文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1.3 复数（精讲）
一．复数的有关概念
1.复数的定义：形如a＋bi(a，b R)
∈
的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位．（虚部不含
i）
2.复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b R)
∈
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d R)
∈
．
4.共轭复数：a＋bi 与c＋di 互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d R)
∈
．（实同虚反）
5.复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b R)
∈
．
二．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b R)
∈
复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b R)
∈
平面向量OZ.
三．复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d R)
∈
，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)
2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝
OZ2－OZ1.
一．解决复数概念问题的方法
1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方
程(不等式)组即可．
二．复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，
虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不
含i 的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形
式
三．复数的几何意义
1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi 与复平面上的点(a，b)一一对应．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
四．常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b R)
∈
．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n N)
∈
．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n N)
∈
．
5．复数z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r 为半径的圆．
考点一 复数的计算
【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知
，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
.故选：C.
【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，解得
，故选：C．
【例1-3】（2023 春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
．故选：A.
【例1-4】（2023·广东深圳·统考二模）已知复数满足
，则
_____________.
【答案】
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】因为
，即
，
所以，
或
，
若
，则
，则
，
若
，则
，则
.
综上所述，
.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
.故选:B.
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.故选：B.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，有
，所以
.故选：D
4．（2023·山西临汾·统考二模）复数
（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．2048
C．
D．-2048
【答案】C
【解析】
.故选：C.
5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算
___________．
【答案】
【解析】设
，
，
上面两式相减可得，
，
则
．
故答案为：
．
考法二 复数的实部与虚部
【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】因为
，则的虚部为1，故A，B，D 错误.故选：C.
【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数
（是虚数单位）的共轭复数是
，则
的
虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数
是虚数单位）的共轭复数是
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
则
的虚部是
.故选：D
【一隅三反】
1．（2023 春·河南商丘）已知复数
，则z 的虚部为（ ）
A．2
B．
C．5
D．
【答案】B
【解析】
，则z 的虚部为
．故选：B.
2．（2023 春·湖南·高三校联考阶段练习）复数
的实部与虚部之和为_______.
【答案】
【解析】因为
，所以
的实部与虚部之和为
.
故答案为：
．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i 为虚数单位，且
，则
的虚部为（ ）
A．
B．2
C．2i
D．
【答案】B
【解析】由
可得：
，
则
，所以
的虚部为2.故选：B.
考法三 复数的分类
【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知
，
为纯虚数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】因为
为纯虚数，所以
，且
，
所以
.故选：B.
【例3-2】（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）已知i 为虚数单位，复数
是实数，则
的值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
复数
是实数，
，解得
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
，有
.故选：A
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设是纯虚数，若
是实数，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】D
【解析】设
，
则
，
因为
是实数，
所以
，即
，
所以
，故的虚部为3.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D.
3．（2023 秋·辽宁·高三校联考期末）已知是纯虚数，
是实数，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为是纯虚数，故可设
，
所以
，
因为
是实数，所以
，即
，
所以
.
故选：A
考点四 复数的几何意义
【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
.故选：B
【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数在复平面内对应的点为
，则
在复平面内对应的点
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，则
，所以
在复平面内对应的点为
，故选：
A
【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数满足
，则
在复平面内对应的点位于
（ ）
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】
，
，
，实部为1，虚部为-1，所以
在第四象限；
故选：D.
【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z 满足
，若
，
则复数z 为（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】由
有
，即
，解得
，
当
时，
,
当
时，
.故选：C
【一隅三反】
1．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】
，
.故选：A
2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知
，则复数z 在复平面上对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】设
，则
，
∴由
，得
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
，
，
∴复数在复平面上对应的点
在第一象限．
故选：A．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数满足
，则复数的共轭复
数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由已知可得
，
所以复数的共轭复数
，
所以，复数
在复平面内对应的点的坐标为
，该点在第一象限.
故选：A.
4．（2023 春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数
，
，若在复
平面上对应的点在第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
则
，解得
，
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，则
，解得
，
因此，
.
故选：B.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考法五 复数范围内解方程
【例5】（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x2-2x+2=0 的一个根，则|
|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为方程x2-2x+2=0 是实系数方程，且
，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即
，即
，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z 是方程
的一个根，且复数z 在复平面内对应的点
位于第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】复数范围内方程
的根为
，
因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以
，则
．
故选：D.
2．（2023 春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数是一元二次方程
的一个根，
则
的值为（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】
复数是一元二次方程
的一个根，
又
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
该方程的根为
，
即
或
，则
.
故选：B．
考法六 复数模的相关轨迹问题
【例6-1】（2023·全国·校联考三模）已知复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以
，所以
的最大值为
．
故选：B
【例6-2】（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以点是以
，
为焦点，半实轴长为1 的双曲线，则
，
所以点的轨迹方程为
，
设
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
．
故选：B．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数
，其中为虚数单位，且
，则复数的模的
最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
，则
表示复数对应点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，
的最大值为3.
故选：C
2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】设
，
因为
，所以
，即z 在复平面内对应点的轨迹为圆C：
，如图，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，
所以
表示圆C 上的动点到定点
的距离，
所以
为
，
故选：B．
3．（2023·广东·统考一模）在复平面内，已知复数满足
（为虚数单位），记
对应的
点为点
对应的点为点
，则点
与点
之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，代入到
，
得
，
即
，
整理得
，
即点
在直线
上，
所以点
到
之间的距离的最小值，即
到直线
的距离，
由点到直线的距离公式可得
，
所以点
与点
之间距离的最小值为
.
故选：C.
考法七 复数的综合运用
【例7】（2023·重庆·统考二模）（多选）已知复数
，
，则下列结论中正确的是（ ）
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若
，例如：
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，所以
或
至少有一个成立，即
或
，故B 正
确；
对于C，由
，则
，∵
，∴
，故C 正确；
对于D：若
，则
，故D 正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·统考二模）（多选）设，
，
为复数，且
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【解析】设
，
，
，
对A， 若
，即
，则
，
所以
，
，故A 正确；
对B，若
，则
，而
，故B 错误；
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对C，
，
，
所以
，即
，
因为
，
，则
至少有一个不为零，
不妨设
，由
，可得
，
所以
，
，即
，
，故C 正确；
对D，由
，可得
，
所以
，又
不全为零，
所以
表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故
D 正确.
故选：ACD.
2．（2023·山西运城·统考二模）（多选）设
为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】BC
【解析】对于A 项，取
，
时，
，但虚数不能比较大小，故A 项错误；
对于B 项，由
，得
.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，
，所以
，故B 项正确；
对于C 项，因为
，所以
，故C 项正确；
对于D 项，取
，
，满足
，但是
，故D 项错误.
故选：BC.
3．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）（多选）对于
，
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是纯虚数
C．
D．
【答案】AC
【解析】A：
，则
的虚部为0，故
，正确；
B：当
时，
成立，而
不是纯虚数，错误；
C：令
且
，则
，则
，正确；
D：令
且
，
且
，则
可能为虚数，而
为实数，错误.
故选：AC
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
18
