§2.5 函数性质的综合应用
重点解读 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质特点,
结合图象研究函数的性质,往往多种性质结合在一起进行考查.
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 (2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,∀x1,x2∈[0,＋∞),且x1≠x2, f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>4(x1＋x2)
恒成立,f(2)＝16,则满足f(ln m)≤4(ln m)2的m 的取值范围为( )
A.[
1
e ,e]
B.[
1
e
2 ,1]
C.[1,e2]
D.[
1
e
2 ,e
2]
答案 D
解析 设x1>x2,
由f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>4(x1＋x2),
得f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)＝4(x1
2－x2
2),
所以f(x1)－4x1
2>f(x2)－4x2
2,
令g(x)＝f(x)－4x2,x∈[0,＋∞),
则g(x1)>g(x2),
所以函数g(x)在[0,＋∞)上单调递增,
因为f(x)是定义在R 上的偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
所以对任意的x∈R,g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x),
所以函数g(x)为R 上的偶函数,
且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0,
由f(ln m)≤4(ln m)2,
可得f(ln m)－4(ln m)2≤0,
即g(ln m)≤g(2),
即|ln m|≤2,所以－2≤ln m≤2,
解得1
e
2≤m≤e2,
所以m 的取值范围是[
1
e
2 ,e
2].
思维升华 (1)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱
掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而
利用其单调性比较大小.
跟踪训练1 (多选)已知函数y＝f(x＋1)是R 上的偶函数,且f(x)在[1,＋∞)上单调递增,a＝f(log28),b＝f(－
ln 2),c＝f(eln 2),则下列说法正确的是( )
A.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1 对称
B.c<b<a
C.函数y＝f(x)在区间(－∞,1]上单调递减
D.函数f(x)在x＝1 处取到最大值
答案 ABC
解析 由函数y＝f(x＋1)是R 上的偶函数,并且y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1 个单位长度得
到的,所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1 对称,所以A 正确；
因为a＝f(log28)＝f(3),b＝f(－ln 2)＝f(2＋ln 2),c＝f(eln 2)＝f(2),因为3>ln 2＋2>2>1 且函数f(x)在[1,＋∞)上单
调递增,所以f(2)<f(－ln 2)<f(3),即c<b<a,所以B 正确；
因为f(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以函数f(x)在(－∞,1]上单调递减,所以函数f(x)在x＝1 处取到最小值,所以
C 正确,D 不正确.
题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 (多选)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋1
2),f(0)＝－2,且f (x - 3
4)为奇函数,则(
)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是一个周期为3 的周期函数
D.f(2 025)＝－2
答案 BCD
解析 函数f(x)的定义域为R,且f(0)＝－2,则f(x)不可能是奇函数,故A 错误；
定义在R 上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋1
2),变形可得f(x)＝－f(x - 3
2),
而f(x - 3
4)为奇函数,
则f(- x - 3
4)＝－f(x - 3
4),
则f(－x)＝－f(x - 3
2),则有f(－x)＝f(x),
即函数f(x)为偶函数,故B 正确；
已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f (x＋1
2),
即f(x)＝－f(x＋3
2),
则有f(x＋3)＝－f(x＋3
2)＝f(x),
即函数f(x)是一个周期为3 的周期函数,故C 正确；
f(x)是偶函数且周期为3,
则f(2 025)＝f(0)＝－2,故D 正确.
思维升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值
的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练2 已知定义在R 上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2,②f(x－2)为奇函数,
③∀x1,x2∈[0,1),x1≠x2, f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0 恒成立.则f(- 15
2 ),f(4),f(
11
2 )的大小关系为( )
A.f(
11
2 )>f(4)>f(- 15
2 )
B.f(4)>f(
11
2 )>f(- 15
2 )
C.f (- 15
2 )>f(4)>f(
11
2 )
D.f(- 15
2 )>f(
11
2 )>f(4)
答案 C
解析 因为f(x－2)为奇函数,f(x)的周期为2,所以f(x)为奇函数,
因为∀x1,x2∈[0,1),x1≠x2, f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0,
所以f(x)在[0,1)上单调递增,
因为f(x)为奇函数,
所以f(x)在(－1,0]上单调递增,
所以f(x)在(－1,1)上单调递增,
因为f(- 15
2 )＝f(- 15
2 ＋2×4)＝f(
1
2),
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0),
f(
11
2 )＝f (
11
2 -2×3)＝f(- 1
2),
所以f(
1
2)>f(0)>f(- 1
2),
即f(- 15
2 )>f(4)>f(
11
2 ).
