专题01 集合与常用逻辑用语小题综合
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集的定义计算即可.
【详解】由题意得 .
故选：C
2．（2023·北京海淀·校考三模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
3．（2023·北京·统考模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化简 ，根据交集的概念可求出结果.
【详解】由 ，得 ，则 ，所以 .
故选：B
4．（2023·北京·高三专题练习）“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分性和必要性的定义，分类讨论去掉绝对值即可得到结果
【详解】若 ,
① ,不等式 等价为 ,此时成立;
② ,不等式 等价为 ,即 ,此时成立;
③ ,不等式 等价为 ,即 ,此时成立,
即充分性成立;
若 ,
①当 时, 去掉绝对值得 ,
因为 ,所以 ,即 ;
②当 时, ;
③当 时, 去掉绝对值得 ,
因为 ,所以 ,即 ；
即必要性成立;
综上“ ”是“ ”的充要条件
故选：C
5．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）设集合
， ，则 （ ）
A．M B．N C． D．
【答案】C
【分析】先求集合M，然后由并集运算可得.【详解】因为 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C
6．（2023·北京·统考高考真题）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
7．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，集合 均为 的子集，
表示的区域为（ ）
A．I B．II C．III D．IV
【答案】D
【分析】由补集和交集的概念求解即可.
【详解】由补集的概念， 表示的区域如下图所示阴影区域，∴ 表示的区域为下图所示阴影区域，
即为图中的区域Ⅳ.
故选：D.
8．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知集合 ，则集
合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用并集的定义直接求解作答.
【详解】因为集合 ，所以 .
故选：C
9．（2023·北京大兴·校考三模）已知集合 ， ，则
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的运算求解即可.
【详解】由题知，
.
故选：C
10．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ， ，因此， .
故选：A.
11．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知 为无穷等差数列，则“存在
且 ，使得 ”是“存在 且 ，使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】“存在 且 ，使得 ”，不能推出“存在 且 ，
使得 ”，
例如 ，则 ，即 ，满足 ，
但令 ，则 ，故不存在存在 且 ，使得 ，
故“存在 且 ，使得 ”是“存在 且 ，使得 ”的
不充分条件；
若“存在 且 ，使得 ”，则取 ，
则 ，
故“存在 且 ，使得 ”是“存在 且 ，使得 ”的
必要条件；
综上所述：“存在 且 ，使得 ”是“存在 且 ，使得
”的必要不充分条件.
故选：B.12．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足
，则“ ”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.
【详解】因为 ，所以 且 ，则 ，
若 ，不妨令 ，则 ， ， ， ， ， ，
显然 不单调，故充分性不成立，
若 为递减数列，则 不是常数数列，所以 单调，
若 单调递减，又 在 ， 上单调递减，则 为递增数列，矛盾；
所以 单调递增，则 ，且 ，其中当 ， 时也不能满足 为递
减数列，故必要性成立，
故“ ”是“ 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
13．（2023·北京·统考模拟预测）设 是等比数列，则“ ”是“ 为递增
数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据数列单调性以及既不充分也不必要条件的定义可得答案.
【详解】当 时，由 ，得 ，则 不为递增数列；
当 为递增数列时， ，若 ，则 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D
14．（2023·北京·模拟预测）全集 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举可得 ，然后根据补集的运算得出 ，进而根据交集的运
算即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，所以 ，
所以 .
故选：D.
15．（2023·北京·高三专题练习）已知 是直线， 是两个相互垂直的平面，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别判断充分性和必要性得到答案
【详解】若 ， ，则 或 或 与 相交，故推不出 ，；
若 ， ，则 或者 ，故推不出 ，
所以当 时，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D
16．（2023·北京·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】利用等比数列的性质直接判断.
【详解】 .
而 .
在等比数列中，公比 ，所以 .
所以 .
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C
17．（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）已知集合 ，集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.
【解答】因为集合 ，集合 ，
所以 ，故AC均错误；
，故B正确，D错误．
故选：B．
18．（2023·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ，
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也
不是必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】数列 中，对任意 ， ，
则 ，
所以数列 为递增数列，充分性成立；
当数列 为递增数列时， ，
即 ，所以 ， ，
如数列 不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
19．（2023·北京通州·统考三模）若集合 ， ，则
=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出集合 ，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】 ，
，
所以 .
