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限时练5(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P221
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·广东茂名二模)已知复数z=cosπ
6
+isinπ
6
(i 为虚数单位),则|z|=( )
A. 1
2
B. √3
2
C.1
D. 1+√3
2
答案C
解析由题意可知|z|=√co s
2 π
6 + sin
2 π
6
=1.
2.设集合A={x|y=ln(2-x)},B={x|x2-3x-4≥0},则下列结论正确的是( )
A.A∪B=R
B.A∩B=⌀
C.B⊆∁RA
D.A∩(∁RB)=(-1,2)
答案D
解析函数y=ln(2-x)中,2-x>0,解得x<2,即A={x|x<2},∁RA={x|x≥2}.解不等式x2-3x-4≥0,得x≤-1 或x≥4,
则B={x|x≤-1 或x≥4},∁RB={x|-1<x<4}.A∪B={x|x<2 或x≥4},A 错误;A∩B={x|x≤-1},B 错
误;-1∈B,-1∉∁RA,C 错误;A∩(∁RB)=(-1,2),故D 正确.
3.已知m,n 是空间中两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列说法错误的是( )
A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
B.若m⊥α,m∥n,则n⊥α
C.若m∥n,n⊥β,m⊥α,则α∥β
D.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
答案D
解析当n∥α 时,过n 作平面β,若β∩α=l,则n∥l.因为m⊥α,l⊂α,所以m⊥l,所以m⊥n.若β∥α,因为
m⊥α,所以m⊥β.因为n⊂β,所以m⊥n.故A 正确;当m⊥α,m∥n 时,由线面垂直的性质可得n⊥α,故B
正确;因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β.又m⊥α,所以α∥β,故C 正确;当m⊥α,m⊥n 时,则n 可能在平面α 内,
故D 错误.
4.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
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A.f(x)=- 2 x
2
| x|-1
B.f(x)=-
2 x
2
| x|+1
C.f(x)=-
2 x
| x|-1
D.f(x)=-2| x|
x
2-1
答案A
解析由图可知,函数图象对应的函数为偶函数,排除C;由图可知,函数的定义域不是实数集.故排除B;
由图可知,当x→+∞时,y→-∞,而对于D 选项,当x→+∞时,y→0,故排除D.故选A.
5.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至起,接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气,其日影长依次成等差数列,其中大寒、惊蛰、谷雨三
个节气的日影长之和为25.5 尺,且前九个节气日影长之和为85.5 尺,则立春的日影长为( )
A.10.5 尺
B.11 尺
C.11.5 尺
D.12 尺
答案A
解析设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,{
a3+a6+a9=25.5,
S9=85.5,
即{
3a1+15d =25.5,
9a1+36d =85.5,化
简得{
a1+5d =8.5,
a1+ 4 d =9.5,解得{
d =-1,
a1=13.5,所以a4=a1+3d=13.5-3=10.5.所以立春的日影长为10.5 尺.
6.已知偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[0,2]上是减函数,则f(3),f(-π),f(log23)的大小关系是( )
A.f(3)>f(-π)>f(log23)
B.f(log23)>f(-π)>f(3)
C.f(-π)>f(log23)>f(3)
D.f(-π)>f(3)>f(log23)
答案D
解析因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4 为周期的周期函数.又f(x)为偶函数,所以f(3)=f(-1)=f(1),f(-
π)=f(4-π).又0<4-π<1<log23<2 且f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以f(4-π)>f(1)>f(log23),即f(-
π)>f(3)>f(log23).
7.(2024·浙江绍兴三模)已知直线y=kx(k≠0)与椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)交于A,B 两点,以线段AB 为
直径的圆过椭圆的左焦点F1,若|F1A|=2|F1B|,则椭圆C 的离心率是( )
A. √5
2
B. 5
4
C. √5
3
D. 5
9
答案C
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解析取右焦点F2,连接AF2,BF2,由F1在以线段AB 为直径的圆上,故AF1⊥BF1,结合对称性可知四边形
AF1BF2为矩形,有|AF2|=|BF1|,有|OA|=|OB|=|OF1|=c.又|F1A|=2|F1B|,由|F1A|2+|F1B|2=(2c)2,则|F1A|=
4√5
5
c,|F1B|=2√5
5
c.由椭圆定义可得|F1A|+|AF2|=2a,故|F1A|+|F1B|=4√5
5
c+2√5
5
c=6√5
5
c=2a,
则e=
c
a =
2
6√5
5
= √5
3 .