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (多选)(2025·宁波模拟)已知f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)＋g(1－x)＝a(a≠0),g(1＋x)＝g(1－x),若f(x
＋2)为奇函数,则( )
A.g(x)关于直线x＝1 对称
B.g(x)为奇函数
C.f(2)＝0
D.f(x)为偶函数
答案 ACD
解析 因为g(x)的定义域为R,且g(1＋x)＝g(1－x),所以g(x)关于直线x＝1 对称,故A 正确；
但不能确定g(x)为奇函数,故B 错误；
根据题意,y＝f(x＋2)是定义域为R 的奇函数,所以f(x＋2)＝－f(－x＋2),令x＝0,得f(2)＝0,故C 正确；
因为f(x)＋g(1－x)＝a,则f(－x)＋g(1＋x)＝a,结合g(1＋x)＝g(1－x),则f(－x)＋g(1－x)＝a,所以f(x)＝f(－x),即
f(x)为偶函数,故D 正确.
思维升华 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断
函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.
跟踪训练3 已知f(x)是定义在R 上的奇函数,f(2x＋2)的图象关于直线x＝－1
2对称,f(－2)＝1,则f(2 026)
等于( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 A
解析 因为f(2x＋2)的图象关于直线x＝－1
2对称,
所以f(2x＋2)＝f[2(－1－x)＋2]＝f(－2x),于是f(x＋2)＝f(－x),
又f(x)是定义在R 上的奇函数,
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x),
则f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x),
即f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的周期为4,
所以f(2 026)＝f(2)＝－f(－2)＝－1.
题型四 函数性质的综合应用
例4 (多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),g(x－3)是偶函数,且f(x)＋g(x－3)＝
2,若g(－3)＝1,则( )
A.f(1)＝1
2
B.f(x)的图象关于点(
3
2 ,0)对称
C.f(x)＝f(x＋6)
D.f(x)为奇函数
答案 ABC
解析 由题意知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)＋g(x－3)＝2,
则f(－x)＋g(－x－3)＝2,因为g(x－3)是偶函数,
所以f(－x)＋g(－x－3)＝f(－x)＋g(x－3)＝2＝f(x)＋g(x－3),
所以f(x)＝f(－x),即f(x)为偶函数,
令x＝0,则f(0)＋g(－3)＝2,
又g(－3)＝1,所以f(0)＝1,
所以f(x)不可能是奇函数,故D 不正确；
又f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),
令x＝0,所以f(1)＋f(－1)＝2f(1)＝f(0)＝1,
所以f(1)＝1
2 ,故A 正确；
由f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),得f(x)＋f(x－2)＝f(x－1),
两式相加得－f(x＋1)＝f(x－2),
所以f(x)＝－f(x＋3),
又f(x)＝f(－x),所以f(－x)＝－f(x＋3),
即f(－x)＋f(x＋3)＝0,
所以f(x)的图象关于点(
3
2 ,0)对称,故B 正确；
由f(x)＝－f(x＋3)得f(x＋3)＝－f(x),
故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),故C 正确.
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,在高考中常常将它们综合在一起命
题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再
利用单调性解决相关问题.
跟踪训练4 (多选)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0,f(x)＋f(x＋4)＝0 且对任意的
x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则以下判断正确的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期是4
C.函数f(x)在[2,6]上单调递增
D.直线x＝1 是函数f(x＋1)图象的一条对称轴
答案 CD
解析 由f(x)＋f(－x)＝0 得f(－x)＝－f(x),函数f(x)为奇函数,A 错误；
对任意的x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,所以f(x)在[－2,0]上单调递减,结合奇函数知,
函数f(x)在[0,2]上单调递减,即函数f(x)在[－2,2]上单调递减,由A 及f(x)＋f(x＋4)＝0 可知f(x)＝－f(－x)＝－
f(x＋4),即f(－x)＝f(x＋4),故f(x)关于直线x＝2 对称,所以f(x)在[2,6]上单调递增,且直线x＝1 是函数f(x＋1)图
象的一条对称轴,C,D 正确；
又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8),结合f(x)在[－2,6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8,B 错误.
课时精练
[分值：52 分]
一、单项选择题(每小题5 分,共30 分)
1.已知函数f(x)的定义域为R,f(－x)＝f(x),f(1－x)＝－f(x),若f(
1
5)＝1
5 ,则f(
16
5 )等于( )
A.－1
5
B.1
5
C.16
5
D.－16
5
答案 A
解析 由f(1－x)＝－f(x),
用1＋x 代替x,得f(－x)＝－f(1＋x),
又f(－x)＝f(x),所以f(1＋x)＝－f(x),
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x),
故f(x)的周期为2,
所以f(
16
5 )＝f(2＋6
5)＝f(
6
5)＝f(1＋1
5)＝－f(
1
5)＝－1
5.
