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猜押 集合与常用逻辑用语
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
1.集合的直接运算，集合
中的元素离散型、连续型
均有可能；
2.考查交集运算为主，与
集合的交并补运算是高考中的
解简单不等式相结合，将
重点高频考点，主要还是以基
2023全国新高考Ⅱ卷T2
本不等式作为背景，应注重特
保持考查的稳定性.
2024全国Ⅰ卷 T1 殊符号，根号，对数，分式不
3.根据集合的包含关
集合、常 2023新高考Ⅰ卷T1， 等式。
系、运算关系求参数
用逻辑用 2022新高考Ι卷T1，新高考Ⅱ卷
充分必要条件作为使用工具一
语 T1 这个板块属于必考
般与数列三角函数，以及函数
题，年年考，以基础题形
2021新高考Ⅰ卷T1 ,新高考Ⅱ卷
相结合难度不大，但是易错
式考察。
T2
主要原命题与命题的否定，以
函数与不等式作为背景
题型一 元素集合之间的关系
1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能
取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由集合间的运算结果推出集合间的包含关系，即可求解.
【详解】若 ，则 ，又 ， ，所以 或 ，解得 或 ，
经检验均符合题意，所以实数 的所有可能取值有4个．
故选：D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知非空集合 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合非空有 ，解一元二次不等式求范围.
【详解】由题意知 ，即 ，解得 ．
故选：B
3．（2025高三·全国·专题练习） ，集合 ，则 .
【答案】2
【分析】根据集合的相等含义，易得 ，又由 推得 ，即可代入求值.
【详解】由题意知 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ， .
故 .
故答案为：2.
4．（2025高三·全国·专题练习）设集合 ，那
么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于 集合进行整理，分析其特点即可求解．
【详解】由于M中， 是奇数；而N中， 是整数，因此必有 ．
故选：B.
5．（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知 ，记 为集合 中元素的个数， 为集合 中的最
小元素．若非空数集 ，且满足 ，则称集合 为“ 阶完美集”．记 为全部
阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将 阶完美集 的元素全部加1，得到的新集合，是 阶完美集
C．若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
D．若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
【答案】ABD
【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结
论的正确性.
【详解】当非空数集 是 子集中含 个元素的子集时， .根据“n阶完美集”的定义，
中大于等于 的数有 、 、 、 共 个，所以此时 可以是 、 、 、 .
当非空数集 是 子集中含 个元素的子集时， . 中大于等于 的数有 、 、 共
个，所以此时 可以是 、 、 .
当非空数集 是 子集中含 个元素的子集时， . 中大于等于 的数有 、 共 个，
不满足“n阶完美集”的定义，所以 中 个元素的子集不满足.
同理， 中含 个元素的子集也不满足.
综上，4阶完美集有 、 、 、 、 、 、 ，所以 ，故A正确.若将“n阶完美集” 中元素全部加 ， 中元素个数不变，但 加 变大，均不违背“ 阶完美
集”的定义，所以得到的新集合是一个“ 阶完美集”，故B正确.
若 ，满足条件的集合 的个数为7，而 ,C错误；
对于满足“ 阶完美集”的所有 ， 不属于所有 ，可视为退化为“ 阶完美集”的情况，总
个数为 .
又因为 ，所以满足条件的集合 要排除掉“ 阶完美集”中只含有 个元素的情形（排除 个单
元素集合），因此满足条件的集合 的个数均为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解
题即可.
题型二 集合之间的交、并、补运算
1．（2025·山东·一模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】求解集合 ，再利用并集运算即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得： 或 ，
所以 或 ，
故选：D.
2．（2025·吉林长春·一模）已知集合 {高，考，必，胜}， {吉，大，必，胜}，则 （ ）
A．{吉，大，高，考} B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜}【答案】D
【分析】根据并集的含义即可得到答案.
【详解】根据并集的含义得 {吉，大，高，考，必，胜}.
故选：D.
3．（2025·河北·三模）（多选）已知集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】通过讨论 ，得到集合 ，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误.
【详解】已知集合 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
对于A，由对集合 分析知 ，故A不正确，
对于C，由对集合 分析知 ，故C正确；
对于B，当 时， ，此时 ，故B正确；
对于D，当 时， ，故D正确.
故选：BCD.
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】由 可得 ，又因为 ，所以 .故选：A.
5．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知集合 ， ，集合U的子集
，若对于任意的 ，i， ，都有 ，则符合条件的集合B的个数
为 .
【答案】30
【分析】根据题意，设 ，即可得到B中元素由 和有序数组 决定，然后分类讨论
即可得到 ， ， ， 中有2个2，分别计算其对应的情况数，然后相加，即可得到结果.
【详解】不妨设 ，再设 ， ，2，3，4，
则B中元素由 和有序数组 决定.
， ，
且 中任意相邻几个之和也不属于 ，
否则会出现 .
若 ， ， ， 中没有2或只有1个2，则一定有 ，不符合题意.
若 ， ， ， 中有3个2或4个2，不满足 中任意相邻几个之和也不属于 ，
所以 ， ， ， 中有2个2.