8.已知x1>1,x2>1,且ln x1=x2-1,则x2
x1
的值可能为( )
A.-2√3
3
B. √3
3
C. 2√3
3
D.2
答案B
解析由ln x1=x2-1,得x2=ln x1+1,则x2
x1
= ln x1+1
x1
,令f(x)=ln x +1
x
(x≥1),得f'(x)=
1-(ln x +1)
x
2
=- ln x
x
2
.当x>1 时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,此时f(x)<f(1)=1,所以
ln x1+1
x1
<1.又x1>1,所以ln x1+1>1,所以ln x1+1
x1
>0,故x2
x1
的取值范围为(0,1).符合此范围的只有B
选项.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·山东青岛一模)袋子中有6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,设事件
A 为“取出的球的数字之积为奇数”,事件B 为“取出的球的数字之积为偶数”,事件C 为“取出的
球的数字之和为偶数”,则下列说法正确的有( )
A.事件A 与B 是互斥事件
B.事件A 与B 是对立事件
C.事件B 与C 是互斥事件
D.事件B 与C 相互独立
答案AB
解析因为取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生,且必有一个发
生,故事件A 与B 是互斥事件,也是对立事件,A,B 正确;如果取出的数为2,4,则事件B 与事件C 均发生,
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不互斥,C 错误;因为P(B)=1-C3
2
C6
2 = 4
5 ,P(C)=C3
2+C3
2
C6
2
= 2
5,P(BC)=C3
2
C6
2 = 1
5,则P(B)P(C)≠P(BC),即事件B
与C 不相互独立,D 错误.故选AB.
10.(2024·浙江绍兴二模)已知数列{an}与{bn}满足a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*),bn=log2(an+1).若数列{an}
保持顺序不变,在ak与ak+1项之间都插入2k个bk后,组成新数列{cn},记{cn}的前n 项和为Sn,则下列说
法正确的有( )
A.an+1=2n
B.bn=n
C.c2 024=10
D.S2 024=20 150
答案BCD
解析因为a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*),则an+1+1=2(an+1)(n∈N*),且an+1≠0,即数列{an+1}为等比数列,
a1+1=2,故an+1=2n,所以an=2n-1,则an+1=2n+1-1,所以A 错误;因为bn=log2(an+1)=log22n=n,所以B 正确;
因为新数列{cn}为1,1,1,3,2,2,2,2,7,…,由于2(1-2
9)
1-2
=1 022,2(1-2
10)
1-2
=2 046,即数列{cn}从a1=1 到
a10=1 023 共有1 022+10=1 032 项,到a11共有2 046+11=2 057 项,而a10和a11之间有210个10,故c2
024=10,所以C 正确;对于D,结合C 的分析,可得S2 024=2(1-2
10)
1-2
-10+(1×21+2×22+…+9×29)+(2 024-1
032)×10=2 036+8 194+9 920=20 150,所以D 正确.故选BCD.