2.已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3),且f(x)在(0,2)上单调递增,则f(1),f(
5
2),f(
7
2)的大小关系是( )
A.f(1)<f(
5
2)<f (
7
2)
B.f(
7
2)<f(1)<f(
5
2)
C.f(
5
2)<f(
7
2)<f(1)
D.f(
7
2)<f(
5
2)<f(1)
答案 B
解析 由函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3),得函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称,显然f(
5
2)＝f(
3
2),f(
7
2)＝f
(
1
2),而1
2<1<3
2 ,f(x)在(0,2)上单调递增,因此f(
1
2)<f(1)<f(
3
2),所以f(
7
2)<f(1)<f(
5
2).
3.(2025·襄阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x－1)－1 为奇函数,f(x＋1)为偶函数,则f(2 023)等于( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
答案 D
解析 函数f(x)的定义域为R,
由f(x－1)－1 为奇函数,得f(－x－1)－1＝－[f(x－1)－1],
即f(－x－1)＝－f(x－1)＋2,
由f(x＋1)为偶函数,得f(－x＋1)＝f(x＋1),即f(－x－1)＝f(x＋3),
因此f(x＋3)＝－f(x－1)＋2,
即f(x＋4)＝－f(x)＋2,
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＋2＝f(x),
即函数f(x)的周期是8,
由f(－x－1)＝－f(x－1)＋2,得f(－1)＝1,
所以f(2 023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝1.
4.(2024·扬州模拟)定义在R 上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y 轴对称,且函数y＝f(x－2)＋1 是奇函数,
则函数y＝g(x)图象的对称中心为( )
A.(2,1)
B.(－2,－1)
C.(－2,1)
D.(2,－1)
答案 D
解析 由题意得函数y＝f(x－2)＋1 是奇函数,则y＝f(x)关于点(－2,－1)对称,另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图
象关于y 轴对称,故y＝g(x)的图象关于点(2,－1)对称.
5.(2024·北师大附中模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x),若f(1－x)和g(x＋2)都是
偶函数,则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.g(x)是奇函数
D.g(x)是偶函数
答案 D
解析 由f(1－x)是偶函数,得f(1－x)＝f(1＋x),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称；
由g(x＋2)是偶函数,得g(x＋2)＝g(－x＋2),
所以函数g(x)的图象关于直线x＝2 对称,
又g(x)＝f'(x),
则f(x)关于点(2,f(2))对称,
所以(0,f(0))是函数f(x)图象的对称中心,
由于不确定f(0)的值,
所以无法判断函数f(x)的奇偶性,故排除选项A,B；
又g(x)＝f'(x),由f(1－x)＝f(1＋x),得－f'(1－x)＝f'(1＋x),
即－g(1－x)＝g(1＋x),得g(1＋x)＋g(1－x)＝0,
所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称；
由－g(1－x)＝g(1＋x),得－g(－x)＝g(2＋x),即－g(－x)＝g(2－x),
所以－g(x)＝g(2＋x),即g(4＋x)＝－g(2＋x)＝g(x),
所以函数g(x)的周期为4,所以g(x)＝g(4＋x)＝g(－x),
所以函数g(x)为偶函数,故排除C,选择D.
6.(2025·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,若∀a,b∈[0,＋∞),且a≠b,都有af (a)-bf (b)
a-b
<0 成
立,则不等式f(
1
t)－(2t2－t)f(2t－1)>0 的解集为( )
A.(－1,0)∪(
1
2 ,＋∞)
B.(- 1
2 ,0)∪(1,＋∞)
C.(－∞,－1)∪(
1
2 ,＋∞)
D.(-∞,- 1
2)∪(1,＋∞)
答案 D
解析 令g(x)＝xf(x),
由题意知g(x)在[0,＋∞)上单调递减,
又f(x)为R 上的偶函数,所以g(x)为R 上的奇函数,所以g(x)在R 上单调递减,
①当t>0 时,原不等式等价于
1
t f(
1
t)>(2t－1)f(2t－1),
即g(
1
t)>g(2t－1),所以1
t <2t－1,
所以1<2t2－t,解得t>1；
②当t<0 时,原不等式等价于
1
t f(
1
t)<(2t－1)f(2t－1),
即g(
1
t)<g(2t－1),所以1
t >2t－1,
所以1<2t2－t,解得t<－1
2.
所以t<－1
2或t>1.