考虑 的排列情况和 的取值情况：若 ， ， ， 由2，2，6，6组成，
则B的个数为 ；
若 ， ， ， 由2，2，6，7组成，则B的个数为 ；
若 ， ， ， 由2，2，6，8组成，则B的个数为 ；若 ， ， ， 由2，2，7，7组成，则B的个数为 .
故符合条件的集合B的个数为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于集合新定义，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和计算特性，抽象特性是将
集合可近似的当作数列或者函数分析，计算特性是将复杂的关系通过找规律利用已学相关知识求解.
题型三 充要条件的判断
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使
龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是
龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可
【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，
故选：D
2．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）若向量 ，则“ ”是“向量 的夹角为
锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据向量 的夹角为锐角求出 的取值范围，再判断属于哪种关系.
【详解】向量 的夹角为锐角，则 ，且向量 不共线，
当向量 共线时， ，
则 ，
若 ，则 成立，反之不成立，故“ ”是“向量 的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）设 和 是两个非零向量，定义向量 ， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断.
【详解】因为 ，所以 ，但向量 的方向不确定，
所以 推不出 ；
又根据 ，得到 ，所以 可以推出 ，
则“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
4．（2025·安徽蚌埠·二模）“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义列式求出 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若函数 为奇函数，则 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
当 时，函数 的定义域为 ；当 时，函数 的定义域为 ，都符合题意，
所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件.故选：A
5．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数 为纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．0 B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用纯虚数的定义求出 ，再利用充分不必要条件的定义判断.
【详解】复数 为纯虚数，等价于 ，即 或 ，
由选项知，只有 是复数 为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合.
故选：B
6．（2025高三·全国·专题练习）定义二阶行列式 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据行列式定义解不等式，再解一元二次不等式，最后进行解集关系的判断即可解答.
【详解】由 ，得 ，
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ．
所以 的解集为 ．
由 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 ．
因集合 是集合 的真子集，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选C．题型四 命题的判定及应用
1．（2025高三·全国·专题练习）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题 ， 的否定为 ， ，
故选：D．
2．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合 ，以下判断正确的是（ ）
A． 是 的充分条件 B． 是 的既不充分也不必要条件
C． 是 的必要条件 D． 是 的充要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，当 时， 成立， 不成立，所以 不是 的充分条件，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 是 的充分条件，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，当 时，
成立，但 不成立，所以 不是 的必要条件，故C错误；
对于D，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 是 的充分条件，
由 ，可得 ，所以 ，所以 是 的必要条件，
所以 是 的充要条件，故D正确.故选：D.
3．（2025高三·全国·专题练习）若“ ”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据“ ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二
次不等式的关系即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：“ ”为真命题，
所以 ，解得 或 .
∴实数a的取值范围为
故答案为：
4．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知命题 ， 为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，令 ，利用数形结合可求得 .
【详解】由题意知 ， ，令 ，则 ，
作出函数 的图象如图所示，
若 ，则直线 与函数 的图象没有公共点，数形结合可知 ,所以 的取值范围为 .
故选：D.
5．（2025·全国·一模）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 的图像关于点 对称.设集合
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据对称性得到 ,从而 ，然后即可做出判断.
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，所以 ，所以 ，
由于 ，
，
与 互相都不能推出，
所以 互不包含，
，其它不一定正确.
故选：A.
6．（23-24高三上·云南·阶段练习）数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现
在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设
命题 ， ， ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.【详解】p： ， ，则 为 ， .
故选：B．
7．（2025·山西·一模）定义：任取数列 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数 ，则称
数列 具有“性质 ”.已知项数为 的数列 的所有项之和为 ，且数列 具有“性质 ”.
(1)若 ，数列 具有“性质2”，且 ， ，写出 的所有可能值；
(2)若数列 具有“性质2”，且 ， ，证明：“ ”是“ （
）”的充要条件；
(3)若数列 具有“性质 ”，其中 为奇数， ， ， ，证明： 或
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义计算 的值，列出所有符合要求的数列，即可得到结果.
（2）从充分性和必要性两个方面证明可得结论成立.
（3）令 ，则 ，通过对数据的分析可得4整除 ，由此可证明结
论.
【详解】（1）根据定义，有 ，所以 或3.
由 得 或5.
因此有如下三种情况：
若 为 ，此时 ，若 为 ，此时 ，
若 为 ，此时 .
综上, 的所有可能值为 .
（2）必要性：因为 ， ，
所以 ，故数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
所以 ，必要性成立.
充分性：因为 ， ，所以 ， ，…， ，
累加可得， ，即 ，
因为 ，所以上述不等式的每个等号都取到，
所以 ，所以 ，充分性成立.
综上所述，“ ”是“ ”的充要条件.
（3）令 ，由题意得， .
因为 ， ， ，…， ，
所以
.
因为 ，且 为奇数，所以 为偶数 ，
所以 为偶数.所以要使 ，必须使 为偶数，即4整除 ，
因为 中有一个奇数和一个偶数，所以 中有一个是 的倍数，故 或 .
当 时，
比如， ， ， 或 ， ，
时，有 ， ；
当 时，
比如 ， ， ， ，
或 ， ， ， ，有 ， .
当 或 时， 或 ，不能被4整除， .
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
