§6.5 数列求和(一)
课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、倒序相加求和等几种常见
的求和方法.
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和.
①等差数列的前n 项和公式：
Sn=n(a1+an)
2
=na1+n(n-1)
2
d.
②等比数列的前n 项和公式：
Sn={
na1,q =1,
a1(1-q
n)
1-q
= a1-anq
1-q
,q≠1.
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分
别求和后相加减.
(3)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项
合并求解.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比q 不等于1，则其前n 项和Sn=a1-an+1
1-q
.( √ )
(2)求数列{2n+2n}的前n 项和可用分组求和法.( √ )
(3)1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1).( √ )
(4)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=45.( × )
2.已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n(n+1)，则a1+a2+a3+…+a10等于( )
A.-55
B.-5
C.5
D.55
答案 C
解析 因为an=(-1)n(n+1)，
所以a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
=-(2+4+6+8+10)+(3+5+7+9+11)
=5.
3.数列11
2，31
4 ，51
8，7 1
16，…，(2n-1)+ 1
2
n，…的前n 项和Sn等于( )
A.n2+1- 1
2
n
B.2n2-n+1- 1
2
n
C.n2+1- 1
2
n-2
D.n2-n+1- 1
2
n
答案 A
解析 可得Sn=1+3+5+…+(2n-1)+1
2+ 1
2
2+ 1
2
3+…+ 1
2
n=n(1+2n-1)
2
+
1
2(1- 1
2
n)
1- 1
2
=n2+1- 1
2
n.
4.(2025·重庆模拟)若数列{an}的前n 项和为Sn，且an+1+an=2n，则S10= .
答案 682
解析 a2+a1=21，a4+a3=23，a6+a5=25，a8+a7=27，a10+a9=29，所以S10=21+23+25+27+29=2×(1- 4
5)
1- 4
=682.
题型一 分组求和
例1 (2024·杭州统考)已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且满足8Sn=an
2+4an+4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn={
2
n-1,n 为奇数,
1
2 an-1,n 为偶数,数列{bn}的前n 项和为Tn，求T2n.
解 (1)∵8Sn=an
2+4an+4，
①
∴当n≥2 时，8Sn-1=an-1
2
+4an-1+4，
②
①-②整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0，n≥2，
∵数列{an}是正项数列，∴an-an-1=4，n≥2，
当n=1 时，由8S1=a1
2+4a1+4，可得a1=2.
∴数列{an}是以2 为首项，4 为公差的等差数列，
∴an=4n-2.
(2)由题意知bn={
2
n-1,n 为奇数,
2n-3,n 为偶数,
故T2n=(1+22+24+…+22n-2)+(1+5+9+…+4n-3)
=1×(1- 4
n)
1- 4
+n(1+ 4 n-3)
2
=4
n-1
3
+2n2-n.
思维升华 分组求和法常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n
项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn={
an,n 为奇数,
bn,n 为偶数,其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求
和法求数列{cn}的前n 项和.
跟踪训练1 (2024·唐山模拟)已知数列{an}是正项等比数列，其前n 项和为Sn，且a2a4=16，
S5=S3+24.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an+log2an}的前n 项和为Tn，求满足Tn<2 024 的最大整数n.
解 (1)设数列{an}的公比为q，则an=a1qn-1，
因为an>0，所以q>0，
依题意可得{
a3= 4 ,
a4+a5=24 ,即{
a1q
2= 4 ,
a1q
3+a1q
4=24 ,
整理得q2+q-6=0，
解得q=2 或q=-3(舍去)，
所以an=a3qn-3=2n-1.
(2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1，
故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)
=2n-1+n(n-1)
2
.
显然Tn随着n 的增大而增大，
T10=210-1+45=1 068<2 024，
T11=211-1+55=2 102>2 024，
所以满足Tn<2 024 的最大整数n=10.
题型二 并项求和
例2 (2024·南京模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn=2n+λ(n∈N*，λ∈R).
(1)求λ 的值，并写出数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(-1)nlog2a2n+1，求数列{bn}的前100 项和T100.
解 (1)由Sn=2n+λ，知当n=1 时， a1=2+λ.
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n+λ-2n-1-λ=2n-1.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1=2+λ 适合an=2n-1，
所以λ=-1，an=2n-1.
(2)由an=2n-1，
则bn=(-1)nlog2a2n+1=(-1)n2n，
方法一 T100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)
=2×(-1-3-…-99)+2×(2+4+…+100)
=2×50×(-1-99)
2
+2×50×(2+100)
2
=100.
方法二 T100=(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+b6)+…+(b99+b100)
=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-198+200)
=2×50=100.