二、多项选择题(每小题6 分,共12 分)
7.若定义域为R 的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数,且对任意x1,x2∈[1,＋∞),且x1≠x2,都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0,则
下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(－1,0)对称
B.f(x)是R 上的增函数
C.f(x)＋f(2－x)＝2
D.关于x 的不等式f(x)<0 的解集为(－∞,1)
答案 BD
解析 由定义域为R 的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),因此函数f(x)关于点(1,0)对称,
由对任意x1,x2∈[1,＋∞),且x1≠x2,都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0,得f(x)在[1,＋∞)上单调递增,由函数的对称性知,f(x)
在(－∞,1]上单调递增,又f(1)＝0,因此f(x)是R 上的增函数,B 正确；
显然f(－1)<f(1)＝0,则f(x)的图象不关于点(－1,0)对称,A 错误；
由f(x)关于点(1,0)对称,得f(x)＋f(2－x)＝0,C 错误；
显然f(1)＝0,又f(x)在R 上单调递增,则由f(x)<0,得x<1,D 正确.
8.(2024·菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y＝f(2x＋2)为奇函数,且对∀x∈R,都有f(x＋1
2)＝f(
3
2 - x),定义
在R 上的函数f'(x)为f(x)的导函数,则以下结论一定正确的是( )
A.f(x＋2)为奇函数
B.f(
7
2)＝f(
1
2)
C.f'(
1
2)＝－f'(
3
2)
D.f'(x)为偶函数
答案 ACD
解析 因为f(2x＋2)为奇函数,则f(－2x＋2)＝－f(2x＋2),可得f(－x＋2)＝－f(x＋2),所以f(x＋2)为奇函数,故
A 正确；
又因为f(x＋1
2)＝f(
3
2 - x),可得f(x＋1)＝f(1－x),则f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋2),可得f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x
＋4)]＝f(x＋4),所以f(x)是以4 为周期的周期函数,可得f(
7
2)＝f(- 1
2),但没有足够条件推出f(
1
2)＝f(- 1
2),故
B 错误；
因为f(x＋1)＝f(1－x),则f'(x＋1)＝－f'(1－x),令x＝－1
2 ,则f'(
1
2)＝－f'(
3
2),故C 正确；
因为f(－x＋2)＝－f(x＋2),则f'(－x＋2)＝f'(x＋2),可得f'(－x)＝f'(x＋4),又因为f'(x)＝f'(x＋4),则f'(－x)＝f'(x),
所以f'(x)为偶函数,故D 正确.
三、填空题(每小题5 分,共10 分)
9.(2024·杭州模拟)已知f(x)为定义在R 上的奇函数,且是最小正周期为T 的周期函数,则sin[
π
3 ＋f(
T
2)]的值
为 .
答案 √3
2
解析 因为f(x)的最小正周期为T,
故f(
T
2)＝f(
T
2 -T)＝f(- T
2),
又f(x)为奇函数,故f(- T
2)＝－f(
T
2),
故f(
T
2)＝－f(
T
2),
即2f(
T
2)＝0,
解得f(
T
2)＝0,
故sin[
π
3 ＋f(
T
2)]＝sin π
3 ＝√3
2 .
10.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1＋3x)＝f(1－3x),且f(2x＋4)关于点(－2,0)对称,当0≤x≤1 时,f(x)＝2x－
a,则
2024
Σ
k ＝1
(k＋1)f(k)＝ .
答案 －1 012
解析 因为f(1＋3x)＝f(1－3x),
令t＝3x,则f(1＋t)＝f(1－t),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称,
则f(2＋x)＝f(－x),
因为函数f(2x＋4)的图象关于点(－2,0)对称,
设g(x)＝f(2x＋4),则g(x)＋g(－4－x)＝0,
即f(2x＋4)＋f[2(－x－4)＋4]＝0,
即f(2x＋4)＋f(－2x－4)＝0,
令s＝2x＋4,则f(s)＋f(－s)＝0,
故函数f(x)为奇函数,
所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x),则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x),
故函数f(x)是周期为4 的周期函数,
则f(0)＝0,当0≤x≤1 时,f(x)＝2x－a,
则f(0)＝20－a＝0,可得a＝1,
即当0≤x≤1 时,f(x)＝2x－1,
所以f(1)＝2－1＝1,f(2)＝f(0)＝0,
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1,f(4)＝f(0)＝0,
所以
2024
Σ
k ＝1
(k＋1)f(k)＝2f(1)＋3f(2)＋4f(3)＋5f(4)＋…＋2 025f(2 024)
＝2－4＋6－8＋…＋2 022－2 024
＝(2－4)＋(6－8)＋(10－12)＋…＋(2 022－2 024)
＝－2×506＝－1 012.
