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专题强化二 追及相遇问题
素养目标
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧．
2．会在图像中分析追及相遇问题．
3．熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题．
考点一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相
遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙的距离就不断增大．
(2)若v 甲＝v 乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲>v 乙，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界
条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系
是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘
题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx 与时
间t 的二次函数关系，Δx＝0 时，表示两者相遇．
①若Δx>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δx＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δx<0，无解，说明追不上或不能相遇．
设Δx＝at2＋bt＋c，
当t＝－b
2a
时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移—时间图像的交点表示相遇，
分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
例1 [2024·江西赣州统考]大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车
在后速度为v1＝14 m/s，乙车在前速度为v2＝10 m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离
为L0＝30.5 m，此时乙车突然以大小为a0＝1 m/s2的加速度刹车，经过时间t0甲车车头与乙
车车尾间的距离减为L＝14 m，为了两车避免相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运
动，求：
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(1)t0的值；
(2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大？
[试答]
例2 如图所示为某城市十字路口道路示意图，道路为双向四车道，每个车道宽度为
2.4 m．某自行车从道路左侧车道线沿停车线向右匀速行驶，速率为14.4 km/h，汽车在最右
侧车道正中间行驶，速率为54 km/h，汽车前端距离停车线20 m．已知汽车的宽度与自行
车的长度相等均为1.8 m，汽车的车身长4.8 m．汽车司机为避免与自行车相撞马上采取刹
车制动，最大制动加速度大小为5 m/s2.求
(1)汽车的最短刹车距离sm；
(2)请通过计算判断是否能够避免相撞．
[试答]
考点二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．利用v-t 图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状
态作出v-t 图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
2．若为x-t 图像，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t 图像，可转化为v-t 图像进行
分析．
考向1 x-t 图像、v-t 图像中的追及相遇问题
例3 [2024·山东泰安市联考]如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移—
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时间(x-t)或速度—时间(v-t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内
的运动，下列说法正确的是( )
A．若是x-t 图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是x-t 图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v-t 图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v-t 图像，则两车间的距离不断增大
例4 [2024·河南名校高三联考]如图a 所示，均视为质点的甲、乙两辆汽车沿平直公路
同向行驶，如图b 所示是两车在某段时间内的v - t 图像，则关于两车运动状况的描述，下
列判断正确的是( )
A.乙车在t＝5 s 时改变运动方向
B.若t＝0 时刻，甲车在前，则在0～5 s 时间段，甲、乙两车间距增大；在5 s～10 s 时
间段，甲、乙两车间距减小
C．甲、乙两车在第10 s 末相遇
D．若t＝0 时刻乙车在前，则两车可能相遇两次
[解题心得]
考向2 利用v-t 图像分析追及相遇问题
例5 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度
均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0 时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速
度随时间变化关系分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s 时两车相距最近
B．t＝6 s 时两车速度不相等
C．t＝6 s 时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s 内会相撞
[教你解决问题] 转化法解题
将两车的a-t 图像转化为v-t 图像，由v -t 图线与时间轴所围面积表示位移分析判断，
如图．
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专题强化二 追及相遇问题
考点一
例1 解析：(1)在t0时间内，甲、乙两车运动位移分别为x1＝v1t0，x2＝v2t0- 1
2 a0t0
2
又x1－x2＝L0－L
解得t0＝3 s
(2)甲车开始刹车时，乙车速度为v3＝v2－a0t0＝7 m/s
若甲车刹车后经时间t 两车速度相等(均为v)，两车恰好避免相撞，则v＝v1－at，v＝
v3－a0t
时间t 内甲、乙两车运动位移分别为x3＝v1t－1
2
at2，x4＝v3t－1
2
a0t2
又x3－x4＝L
联立以上各式解得a＝2.75 m/s2
即甲车刹车加速度至少为2.75 m/s2.
答案：(1)3 s (2)2.75 m/s2
例2 解析：(1)已知：v1 ＝14.4 km/h＝ 4 m/s；v2＝ 54 km/h＝15 m/s.设汽车以最大加
速度刹车，则：－2asm＝0- v2
2
代入数据解得sm＝22.5 m.
(2)以最大加速度刹车，设汽车车头到达停车线所用时间为t，则s＝v2t－1
2
at2，解得t
＝2 s 或者t＝4 s，又因为汽车停下的时间为t′＝v2
a
＝15
5 s＝3 s，故t＝4 s 不符题意，舍去；
此时以左侧车道线为起点，车头所占位置范围为s1～s2，7.5 m<s1<9.3 m．自行车在t＝2 s
的时间内行驶的位移为x，则有x＝v1t＝4×2 m＝8 m，自行车此时所占位置范围为6.2
m<s2<8 m．由此可知，它们的位置范围有重叠，不能避免相撞．
答案：(1)22.5 m (2)不能避免相撞
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考点二
例3 解析：若是xt 图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，
故A、B 错误；若是vt 图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，
两车间的距离不断增大，故C 错误，D 正确．
答案：D
例4 解析：A 错：由题图b 可知，在10 s 内，乙车一直沿正方向运动，运动方向没
有改变．
B 错：在0～10 s 时间段，甲的速度始终比乙的大，甲车在前，所以甲、乙两车间距一
直在增大．
C 错：由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在第10 s 末能否相遇．
D 对：若刚开始乙车在前，且到甲车的距离较近，则甲车在0～10 s 内的某时刻追上乙
车，因t＝10 s 乙车速度又超过甲车，在某时刻又会与甲车再次相遇．
答案：D
例5 解析：由题给图像画出两车的vt 图像如图所示，
由图像可知，t＝6 s 时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s 内两
车位移之差，即Δx＝[1
2
×30×3＋1
2
×30×(6－3)] m＝90 m<x0＝100 m，即两车在t＝6 s 时
距离最近，最近距离为x0－Δx＝10 m，故A、B 错误，C 正确；t＝6 s 时，两车相距10 m，
且甲车在前、乙车在后，在6～9 s 内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故
在0～9 s 内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D 错误．
答案：C