故选：C.
20．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知 是等比数列，
则“ ”是“ 是增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列 是等比数列，可假设 ，
则 ，
可知 ，但数列 不是递增数列，
若数列 是递增等比数列，由定义可知， ，故
“ ”是“ 是递增数列”的必要不充分条件
故选：B
21．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知集合 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】对于 可得：
xy -1 1
-1 -2 0
1 0 2
可得集合 ；
对于 可得：
xy -1 1
-1 0 2
1 -2 0
可得集合 ，所以 ，
则 成立， 不成立， ，
所以A正确，B、C、D错误.故选：A.
22．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式得集合 ，再结合集合的补集、并集运算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：D.
23．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知向量 是两个单位向量，则“
”是“ 为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】B
【分析】由 求出 的范围，进而可得结果.
【详解】因为 为单位向量，所以由 两边平方得
，
所以得 ，而 ，所以 夹角为0或锐角；
所以“ ”是“ 为锐角”的必要而不充分条件.
故选：B.
24．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知集合 ，若
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.
【详解】由 知， ，
即 ，解得 ，
故选：B
25．（2023·北京·统考高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由
得到 ，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用
完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公
式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，
再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
26．（2023·人大附中校考三模）已知集合 ,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别解集合 ,再用集合的交集运算即可得出答案【详解】集合 ,解得 ,
,即 ,解得 ,故 ,
所以
故选：C
27．（2023·北京通州·统考三模）等比数列{ }的首项为 ，公比为q，前n项和为 ，
则“ ”是“{ }是递增数列”的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取 ， 可判断充分性；由 是递增数列，结合等比数列通项公式
可得 成立，即可判断必要性.
【详解】在等比数列 中，取 ， ，
此时 ， 为摆动数列， ,故充分性不成立；
若等比数列 的公比为 ，且 是递增数列，
则 ，所以，数列 为递增数列时，
成立，故必要性成立.
所以，“ ”是“数列 为递增数列”的必要而非充分条件.
故选：B.
28．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）设数列 的前 项的和为 ，若
是首项为正数、公比为 的等比数列，则“ ”是“对任意的 ，都有
”的（ ）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】依题意 ， ，若 ，则 ， ，
此时不满足对任意的 ，都有 ，所以 ，则 ，
若对任意的 ，都有 ，则 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，依题意，任意的 ， ，
因为函数 在 单调递减，值域是 ，
因此 ，解得 ，所以 ，
故 是“对任意的 ，都有 ”的充分且必要条件.
故选：C
29．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设 均为非零向量，则“ ”是“对
于任意的实数 ，都有 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则和公式 进行化简，结合充分条件和必要条件的判
定方法，即可求解.
【详解】由 ，则 ，即 ，当 时，可得 ，此时 恒成立，
即充分性成立；
当 对于任意的实数 恒成立时，
可得 ，又 ，
所以 ，即必要性成立，
综上可得，“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的充分必要条件.
故选：C.
30．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）有三支股票 位股民的持有情况如
下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有 股票的人中，持有 股票的人数是持
有 股票的人数的2倍.在持有 股票的人中，只持有 股票的人数比除了持有 股票
外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票.则
只持有 股票的股民人数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】通过设出只持有 股票的人数和只同时持有了 和 股票的人数，表达出持
有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有 股票的股民人数.
【详解】由题意，
设只持有 股票的人数为 ，
则持有 股票还持有其它殸票的人数为 (图中 的和 )，
∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有 或 股票,
∴只持有了 和 股票的人数和为 (图中 部分) .
假设只同时持有了 和 股票的人数为 ,
∴ , 即 ，
则 的取值可能是 ,
与之对应的 值为 ,
∵没持有 股票的股民中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的2倍
∴ ，即 ，∴ 时满足题意，此时 ,
∴只持有 股票的股民人数是 ,
故选：A.
【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题
的重点是求持有 股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.
