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§8.2 两条直线的位置关系
课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平
面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4
是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
垂直
相交
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|= .
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|= .
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0 的距离d= .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax+By+C1=0 与l2：Ax+By+C2=0 间的距离d= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(4)若点A，B 关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB 的斜率等于-1
k ，且线段AB 的中点在直线l 上.(
)
2.若直线2x+my+1=0 与直线3x+6y-1=0 平行，则m 等于( )
A.4
B.-4
C.1
D.-1
3.两平行直线l1：x-2y-√10=0，l2：4y-2x-3√10=0 之间的距离为( )
A.5√2
2
B.3
C.√5
D.2√2
4.已知直线2x+3y+1=0 和x-3y+4=0 相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直
于直线3x+4y-7=0 的直线方程为 .
1.三种常见的直线系
(1)与直线Ax+By+C=0 平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C≠C1)；
(2)与直线Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0；
(3)过直线A1x+B1y+C1=0 与直线A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线
A2x+B2y+C2=0).
2.谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(多选)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0 和直线l2：A2x+B2y+C2=0，则下列说法正确的是( )
A.若A2=0，则l2表示与x 轴平行或重合的直线
B.直线l1可以表示任意一条直线
C.若A1B2-A2B1=0，则l1∥l2
D.若A1A2+B1B2=0，则l1⊥l2
(2)数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重
心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为A(0，2)，B(-1，0)，
C(4，0)，则△ABC 的欧拉线方程为( )
A.4x-3y-6=0
B.3x+4y+3=0
C.4x+3y-6=0
D.3x+4y-3=0
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(多选)△ABC 的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(
)
A.边BC 与直线3x-2y+1=0 平行
B.边BC 上的高所在的直线方程为3x+2y-12=0
C.过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0
D.过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D(3，5)
(2)已知直线l1：ax-y-1=0，l2：ax-(a-2)y-1=0，若l1∥l2，则a= .
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)过两条直线l1：x+2y-4=0，l2：2x-y-3=0 的交点，且与直线x+3y+1=0 垂直的直线的方程为(
)
A.3x-y-5=0
B.6x-2y-3=0
C.x-3y+3=0
D.3x+y-7=0
(2)当点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程
分别为( )
A.√13；3x+2y-5=0
B.√11；3x+2y-5=0
C.√13；2x-3y+1=0
D.√11；2x-3y+1=0
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x=a 的距离d=|x0-a|，到直线y=b 的距离d=|y0-b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
跟踪训练2 已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕点A，B 旋转，两平行线之
间的距离的最大值为 ，此时两平行直线方程分别为 .
题型三 对称问题
例3 已知直线l：x+2y-2=0，试求：
(1)点P(-2，-1)关于直线l 的对称点坐标；
(2)直线l1：y=x-2 关于直线l 对称的直线l2的方程；
(3)直线l 关于点M(1，1)对称的直线l'的方程.
思维升华 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
跟踪训练3 已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A'的坐标；
(2)直线m：3x-2y-6=0 关于直线l 对称的直线m'的方程；
(3)直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.
答案精析
落实主干知识
1.k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 k1≠k2 A1B2-
A2B1≠0
2.(1)②√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2
③√x
2+ y
2 (2)
|A x0+ B y0+ C|
√A
2+ B
2
(3)
|C1-C2|
√A
2+ B
2
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.A 3.A
4.(- 5
3 ，7
9) 4x-3y+9=0
探究核心题型
例1 (1)ABD [当A2=0 时，l2的斜率为0，与x 轴平行或重合，故A 正确；
当B1=0 时，l1的斜率不存在，当B1≠0 时，l1的斜率存在，能表示任意直线，故B 正确；
若A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0 或B1C2-B2C1≠0，则l1∥l2，故C 错误；
若B1B2≠0，则由A1A2+B1B2=0 可得斜率之积为-1，故l1⊥l2，若B1=0(B2=0)，可得A2=0(A1=0)，此时满足
A1A2+B1B2=0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D 正确.]
(2)C [因为△ABC 的顶点分别为A(0，2)，B(-1，0)，C(4，0)，
所以△ABC 的重心为G(1，2
3)，
因为kAB=2，kAC=-1
2 ，
所以kAB·kAC=-1，所以AB⊥AC，
所以△ABC 的外心为BC 的中点D(
3
2 ，0)，
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD，
所以△ABC 的欧拉线方程为
y -0
2
3 -0=
x - 3
2
1- 3
2
，即4x+3y-6=0.]
