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§9.2 用样本估计总体
(分值：100 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5 是该组数据的( )
A.极差
B.平均数
C.中位数
D.众数
2.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为9，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的方差为( )
A.9
B.18
C.19
D.36
3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则( )
A.a=0.1
B.车速众数的估计值是70
C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值
D.车速中位数的估计值是62.5
4.某班50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通
过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，
我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9 内属正常范围.已知A，B，C 三人的体质指数的平均值为20，方差
为3.D，E 两人的体质指数分别为18 和22.则这5 人的体质指数的方差为( )
A.17
5
B.14
5
C.17
3
D.14
3
6.(2024·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，
则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )
A.中位数不变
B.若x1=1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75 百分位数为7.5
C.平均数不变
D.方差变小
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.某公司为保证产品生产质量，连续10 天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的
件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( )
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是1.8
D.数据的80%分位数为4
8.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市
场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023 年11 月，中国市场智能手机新机激活量为2 871 万台，同比增长
12.9%(同比增长率=本期数据-去年同期数据
去年同期数据
×100%)，具体分为7 个品牌排名，统计数据如表所示，
则下列说法正确的有( )
排名
品牌
当月新机激活量/万台
同比新机激活量增长/万台
No.1
A
604.4
13.0
No.2
B
524.3
160.5
No.3
C
403.1
45.0
No.4
D
401.4
172.9
No.5
E
383.3
-47.5
No.6
F
376.3
-44.8
No.7
G
178.2
28.0
A.该月7 个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4
B.该月7 个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C.该月D 品牌新机激活量同比增长率大于75%
D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2 600 万台
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的3
5，则该组数
据的第40 百分位数是 .
10.已知某7 个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8 个数的方差为 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)第8 届中国-南亚博览会暨第28 届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.
本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15 个展馆，展览面积15 万平方米，吸引82 个国家、
地区和国际组织参会，2 000 多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100 家企业对此次展览进行评分，
分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表：
分数
[90，92)
[92，94)
[94，96)
[98，100]
频数
10
10
20
20
(1)估计这100 家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6 分)
(2)估计这100 家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7 分)
12.(14 分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60 名学生，乙班有48 名学生.为分析他们的
英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18 名学生，统计他们英语考试的分数.
(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机
数表，以第2 行第21 列的数字4 为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一
行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5 分)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322
8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943
(2)已知甲班的样本平均数为x1=72，方差为s1
2=92，两班总的样本平均数为x=76，方差为s2=96.
①求乙班的样本平均数x2和方差s2
2；(5 分)
②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|x1-x2|≥2√
s1
2+ s2
2
9
，则认为两班学生的英语成绩有明显差
异，否则不认为有明显差异)(5 分)
13~15 题每小题5 分，16 题6 分，共21 分
13.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中
位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( )
A.12
B.20
C.25
D.27
14.(2024·南通模拟)已知实数x0，x1，…，x2 024，则使
2 024
∑
i=0
|xi－k|和
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2最小的实数k 分别为
x0，x1，…，x2 024的( )
A.中位数，标准差
B.平均数，中位数
C.中位数，平均数
D.标准差，平均数
15.在一组数3，3，8，11，28 中插入两个整数m，n，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和
中位数保持不变，则m＋n 的最大值为( )
A.57
B.58
C.60
D.61
16.(多选)(2024·焦作模拟)北京时间2024 年8 月12 日凌晨，第33 届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国
体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40 枚金牌、27 枚银牌和24 枚铜牌的最佳境
外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精
神举办了竞技比赛，此比赛共有5 名同学参加，赛后经数据统计得到该5 名同学在此次比赛中所得成绩的
平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈(0，15］，且x∈N*，则下列可以作为该5 名同学中比赛成绩的最高
分的有( )
A.13
B.12
C.11
D.10
答案精析
1.C 2.D 3.D
4.C [由表格数据可知，成绩为91 分、92 分的人数为50-(12+10+8+6+5+3+2+1)=3(人)，成绩为100 分的出
现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25，26 位的两个数都是98 分，所以
数据的中位数为98，所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.]