11.(2024·广西桂林模拟)如图,已知圆锥PO 的底面半径为√3,高为√6,AB 为底面圆的直径,点C 为底
面圆周上的动点,则下列说法正确的有
( )
A.当C 为弧AB 的三等分点时,△PAC 的面积等于9√3
4
或3√11
4
B.该圆锥可以放入表面积为14π 的球内
C.边长为5
4
的正方体可以放入到该圆锥内
D.该圆锥可以放入边长为2√2的正方体中
答案ABD
解析取AC 的中点D,连接OD,PD,OC,则OD⊥AC,PD⊥AC.如图1,当C 为弧AB 的三等分点时,
∠AOC=120°或∠AOC=60°,当∠AOC=120°时,OD=1
2
OC=√3
2
,所以PD=
√PO
2+O D
2=√(√6)
2+( √3
2 )
2= 3√3
2
,DC=√3
2
OC=3
2
,AC=2DC=3,所以△PAC 的面积为1
2
AC×PD=1
2 ×3× 3√3
2
= 9√3
4
.当∠AOC=60°时,OD=√3
2
OC=3
2
,所以PD=
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√PO
2+O D
2=√(√6)
2+( 3
2 )
2= √33
2
,AC=OC=√3,所以△PAC 的面积为1
2
AC×PD=
1
2 ×√3× √33
2 = 3√11
4
,故A 正确;
图1
图2
因为圆锥的底面半径为√3,高为√6,所以圆锥的外接球球心在圆锥内部.设圆锥外接球的半径为R,过
点A 的轴截面如图2,O1为外接球球心,则(√6-R)2+(√3)2=R2,解得R=3√6
4
,外接球的表面积为4πR2=
27
2 π,27
2 π<14π,故B 正确;
设放入圆锥内最大的正方体边长为a,沿着正方体对角面的轴截面如图3,因为圆锥的底面半径为√3,
高为√6,所以√3
√6 =
√2a
2
PH
,所以PH=a,所以2a=√6,a=√6
2 .因为5
4 = √6.25
2
> √6
2
,所以C 错误;
图3
图4
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过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面,如图4,此平面到顶点P 的距离为体对角线的一半,即
为1
2 √(2√2)
2+(2√2)
2+(2√2)
2=√6,平面截正方体得到边长为2 的正六边形,该正六边形的内
切圆的半径为√3,以该圆作为圆锥的底面,点P 为顶点即可得到圆锥.故D 正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F 的距离为11
4
,则实数m 的值为
.
答案1
3
解析抛物线y=mx2(m>0),即x2= 1
m
y(m>0),所以准线方程为y=- 1
4 m .因为抛物线上的点(x0,2)到该抛物
线焦点F 的距离为11
4
,所以2-(- 1
4 m
)=11
4
,解得m=1
3 .
13.(2024·安徽芜湖二模)从某工厂生产的零件中随机抽取11 个,其尺寸值为
43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm),现从这11 个零件中任取3 个,则3 个零件的尺寸刚好为这
11 个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 .
答案2
55
解析由题意知11 个零件的平均数为43+ 45+ 45+ 45+ 49+50+50+51+51+53+57
11
=49,第六十百
分位数的位置为11×60%=6.6,即取第7 位数50,故第六十百分位数为50,由题可知众数为45,所以当
从11 中取出3 个零件共有C11
3 =165 种情况,则3 个数分别为平均数49、第六十百分位数50,众数45
共有C1
1C2
1C3
1=6 种情况,所以其概率为6
165 = 2
55 .
14.(2024·山东泰安二模)已知在矩形ABCD 中,AB=1,AD=√3,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的
圆上,则⃗AP·⃗AD的最大值为 ;若⃗AP=m⃗AB+n⃗AD(m,n∈R),则m+n 的最大值为
.
答案9
2
3
解析如图,以B 为原点,以BA,BC 所在的直线为y 轴,x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则
B(0,0),A(0,1),D(√3,1),C(√3,0),⃗AD=(√3,0).∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,设圆的半
径为r,由题意知BC=√3,CD=1,∴BD=√(√3)
2+1
2=2,∴1
2
BC·CD=1
2
BD·r,∴r=√3
2
,∴圆的方程为(x-
√3)2+y2=3
4 .设点P 的坐标为(√3
2
cos θ+√3, √3
2
sin θ),θ∈[0,2π],则⃗AP=(√3
2
cos θ+√3, √3
2
sin θ-1),则⃗
AP·⃗AD =√3×(√3
2
cos θ+√3)=3
2
cos θ+3∈[3
2 , 9
2
],故⃗AP·⃗AD的最大值为9
2 .∵⃗AP=m⃗AB+n⃗AD
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(m,n∈R),⃗AB=(0,-1),∴⃗AP=(√3
2
cos θ+√3, √3
2
sin θ-1)=m(0,-1)+n(√3,0)=(√3n,-m),∴1
2
cos θ+1=n,-
√3
2
sin θ+1=m,∴m+n=1
2
cos θ-√3
2
sin θ+2=cos(θ+π
3
)+2.∵-1≤cos(θ+π
3
)≤1,∴1≤m+n≤3,故m+n 的最
大值为3.
