§8.2 两条直线的位置关系
课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上
两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2
与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置
关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1= k 2且
b 1≠
b 2
A1B2- A 2B1=0
，且
A 1C2-
A2C1≠
0(
或
B 1C2- B 2C1≠
0)
垂直
k1· k 2=-1
A1A2+ B 1B2=0
相交
k1≠
k 2
A1B2- A 2B1≠
0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|=√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=√x
2+ y
2.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0 的距离d=
|A x0+ B y0+C |
√A
2+ B
2
.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax+By+C1=0 与l2：Ax+By+C2=0 间的距离d=
|C1-C2|
√A
2+ B
2 .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(4)若点A，B 关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB 的斜率等于-1
k ，且线段AB 的中点在直线l 上.(
√ )
2.(2025·福州模拟)若直线l1：ax+2y-1=0 与直线l2：(a-1)x-y-1
2=0 垂直，则实数a 的值是( )
A.-1 或2
B.-1
C.2
D.2
3
答案 A
解析 直线l1：ax+2y-1=0 与直线l2：(a-1)x-y-1
2=0 垂直，则有a(a-1)-2=0，解得a=-1 或a=2.
3.两条平行直线x+y+4=0 与2x+2y+3=0 间的距离为( )
A.√2
8
B.√2
2
C.3√2
4
D.5√2
4
答案 D
解析 因为直线x+y+4=0，即2x+2y+8=0，
原问题转化为求两条平行直线2x+2y+8=0 与2x+2y+3=0 间的距离，
由两条平行直线间的距离公式可得d=|8-3|
√2
2+2
2= 5
2√2=5√2
4
.
4.过直线x+y+1=0 和3x-y-3=0 的交点，且倾斜角为45°的直线方程为 .
答案 x-y-2=0
解析 联立{
x + y +1=0,
3 x - y -3=0,可得{
x = 1
2 ,
y =- 3
2 ,
故交点为(
1
2 ，- 3
2)，又倾斜角为45°，所以斜率为1，故直线方
程为y+3
2=x-1
2，即x-y-2=0.
谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)已知直线l1：ax+y-2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，l3：-2bx+y+1=0，a，b∈R，若l1∥l2，
l1⊥l3，则b 等于( )
A.-1
2或1
4
B.1
2
C.1
2或-1
4
D.1
4
答案 B
解析 已知直线l1：ax+y-2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，l3：-2bx+y+1=0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a(a+1)-2=0，解得a=-2 或a=1，
当a=-2 时，l1：-2x+y-2=0，即2x-y+2=0，l2：2x-y+2=0，所以l1与l2重合，不符合题意；
当a=1 时，l1：x+y-2=0，l2：2x+2y+2=0，即x+y+1=0，所以l1∥l2.
故a=1，
由l1⊥l3，得-2b+1=0，故b=1
2.
(2)(2025·许昌模拟)已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，-2)，C(5，1)，D(2，3)，
则四边形ABCD 的形状是( )
A.平行四边形
B.正方形
C.菱形
D.矩形
答案 B
解析 因为kAB=-2
3，kBC=3
2，
kCD=-2
3，kAD=3
2，
所以kAB=kCD，kBC=kAD，
所以AB∥CD，BC∥AD，
所以四边形ABCD 是平行四边形，
又kABkAD=-1，则AB⊥AD，所以四边形ABCD 是矩形，
又|AB|=√3
2+(-2)
2=√13，|BC|=√(3-5)
2+(-2-1)
2=√13，即|AB|=|BC|，
所以四边形ABCD 是正方形.
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：a2x-y+a2-3a=0，l2：(4a-3)x-y-2=0，若l1∥l2，则a 等于( )
A.1
B.1 或2
C.1 或3
D.3
答案 D
解析 直线l1：a2x-y+a2-3a=0，l2：(4a-3)x-y-2=0，可化为
l1：y=a2x+a2-3a，l2：y=(4a-3)x-2，
因为l1∥l2，
所以{
a
2= 4 a-3,
a
2-3a≠-2,解得a=3.