跟踪训练1 (1)BD [直线BC 的斜率为k=7-3
6-0=2
3 ，而直线3x-2y+1=0 的斜率为3
2 ，两直线不平行，A 错
误；
边BC 上的高所在直线斜率为-3
2 ，直线方程为y=-3
2(x-4)，即3x+2y-12=0，B 正确；
过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y-13=0，过原点时方程为7x-6y=0，C 错误；
过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 的中点，中点坐标为(3，5)，D 正确.]
(2)0
解析 ①当a=0 时，l1：y=-1，
l2：y=1
2 ，l1∥l2；
②当a≠0 时，若l1∥l2，则a-2=1，可得a=3，l1与l2重合，不符合题意，故a=0.
例2 (1)A [由{
x +2 y - 4 =0,
2 x - y -3=0,
得{
x =2,
y =1,
设与直线x+3y+1=0 垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则3×2-1+m=0，得m=-5，
所以所求直线方程为3x-y-5=0.]
(2)A [将直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)变形得x+y-2+λ(3x+y-4)=0，
由{
x + y -2=0,
3 x + y - 4 =0,
解得{
x =1,
y =1,
因此直线l 过定点A(1，1)，
当AP⊥l 时，点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大，最大值为|AP|=
√(-2-1)
2+(-1-1)
2=√13，
又直线AP 的斜率kAP=-1-1
-2-1 =2
3 ，
则直线l 的斜率为-3
2 ，
所以此时直线l 的方程为y-1=-3
2(x-1)，即3x+2y-5=0.]
跟踪训练2 3√10
3x+y-20=0 和3x+y+10=0
解析 两条平行直线分别过点A(6，2)，B(-3，-1)，并且各自绕点A，B 旋转，
当AB 与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，|AB|=√(6+3)
2+(2+1)
2=3√10，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3√10，
∵直线AB 的斜率kAB=2+1
6+3=1
3 ，
故这两条平行直线的斜率为-3，
则两平行直线方程分别为y-2=-3(x-6)，y+1=-3(x+3)，
即3x+y-20=0 和3x+y+10=0.
例3 解 (1)设点P(-2，-1)关于直线l 的对称点为Q(x，y)，
则{
y +1
x +2 =2,
x -2
2
+2· y -1
2
-2=0,
解得{
x = 2
5 ,
y = 19
5 ,
所以对称点Q 的坐标为(
2
5 ，19
5 ).
(2)由{
x +2 y -2=0,
y = x -2,
解得{
x =2,
y =0,即直线l 与l1的交点为A(2，0)，
点E(0，-2)是直线l1上的点，设它关于直线l 的对称点为B(x1，y1)，
则{
y1+2
x1
=2,
x1
2 +2· y1-2
2
-2=0,
解得{
x1= 12
5 ,
y1= 14
5 ,
即B(
12
5 ，14
5 )，
kAB=
14
5
12
5 -2
=7，
所以直线l2的方程为y=7(x-2)，
即7x-y-14=0.
(3)方法一 在直线l：x+2y-2=0 上任取两点，
如A(2，0)，C(0，1)，
则A，C 关于点M(1，1)的对称点A'，C'均在直线l'上，
易得A'(0，2)，C'(2，1)，
所以直线l'的方程为y-2=1-2
2-0x，
即x+2y-4=0.
方法二 设直线l 关于点M(1，1)对称的直线l'的方程为x+2y+m=0，m≠-2，
由|1+2-2|
√5
=|1+2+ m|
√5
，解得m=-2(舍去)或m=-4，所以直线l'的方程为x+2y-4=0.
跟踪训练3 解 (1)设A'(x，y)，
由已知条件得
{
y +2
x +1 × 2
3 =-1,
2× x -1
2
-3× y -2
2
+1=0,
解得{
x =- 33
13 ,
y = 4
13 .
所以A'(- 33
13 ，4
13).
(2)在直线m 上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
{
2× a+2
2
-3× b+0
2
+1=0,
b-0
a-2 × 2
3 =-1,
得M'(
6
13 ，30
13).
设直线m 与直线l 的交点为Q，
由{
2 x -3 y +1=0,
3 x -2 y -6=0,得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为
y -3
30
13 -3=
x - 4
6
13 - 4
，
即9x-46y+102=0.
(3)方法一 在l：2x-3y+1=0 上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q 关于点A(-1，-2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(-3，-5)，Q'(-6，-7)，
所以l'的方程为y +5
-7+5 = x +3
-6+3 ，
即2x-3y-9=0.
方法二 因为l∥l'，所以设l'的方程为2x-3y+C=0(C≠1).
因为点A(-1，-2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得
|-2+6+ C|
√2
2+(-3)
2 =
|-2+6+1|
√2
2+(-3)
2 ，
得C=-9，
所以l'的方程为2x-3y-9=0.
