+3a=0，得(x+3)a+2y=0，令{
x +3=0,
2 y =0, 解得{
x =-3,
y =0, 所以直线l1过定点M(-3，0)，当PM⊥l1时，
点P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为|PM|=√(-3-1)
2+(0-3)
2=5，故D 错误.]
11.ABD [点P 到直线l 的距离d=
|2-1+3|
√2
2+(-1)
2=4√5
5
，A 选项正确；
将点P(1，1)代入直线方程得2-1+3=4>0，又点P 与点Q 位于直线l 的两侧，则将点Q(1-m，m)代入直线方
程得2-2m-m+3<0，即m>5
3 ，B 选项正确；
|PQ|=√[1-(1-m)]
2+(1-m)
2=√2m
2-2m+1=√
2(m- 1
2)
2
+ 1
2 ≥√2
2 ，C 选项错误；
∵1-m+m=1，∴点Q 在直线l1：x+y-1=0 上，斜率k=-1，过点P 作直线l'⊥l1于点D，如图所示，
则l'：x-y=0，
联立方程组{
x + y -1=0,
x - y =0,
解得x=y=1
2 ，即D(
1
2 ，1
2)，
∴点P 关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR 与l1的交点为Q，此时|QR|+|QP|最小，
则(|QR|+|QP|)min=|OR|=2，D 选项正确.]
12.x+y-1=0
解析 设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0，点P(1，0)在直线上，
∴1-2+λ(3+2)=0，解得λ=1
5 ，
∴所求直线方程为x+2y-2+1
5×(3x-2y+2)=0，即x+y-1=0.
13.√2
2
解析 ∵直线l1与l2平行，
∴2
1= a
-1 ≠-2
a ，解得a=-2，
∴直线l1：x-y-1=0，
直线l2：x-y-2=0，
∴直线l1与l2之间的距离
d=|-1-(-2)|
√1+1
=√2
2 .
14.2√5
解析 因为y=√x
2- 4 x +53-√x
2-8 x +25=√( x -2)
2+ 49-√( x - 4)
2+9，
所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示，
因为|PA|-|PB|≤|AB|=√(2- 4)
2+(7 -3)
2=2√5，
当且仅当P，B，A 三点共线时，等号成立，所以y=√x
2- 4 x +53-√x
2-8 x +25的最大值为2√5.
15.BD [设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为α，
两平行直线l1：x-√3y+√3=0 与l2：x-√3y+3√3=0 的距离为d=|√3-3√3|
√1
2+(-√3)
2=√3，
因为直线m 被两平行直线l1与l2所截得的线段长为√6，所以sin α=√3
√6=√2
2 ，
所以α=45°，
因为直线l1的斜率为k=√3
3 ，倾斜角为30°，所以直线m 的倾斜角可以是75°或165°，如图所示.]
16.AB [若m>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，或ax1＋by2＋c<ax2＋by2＋c<0，即点P，Q 在直线l 的同
侧，且直线l 与直线PQ 不平行，故A 正确；
若m＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，即a(x2－x1)＋b(y2－y1)＝0，若b＝0，则x1＝x2，过P，Q 两点的直
线与直线l 的斜率都不存在，故两直线平行，若b≠0，则
y2- y1
x2- x1
＝－a
b，所以kPQ＝kl，即直线PQ 与直线l
平行，故B 正确；
因为|m|＝|a x1＋b y1＋c|
|a x2＋b y2＋c|＝
|a x1＋b y1＋c|
√a
2＋b
2
|a x2＋b y2＋c|
√a
2＋b
2
，
即|m|为P，Q 两点到直线l 的距离的比值，若m＝－1，则|m|＝1，即P，Q 两点到直线l 的距离相等，且点
P，Q 在直线l 两侧，但l 与直线PQ 不一定垂直，故C 不正确；
若点Q 在直线l 上，则ax2＋bx2＋c＝0，结合题设及分母不为0，所以不存在实数m，使点Q 在直线l 上，
故D 不正确.]
17.BC [对于B，若d(A，B)=1，由题意可知d(A，B)=|a-1|+|b-1|=1，令x=a-1，y=b-1，
则|x|+|y|=1，作出其图象如图.
易知，点A(a，b)的轨迹可由正方形|x|+|y|=1 向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到，故B
正确；
对于A，s=a2+b2+2a+4b
=(x+1)2+(y+1)2+2(x+1)+4(y+1)=x2+y2+4x+6y+8
=(x+2)2+(y+3)2-5，
结合图象可得√( x +2)
2+( y +3)
2的最小值即为点(-2，-3)到直线x+y+1=0(即点(0，-1))的距离|-2-3+1|
√2
=2
√2，此时s 取得最小值3，故A 错误；
对于C，√( x +2)
2+( y +3)
2的最大值即为点(-2，-3)到点(1，0)，(0，1)的距离中的最大值，max{3√2，2
√5}=2√5，故s 的最大值为15，故C 正确；
对于D，若d(A，B)≤1，则|x|+|y|≤1 表示正方形及其内部区域，易知其面积为1
2×2×2=2，故D 错误.]
18.2 025√2
解析 方法一 d(M，N)表示函数y＝ex＋2 024 图象上的动点P 与函数y＝ln(x－2 024)图象上的动点Q 的距
离的最小值，即|PQ|min.
y＝ex＋2 024⇔ex＝y－2 024⇔x＝ln(y－2 024)，
互换x，y 得y＝ln(x－2 024)，
因此y＝ex＋2 024 与y＝ln(x－2 024)互为反函数，
它们的图象关于直线y＝x 对称，
则|PQ|min恰好等于函数y＝ex＋2 024 图象上的动点P(x，y)到直线y＝x 的距离的最小值的2 倍.
点P(x，y)到直线y＝x 的距离
d＝|x - y|
√2
＝√2
2 |ex－x＋2 024|，
设f(x)＝ex－x＋2 024，则f'(x)＝ex－1，
当x<0 时，f'(x)<0；当x>0 时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝2 025，
所以dmin＝2 025√2
2
，|PQ|min＝2 025√2，
所以d(M，N)＝2 025√2.
方法二 函数y＝ex与y＝ln x 互为反函数，
函数y＝ex图象上任意点与y＝ln x 图象上任意点之间的距离的最小值恰好等于点(0，1)与(1，0)之间的距离，
y＝ex的图象向上平移2 024 个单位长度得到y＝ex＋2 024 的图象，
y＝ln x 的图象向右平移2 024 个单位长度得到y＝ln (x－2 024)的图象.
从而d(M，N)就等于点(0，2 025)与点(2 025，0)之间的距离，故d(M，N)＝2 025√2.