(2)(多选)△ABC 的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是( )
A.边BC 与直线3x-2y+1=0 平行
B.边BC 上的高所在的直线方程为3x+2y-12=0
C.过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0
D.过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D(3，5)
答案 BD
解析 直线BC 的斜率为k=7 -3
6-0=2
3，而直线3x-2y+1=0 的斜率为3
2，两直线不平行，A 错误；
边BC 上的高所在直线斜率为-3
2，直线方程为y=-3
2(x-4)，即3x+2y-12=0，B 正确；
过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y-13=0，过原点时方程为7x-6y=0，C 错误；
过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 的中点，中点坐标为(3，5)，D 正确.
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)(2024·南阳质检)点P 为直线2x-3y+1=0 和x+y-2=0 的交点，则点P 到直线l：kx-y+k+2=0 的
最大距离为( )
A.√5
5
B.√5
C.6√5
5
D.5
答案 B
解析 由{
2 x -3 y +1=0,
x + y -2=0, 得{
x =1,
y =1,即P(1，1)，
直线l：k(x+1)+2-y=0，所以直线l 过定点A(-1，2)，
所以当直线AP 与直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大，
且最大值为|AP|=√(1+1)
2+(1-2)
2=√5.
(2)(2024·武汉模拟)若两条平行直线l1：x-2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny-8=0 之间的距离是2√5，则m-n=
.
答案 10
解析 由题意可得1
2=-2
n，解得n=-4，
此时l1的方程为x-2y+m=0，l2的方程为x-2y-4=0，
则2√5=
|m -(- 4)|
√1
2+(-2)
2，
即|m+4|=10，解得m=6 或m=-14，
又m>0，所以m=6，
故m-n=10.
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x=a 的距离d=|x0-a|，到直线y=b 的距离d=|y0-b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
跟踪训练2 (1)过两条直线l1：x+2y-4=0，l2：2x-y-3=0 的交点，且与直线x+3y+1=0 垂直的直线的
方程为( )
A.3x-y-5=0
B.6x-2y-3=0
C.x-3y+3=0
D.3x+y-7=0
答案 A
解析 由{
x +2 y - 4 =0,
2 x - y -3=0,得{
x =2,
y =1,
设与直线x+3y+1=0 垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则3×2-1+m=0，得m=-5，
所以所求直线方程为3x-y-5=0.
(2)(多选)(2024·九江模拟)已知两条平行直线l1：x+√3y+1=0，l2：x+√3y-3=0.若直线l 被l1，l2截得的
线段长为2√2，则直线l 的倾斜角可能是( )
A.15°
B.75°
C.105°
D.165°
答案 AC
解析 ∵直线l 被l1，l2截得的线段长为2√2，
两平行直线的距离d=
|1-(-3)|
√1
2+(√3)
2=2，
∴直线l 和l1，l2的夹角为45°，
又直线l1，l2的倾斜角为150°，
∴直线l 的倾斜角可能是15°或105°.
直线系方程
常见的直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A，B 不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C1≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A，B 不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+C2=0.
(3)过直线l1：A1x+B1y+C1=0 与l2：A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但
不包括直线l2.
典例 过两直线l1：x-3y+4=0 和l2：2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( )
A.3x-19y=0
B.19x-3y=0
C.19x+3y=0
D.3x+19y=0
答案 D
解析 设过两直线交点的直线系方程为
x-3y+4+λ(2x+y+5)=0，
代入原点坐标，得4+5λ=0，解得λ=-4
5 ，
故所求直线方程为x-3y+4-4
5 (2x+y+5)=0，即3x+19y=0.
题型三 对称问题
例3 已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A'的坐标；
(2)直线m：3x-2y-6=0 关于直线l 对称的直线m'的方程；
(3)直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.