5.A [设A，B，C 三人的体质指数分别为a，b，c，由于A，B，C 三人的体质指数的平均值为20，方差为
3，故(a-20)
2+(b-20)
2+(c -20)
2
3
=3，则(a-20)2+(b-20)2+(c-20)2=9，由于a+b+c +18+22
5
=
20×3+18+22
5
=20，故5 个人的体质指数的平均数为20，故1
5[(a-20)2+(b-20)2+(c-20)2+(18-20)2+(22-20)2]=
9+ 4+ 4
5
=17
5 ，故方差为17
5 .]
6.B [原来的中位数与现在的中位数均为x5+ x6
2
=2 x1+9
2
=x1+4.5，故中位数不变，故A 正确；
当x1=1 时，数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因为10×75%=7.5，所以该组
数据的第75 百分位数是第8 个数8，故B 错误；
由于xi-xi-1=1(2≤i≤10)，故x2=x1+1，x3=x1+2，…，x9=x1+8，x10=x1+9，原来的平均数为x1+ x2+…+ x10
10
=
10 x1+ 45
10
=x1+4.5，去掉x1，x10后的平均数为x2+ x3+…+ x9
8
=8 x1+36
8
=x1+4.5，平均数不变，故C 正确；
原来的方差为1
10[(x1-x1-4.5)2+(x2-x1-4.5)2+…+(x10-x1-4.5)2]=8.25，去掉x1，x10后的方差为1
8[(x2-x1-4.5)2+(x3-x1-
4.5)2+…+(x9-x1-4.5)2]=5.25，方差变小，故D 正确.]
7.AC [数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.
该组数据的极差为5-1=4，故A 正确；
众数为3，平均数为1×2+2+3×4+ 4+5×2
10
=3，
两者相等，故B 错误；
方差为1
10×[(1-3)2×2+(2-3)2×1+(3-3)2×4+(4-3)2×1+(5-3)2×2]=1.8，故C 正确；
∵10×80%=8，∴这组数据的80%分位数为第8 个数和第9 个数的平均数4.5，故D 错误.]
8.BCD [同比新机激活量增长数据的极差为172.9-(-47.5)=220.4，故A 错误；
该月新机激活量数据的平均数为2 871
7
≈410.14，该月7 个品牌新机激活量数据的中位数为401.4，故B
正确；
去年同期D 品牌新机激活量为401.4-172.9=228.5，所以同比增长率为172.9
228.5×100%≈75.67%>75%，故C 正
确；
设去年同期中国市场智能手机新机激活量为x，由题意可得2 871- x
x
×100%=12.9%，解得x≈2 543<2
600，故D 正确.]
9.6
解析 由题意知该组数据的极差为17-2=15，
中位数为m+12
2
，
所以m+12
2
=15×3
5=9，解得m=6，
又6×40%=2.4，
所以该组数据的第40 百分位数是该组数据的第三个数6.
10.7
2
解析 原7 个数的方差为1
7
7
∑
i=1
( xi-2)
2＝4，
即
7
∑
i=1
( xi-2)
2＝4×7＝28，
加入一个新数据2 后所得8 个数的平均数为x=7×2+2
8
=2，
所以这8 个数的方差为
s2=1
8[28+(2-2)2]=7
2.
11.解 (1)由题意得这100 家企业评分在[96，98)内的频数为100-10-10-20-20=40.
设这100 家企业评分的中位数的估计值为x，
因为评分在[90，96)内的频数之和为10+10+20=40<50，
评分在[90，98)内的频数之和为40+40=80>50，
所以x∈[96，98)，
由50- 40
40
= x -96
98-96 ，
得x=96.5.
(2)这100 家企业评分的平均数的估计值为x= 1
100(91×10+93×10+95×20+97×40+99×20)=96，
这100 家企业评分的方差的估计值为
s2= 1
100[(91-96)2×10+(93-96)2×10+(95-96)2×20+(97-96)2×40+(99-96)2×20]=5.8.