延伸探究 本题(2)，题干不变，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 因为bn=(-1)nlog2a2n+1=(-1)n2n，
当n 为偶数时，Tn=b1+b2+b3+…+bn=
(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]=2×n
2=n；
当n 为奇数时，Tn=T n+1-bn+1=n+1-2(n+1)=-n-1，
综上，Tn={
n,n 为偶数,
-n-1,n 为奇数.
思维升华 并项求和法常见题型
(1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，求数列{an}的前n 项和.
(2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n 项和.
跟踪训练2 (2024·莆田模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，公差d≠0，且a2，a4，a8成等比
数列，S5=15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(-1)nan
2，求数列{bn}的前30 项和T30.
解 (1)由题意可得{
S5=5a3=15,
a4
2 =a2a8,
即{
a1+2d =3,
(a1+3d)
2=(a1+d )(a1+7 d ),
且d≠0，解得a1=d=1，
所以数列{an}的通项公式为an=1+n-1=n.
(2)由(1)可得bn=(-1)n·n2，
可得T30=b1+b2+…+b30=-12+22-32+42-…-292+302
=(-12+22)+(-32+42)+…+(-292+302)=(1+2)+(3+4)+…+(29+30)
=30×(1+30)
2
=465.
课时精练
(分值：50 分)
1.(12 分)已知数列{an}，{bn}中，a1=4，b1=-2，{an}是公差为1 的等差数列，数列{an+bn}是公比为2 的等比
数列.
(1)求数列{bn}的通项公式；(6 分)
(2)求数列{bn}的前n 项和Tn.(6 分)
解 (1)由题意，可得an=4+(n-1)×1=n+3，
∵数列{an+bn}是公比为2 的等比数列，且a1+b1=4-2=2，
∴an+bn=2·2n-1=2n，
∴bn=2n-an=2n-n-3，n∈N*.
(2)由(1)知bn=2n-(n+3)，
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(21-4)+(22-5)+(23-6)+…+[2n-(n+3)]
=(21+22+23+…+2n)-[4+5+6+…+(n+3)]
=2(1-2
n)
1-2
-(n+7)n
2
=2n+1-n
2
2 -7n
2 -2.
2.(12 分)(2025·太原模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，前n 项和为Sn，且a3a6=-5，S8=-16.
(1)求数列{an}的通项公式；(6 分)
(2)若bn={
an,n=2k -1,
2
n,n=2k
(k∈N*)，求数列{bn}的前2n 项和T2n.(6 分)
解 (1)因为a3a6=-5，S8=-16，
所以{
(a1+2d )(a1+5d)=-5,
8a1+ 8×(8-1)
2
d =-16,
解得{
a1=-9,
d =2 或{
a1=5,
d =-2,
因为d>0，所以{
a1=-9,
d =2, 则an=a1+(n-1)d=2n-11.
(2)由(1)可得bn={
2n-11,n=2k -1,
2
n,n=2k
(k∈N*)，
所以T2n=[-9-5-1+3+7+…+(4n-13)]+(22+24+26+…+22n)
=n[-9+(4 n-13)]
2
+2
2(1-2
2n)
1-2
2
=2n2-11n+4
n+1- 4
3
.
3.(13 分)(2024·南通模拟)设数列{an}的前n 项和为Sn，若Sn-1
2an=n2+1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并证明：数列{an+an+1}是等差数列；(7 分)
(2)求S20.(6 分)
解 (1)当n=1 时，由条件得a1-1
2a1=2，所以a1=4.
当n=2 时，由条件得(a1+a2)-1
2a2=5，
所以a2=2.
因为Sn-1
2an=n2+1，
所以Sn-1-1
2an-1=(n-1)2+1(n≥2)，
两式相减得an-1
2an+1
2an-1=2n-1，
即an+an-1=4n-2，
所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知an+an+1=4(n+1)-2=4n+2，
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=(4×1+2)+(4×3+2)+…+(4×19+2)=10×(6+78)
2
=420.
4.(13 分)(2024·安康模拟)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1=1，nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.
(1)求数列{an}的通项公式；(7 分)
(2)若bn=(-1)nan+[(-1)n+1]2n，求数列{bn}的前2n 项和T2n.(6 分)
解 (1)由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n，
可得nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1)，
所以Sn+1
n+1-Sn
n =1，
又由a1=1，所以S1
1 =a1
1 =1，
所以数列{
Sn
n }是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以Sn
n =1+(n-1)×1=n，则Sn=n2，
当n≥2 时，Sn-1=(n-1)2，
所以Sn-Sn-1=an=n2-(n-1)2=2n-1，
又当n=1 时，a1=1 满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1)可知，当n 为奇数时，bn=-an=1-2n；
当n 为偶数时，bn=an+2×2n=2n-1+2n+1，
所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n
=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)
=2n+23+25+27+29+…+22n+1
=2n+8(1+22+24+26+…+22n-2)
=2n+8×1- 4
n
1- 4
=2n+2
2n+3-8
3
.