解 (1)设A'(x，y)，由已知条件得
{
y +2
x +1 × 2
3 =-1,
2× x -1
2
-3× y -2
2
+1=0,
解得{
x =- 33
13 ,
y = 4
13 .
所以A'(- 33
13 ，4
13).
(2)在直线m 上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
{
2× a+2
2
-3× b+0
2
+1=0,
b-0
a-2 × 2
3 =-1,
得M'(
6
13 ，30
13).
设直线m 与直线l 的交点为Q，
由{
2 x -3 y +1=0,
3 x -2 y -6=0,得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为
y -3
30
13 -3=
x - 4
6
13 - 4 ，即9x-46y+102=0.
(3)方法一 在l：2x-3y+1=0 上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q 关于点A(-1，-2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(-3，-5)，Q'(-6，-7)，
所以l'的方程为y +5
-7+5 = x +3
-6+3 ，即2x-3y-9=0.
方法二 因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x-3y+C=0(C≠1).
因为点A(-1，-2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得
|-2+6+ C|
√2
2+(-3)
2 =
|-2+6+1|
√2
2+(-3)
2 ，得C=-9，
所以l'的方程为2x-3y-9=0.
思维升华 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
跟踪训练3 (1)直线3x-2y=0 关于点(
1
3 ，0)对称的直线方程为( )
A.2x-3y=0
B.3x-2y-2=0
C.x-y=0
D.2x-3y-2=0
答案 B
解析 方法一 设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点(
1
3 ，0)对称的点为(
2
3 - x，- y)，
因为点(
2
3 - x，- y)在直线3x-2y=0 上，
所以3(
2
3 - x)-2(-y)=0，
化简得3x-2y-2=0，
所以所求直线方程为3x-2y-2=0.
方法二 在直线3x-2y=0 上任取两点O(0，0)，
M(2，3)，
设点O，M 关于点(
1
3 ，0)的对称点分别为O'，M'，
则O'(
2
3 ，0)，M'(- 4
3 ，-3)，
所以所求直线方程为y -(-3)
0-(-3)=
x -(- 4
3)
2
3 -(- 4
3)
，
即3x-2y-2=0.
(2)设直线l1：x-2y-2=0 与l2关于直线l：2x-y-4=0 对称，则直线l2的方程是( )
A.11x+2y-22=0
B.11x+y+22=0
C.5x+y-11=0
D.10x+y-22=0
答案 A
解析 联立{
x -2 y -2=0,
2 x - y - 4 =0,得{
x =2,
y =0,
取直线l1：x-2y-2=0 上一点(0，-1)，设点(0，-1)关于直线l：2x-y-4=0 的对称点为(a，b)，则
{
b+1
a
=- 1
2 ,
2× a
2 - b-1
2
- 4 =0,
解得{
a= 12
5 ,
b=- 11
5 ,
直线l2的斜率k=
- 11
5 -0
12
5 -2
=-11
2 ，
所以直线l2的方程为y=-11
2 (x-2)，
整理为11x+2y-22=0.
课时精练
(分值：73 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知直线l1：x+(a-1)y-3=0 与直线l2：x+2y+3=0 相互垂直，则a 的值为( )
A.1
2
B.1
C.3
D.-1
2
答案 A
解析 ∵l1⊥l2，∴1×1+(a-1)·2=0，解得a=1
2.
2.“m=-3”是“直线2x+(m+1)y+4=0 与直线mx+3y-2=0 平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由直线2x+(m+1)y+4=0 与直线mx+3y-2=0 平行，得2
m=m+1
3
≠4
-2 且m≠0，解得m=2 或m=-3，所以
“m=-3”是“直线2x+(m+1)y+4=0 与直线mx+3y-2=0 平行”的充分不必要条件.