12.解 (1)根据按比例分配的分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18×
60
60+ 48=10，
在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，
编号从小到大依次为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，
所以抽出的学生编号的中位数为29+34
2
=31.5.
(2)①依题意，样本中甲班学生有10 人，乙班学生有8 人，由按比例分配的分层随机抽样的平均数和方差
的公式，
得x=5
9 x1+4
9 x2，
因此x2=9 x -5 x1
4
=9×76-5×72
4
=81，
s2=5
9 [ s1
2+( x1- x)
2]+4
9 [ s2
2+( x2- x)
2]，
即96=5
9(92+42)+4
9 (s2
2+52)，
解得s2
2=56，
所以x2=81，s2
2=56.
②因为|x1-x2|=|72-81|=9，
2√
s1
2+ s2
2
9
=2√
148
9
<2√
169
9
=26
3 <9，
因此|x1-x2|≥2√
s1
2+ s2
2
9
成立，
所以两班学生的英语成绩有明显差异.
13.D [设丢失数据是x，则平均数为61+ x
7
，众数是8，若x<8，则中位数为8，此时x=-5；
若8<x<10，则中位数为x，此时2x=61+ x
7
+8，解得x=9；
若x≥10，则中位数为10，此时2×10=61+ x
7
+8，解得x=23，
所以丢失数据的所有可能值为-5，9，23，其和为27.]
14.C [
2 024
∑
i=0
|xi－k|＝|x0－k|＋|x1－k|＋…＋|x2 024－k|，表示2 025 个绝对值之和，
根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，
因为2 025 为奇数，所以k 取x0，x1，…，x2 024的中位数时，
2 024
∑
i=0
|xi－k|有最小值；
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2＝
2 024
∑
i=0
( xi
2－2kxi＋k2)＝(x0
2＋x1
2＋x2
2＋…＋x2 024
2
)－(2x0＋2x1＋2x2＋…＋2x2 024)k＋2
025k2为关于k 的一元二次函数，
故当k＝x0＋x1＋…＋x2 024
2 025
时，
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2有最小值，
即k 为x0，x1，…，x2 024的平均数时，
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2有最小值. ]
15.C[若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个是3，另一个不是3”，
或是“两个不等的且不是3，8，11，28”.
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个是3，另一个不是3”，则一个是3，另一个数不小于8，
又因为极差加倍，则另一个数为53，此时m＋n＝56；
③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，中位数保持不变，
则两个数可以为
{
m＝7,
n＝53,{
m＝6,
n＝53,{
m＝5,
n＝53,{
m＝4 ,
n＝53,{
m＝2,
n＝52,
{
m＝1,
n＝51,{
m＝0,
n＝50,{
m＝-1,
n＝49, …{
m＝-21,
n＝29,
{
m＝-22,
n＝9, {
m＝-22,
n＝10, {
m＝-22,
n＝12, …{
m＝-22,
n＝27 ,
所以m＋n 的最大值为60.]
16.BC[设该5 名同学在此次比赛中所得成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5，
由题得x＝1
5(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝8，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40，
且s2＝1
5［( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＋( x5-8)
2］＝4，
则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＋( x5-8)
2＝20.
不妨设x5最大，
若x5＝13，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝－5 不成立，故A 错误；
若x5＝12，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝4，满足题意，例如5 位同学的成绩可为7，7，
7，7，12，故B 正确；
若x5＝11，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝11，满足题意，例如5 位同学的成绩可为5，7，
8，9，11，故C 正确；
若x5＝10，则x1＋x2＋x3＋x4＝30，且( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝16，则x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2
－16(x1＋x2＋x3＋x4)＋4×82＝16⇒x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2＝16(x1＋x2＋x3＋x4)－4×82＋16＝16×30－4×82＋16
＝240，则可得{
x1＋x2＋x3＋x4＝30,
x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2＝240,该方程组无正整数解，故D 错误.]
