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专题01 集合与逻辑(讲义)
一、集合及其运算
1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；
2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；
3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x 满足P｝；读法：
满足条件P 的x 的集合；
4．空集Ø 是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“
，⊆”表示集合与集合间的包含关系．
6．给出下列条件：
①集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素；
②集合B 至少存在一个元素不在集合A 中；
③集合B 中任何一个元素都是集合A 中的元素，
如果集合A、B 满足①，则A 是B 的子集（A⊆B）；
如果集合A、B 满足①②，则A 是B 的真子集（A
B）；
如果集合A、B 满足①③，则A 与B 是相等的集合（A＝B）.
注意：①A⊆B，讨论时别忘A＝Ø 的情况；考察集合的关系借助韦思图；
②几个特殊数集之间的包含关系为：N
Z
Q
R
C（N*表示正整数集）；
③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø 是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0 的集合，它不是空集，
因为它有一个元素，这个元素是0．{Ø}是含有一个元素Ø 的集合，其关系为：Ø
{0}，Ø
{Ø}，
Ø {
∈Ø}．
7．集合的含义：
（1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域；
（2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域；
（3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合··
8．集合间的基本运算：
(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B，即
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A∪B，即
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补
集，简称为集合A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
9．运算性质：
A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C；
Ø⊆A∩B＝B∩A⊆A（或B）⊆A∪B＝B∪A；
1
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A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø
10．几个结论：
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集有2n－1 个，非空真子集有
2n－2 个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.容斥定理：记集合M 中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card
（A∩B)(可推广到有限个集合)
11．正整数（整数）分类：被2 整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）；
被3 整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）；
被4 整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k N
∈（或Z），k≥1）；其余依此类推．
二、命题
1.命题的概念
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为
真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
2.命题的形式
在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.
3.真命题，假命题
命题：“若p,则q”,如果由题设p 能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命
题.
温馨提示
一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句
等都不是命题，
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，
则不是命题。
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学
上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。
(5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各
种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
三、充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p q”,
⇒
这时称p 是q 的充分
条件，q 是p 的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p 推不出q,记作p q,
⇏
这时称p 不是q 的充
分条件，q 不是p 的必要条件 .
2 .充要条件
一般地，如果既有p q,
⇒
又有q p,
⇒
就记作 p
q.
⇔此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.概括地说，如果p
q,
⇔
那么p 与q 互为充要
条件.
3.常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p 与q 的关系如下：
2
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原命题
逆命题
p 与q 的关系
结论
真
假
p q
⇒
且 q p
⇏
p 是q 的充分不必要条件
假
真
p q
⇏且q p
⇒
p 是q 的必要不充分条件
真
真
p q
⇒
且q p
⇒
p 是q 的充要条件
假
假
p q
⇏
且 q p
⇏
p 是q 的既不充分也不必要条件
四、证明命题成立的方法
1．综合法、分析法
内容
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发，利用定义、公
理、定理及运算法则，通过演绎推
理，一步一步地接近要证明的结
论，直到完成命题的证明．我们把
这样的思维方法称为综合法
从求证的结论出发，一步一步地探
索保证前一个结论成立的充分条
件，直到归结为这个命题的条件，
或者归结为定义、公理、定理等．
我们把这样的思维方法称为分析法
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
→
→…→
→→…→
文字
语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……
即证……
2．反证法
(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、
定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此
断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
3.常见词语的否定词语
原词
等于
(=)
大于
(>)
小于
(<)
是
都是
至多
有一个
至多
有n 个
至少
有一个
否定
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有
两个
至少有
(n+1)个
一个也
没有
一、单选题
1．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
3
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①与0 非常接近的全体实数能构成集合；
②
表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．下列命题中正确的是（ ）
①
与
表示同一个集合
②由1，2，3 组成的集合可表示为
或
③方程
的所有解的集合可表示为
④集合
可以用列举法表示
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上都对
3．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
4．已知集合
，则
与集合
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，集合
，则
（ ）
A．1
B．－1
C．0
D．－2
6．设全集
，若集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知六个关系式①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，它们中关系
4
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表达正确的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．若集合
，其中
且
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设集合
，则集合M 的真子集个数为（ ）
A．8
B．7
C．32
D．31
10．若集合
有15 个真子集，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．设集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
14．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知集合
的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{－1，1}
D．{0,-1，1}
16．已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
17．下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③
的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0
B．1
C．2
D．3
18．若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
19．已知集合
，用列举法表示
为 .
20．设全集
，集合
，则
．
21．“
或
”的否定形式为 ．
22．已知全集
，则
.
23．用反证法证明命题：“已知
，则
且
”时，应假设 .
24．已知
是
的充分非必要条件，
的充要条件是，则是
的 条件.
25．
，
或
，且
，则
的取值范围是 .
26．已知
且
的充分不必要条件是
，则
的取值范围是 .
27．已知全集
，
，
，指出Venn 图中阴影部分表示的集合是
.
.
28．设集合
，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为
6
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.
29．如图，已知
是全集，
、
、
是
的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为
30．已知
是全集，
是
的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ．
31．“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学
生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100 位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学
生共有90 位，使用过“扫码支付”的学生共有80 位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生
共有60 位，则这100 位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
32．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15 种水果，第二天售出了12 种水果，第
三天售出14 种水果，前两天售出相同种类的水果有7 种，后两天售出相同种类的水果有6 种．那么该水果
这三天售出的水果至少有 种．
7
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