3.直线3x-(k+2)y+k+5=0 与直线kx+(2k-3)y+2=0 相交，则k 的取值范围是( )
A.{k|k≠1}
B.{k|k≠-9}
C.{k|k≠1 且k≠9}
D.{k|k≠1 且k≠-9}
答案 D
解析 由题意得3(2k-3)-k·[-(k+2)]≠0，
解得k≠1 且k≠-9.
4.(2025·绵阳模拟)已知A(-2，0)，B(4，m)两点到直线l：x-y+1=0 的距离相等，则m 等于( )
A.-2
B.6
C.-2 或4
D.4 或6
答案 D
解析 点A 到直线l 的距离为
|-2+1|
√1
2+(-1)
2=√2
2 ，
点B 到直线l 的距离为
|4 -m+1|
√1
2+(-1)
2 =√2|5- m|
2
，
因为点A 到直线l 的距离和点B 到直线l 的距离相等，
所以|5-m|=1，所以m=4 或m=6.
5.(2024·绍兴模拟)原点O 到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A.√2
5
B.2√2
5
C.4√2
5
D.√2
答案 D
解析 直线l：λx+y-λ+1=0，可化为l：λ(x-1)+y+1=0，
令{
x -1=0,
y +1=0,解得{
x =1,
y =-1,
所以直线l 过定点P(1，-1)，
当OP⊥l 时，原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离最大，最大值为|OP|=√2.
6.过定点M(1，2)作两条相互垂直的直线l1，l2，设原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大
值为( )
A.√5
B.2√5
C.√10
D.√5
2
答案 C
解析 如图所示，作OP⊥l1交l1于点P，作OQ⊥l2交l2于点Q，
可得四边形OPMQ 为矩形，连接OM，
所以d1
2+d2
2=|OM|2=12+22=5，
又由基本不等式可知，d1+d2
2
≤√
d1
2+d2
2
2
，
所以d1+d2
2
≤√
5
2，
即d1+d2≤√10，当且仅当d1=d2=√10
2 时，等号成立，
故d1+d2的最大值为√10.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
7.(2024·南平模拟)已知直线l1：4x-3y-3=0，直线l2：(m+2)x-(m+1)y+m=0(m∈R)，则( )
A.当m=-1 时，l1⊥l2
B.当m=2 时，l1∥l2
C.当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为1
D.直线l1与l2不可能重合
答案 BCD
解析 当m=-1 时，l2：x-1=0，显然与l1不垂直，A 不正确；
当m=2 时，l2：4x-3y+2=0，因为4
4 =-3
-3 ≠-3
2 ，所以l1∥l2，B 正确；
当l1∥l2时，4m+4=3m+6 且3m≠-3m-3，解得m=2，此时l2：4x-3y+2=0，l1与l2之间的距离为d=
|2-(-3)|
√4
2+(-3)
2=1，C 正确；
若两直线重合，则m+2
4
=-(m+1)
-3
= m
-3 ，该方程无解，所以两直线不可能重合，D 正确.
8.若三条不同的直线l1：ax+y+2=0，l2：x+y-1=0，l3：x-y+3=0 不能围成一个三角形，则a 的取值可能为(
)
A.-1
B.-1
2
C.1
D.4
答案 ACD
解析 若l1∥l2，则a=1；
若l1∥l3，则-a=1，解得a=-1；
若l1，l2，l3交于一点，联立方程组{
x + y -1=0,
x - y +3=0,解得{
x =-1,
y =2,
代入ax+y+2=0，得-a+2+2=0，解得a=4，
综上，a 的取值集合为{4，-1，1}.
9.(2024·太原模拟)已知直线l1：x+y=0，l2：2x-3y-6=0，则下列说法正确的是( )
A.直线l1与l2相交于点(
6
5 ，- 6
5)
B.直线l1，l2和x 轴围成的三角形的面积为6
5
C.直线l2关于原点O 对称的直线方程为2x-3y+6=0
D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x-2y+6=0
答案 AC
解析 由{
x + y =0,
2 x -3 y -6=0,解得{
x = 6
5 ,
y =- 6
5 ,
所以交点坐标为(
6
5 ，- 6
5)，所以A 选项正确；
直线l2：2x-3y-6=0 与x 轴的交点为(3，0)，与y 轴的交点为(0，-2)，直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2
和x 轴围成的三角形的面积为1
2×3×6
5=9
5，所以B 选项错误；
由上述分析可知，直线l2关于原点O 对称的直线过点(-3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O 对称的直线
方程为y-2=
2-0
0-(-3)(x-0)，即2x-3y+6=0，所以C 选项正确；
点(3，0)关于直线x+y=0 的对称点是(0，-3)，点(0，-2)关于直线x+y=0 的对称点是(2，0)，所以直线l2关于
直线l1对称的直线方程为x
2+ y
-3 =1，即3x-2y-6=0，所以D 选项错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
10.经过点P(1，0)和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0 交点的直线方程为 .
答案 x+y-1=0
解析 设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0，点P(1，0)在直线上，
∴1-2+λ(3+2)=0，解得λ=1
5，
∴所求直线方程为x+2y-2+1
5×(3x-2y+2)=0，即x+y-1=0.
11.已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕点A，B 旋转，平行线之间的距离最大时
两平行直线方程分别为 .
答案 3x+y-20=0 和3x+y+10=0
解析 两条平行直线分别过点A(6，2)，B(-3，-1)，并且各自绕点A，B 旋转，
当直线AB 与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
因为直线AB 的斜率kAB=2+1
6+3=1
3，
故这两条平行直线的斜率为-3，
则两平行直线方程分别为y-2=-3(x-6)，y+1=-3(x+3)，
即3x+y-20=0 和3x+y+10=0.
12.(2024·贵州模拟)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗
句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军观望烽火之后，从山脚下的某处返
回军营，途中须到河边让马饮水然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐
标系中，军营所在位置为坐标原点O(0，0)，将军从山脚下的点P(1，1)处出发返回军营，河岸线所在直线
方程为x-y+2=0.则返回总路程最短为 .
答案 √10
解析 过P 作关于直线x-y+2=0 对称的点Q，如图，
设Q(a，b)，
所以{
b-1
a-1 =-1,
a+1
2
- b+1
2
+2=0,
解得{
a=-1,
b=3,
所以Q(-1，3)，故最短距离为|QO|=√10.
每小题5 分，共10 分
13.设m∈R，过定点A 的动直线x+my=0 和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0 交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最
大值是( )
A.√5
B.√10
C.5
D.10
答案 C
解析 显然x+my=0 过定点A(0，0)，直线mx-y-m+3=0 可化成y=m(x-1)+3，则经过定点B(1，3)，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件，得1×m+m×(-1)=0，
于是直线x+my=0 和直线mx-y-m+3=0 垂直，
又P 为两条直线的交点，则PA⊥PB，
又|AB|=√(1-0)
2+(3-0)
2=√10，
由勾股定理和基本不等式，
|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥2|PA|·|PB|，则|PA|·|PB|≤5，
当且仅当|PA|=|PB|=√5时，等号成立，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
14.正方形ABCD 的两个顶点A，B 在直线x+y-4=0 上，另两个顶点C，D 分别在直线2x-y-1=0，4x+y-23=0
上，那么正方形ABCD 的边长为 .
答案 2√2或14√2
解析 设直线CD 的方程为x+y+m=0，
联立{
2 x - y -1=0,
x + y +m=0, 得C(
1-m
3
，-1-2m
3
)，
联立{
4 x + y -23=0,
x + y +m=0, 得D(
m+23
3
，-23- 4 m
3
)，
∴由两点间的距离公式可得|CD|=2√2
3 |m+11|，
又直线AB 与CD 的距离为d=|m + 4|
√2
，
∴2√2
3
|m+11|=|m + 4|
√2
，
解得m=-8 或m=-32，即|CD|=2√2或14√2.
即正方形的边长为2√2或14√2.
