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2019 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）|﹣6|＝（ ）
A．﹣6
B．6
C．﹣
D．
2．（3 分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生
态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别
为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A．5
B．5.2
C．6
D．6.4
3．（3 分）如图，有一斜坡AB，坡顶B 离地面的高度BC 为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若
tan∠BAC＝
，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）
A．75m
B．50m
C．30m
D．12m
4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3﹣2＝﹣1
B．3×（﹣
）2＝﹣
C．x3•x5＝x15
D．
•
＝a
5．（3 分）平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
6．
（3 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8 个，甲做120 个所用的时间与
乙做150 个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
7．
（3 分）如图，▱ABCD 中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD 相交于点O，且E，F，G，H 分别是
AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH 是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2 倍
8．（3 分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝
的图象上，则y1，y2，y3的大
小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y1＜y2＜y3
9．（3 分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC，AD 于点E，F，若BE
＝3，AF＝5，则AC 的长为（ ）
A．4
B．4
C．10
D．8
10．（3 分）关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0 有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）
（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k 的值（ ）
A．0 或2
B．﹣2 或2
C．﹣2
D．2
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（3 分）如图，点A，B，C 在直线l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P 到直线
l 的距离是 cm．
12．（3 分）代数式
有意义时，x 应满足的条件是 ．
13．（3 分）分解因式：x2y+2xy+y＝ ．
14．（3 分）一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三
角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α 的度数为 ．
15．
（3 分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧
面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
16．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为a，点E 在边AB 上运动（不与点A，B 重合），∠DAM
＝45°，点F 在射线AM 上，且AF＝
BE，CF 与AD 相交于点G，连接EC，EF，EG，则下
列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为（1+
）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF 的面积的最
大值
a2．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（共9 小题，满分102 分）
17．（9 分）解方程组：
．
18．（9 分）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．
19．（10 分）已知P＝
﹣
（a≠±b）
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣
的图象上，求P 的值．
20．（10 分）某中学抽取了40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘
制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A 组
0≤t＜1
2
B 组
1≤t＜2
m
C 组
2≤t＜3
10
D 组
3≤t＜4
12
E 组
4≤t＜5
7
F 组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m 的值；
（2）求B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F 组的学生中，只有1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F
组中随机选取2 名学生，恰好都是女生．
21．（12 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性
新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5 万座，计划到2020 年底，全省5G 基站
数是目前的4 倍，到2022 年底，全省5G 基站数量将达到17.34 万座．
（1）计划到2020 年底，全省5G 基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．
22．（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P（﹣1，
2），AB⊥x 轴于点E，正比例函数y＝mx 的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A，P
两点．
（1）求m，n 的值与点A 的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB 的值．
23．（12 分）如图，⊙O 的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D 不与B 重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写
作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长．
24．（14 分）如图，等边△ABC 中，AB＝6，点D 在BC 上，BD＝4，点E 为边AC 上一动点（不
与点C 重合），△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F 在AC 上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD 的面积为S1，△ABF 的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S 是否存在最大值？若存在，
求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E 三点共线时．求AE 的长．
25．（14 分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3 有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3 的最小值（用含m 的式子表示）；
（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线
G1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量
x 的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G 与函数H 的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐
标的取值范围．
2019 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）|﹣6|＝（ ）
A．﹣6
B．6
C．﹣
D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣6 的绝对值是|﹣6|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负
数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．
2．（3 分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生
态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别
为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A．5
B．5.2
C．6
D．6.4
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：5 出现的次数最多，是5 次，所以这组数据的众数为5
故选：A．
【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．
3．（3 分）如图，有一斜坡AB，坡顶B 离地面的高度BC 为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若
tan∠BAC＝
，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）
A．75m
B．50m
C．30m
D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC 的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝
，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝
，
解得，AC＝75，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3﹣2＝﹣1
B．3×（﹣
）2＝﹣
C．x3•x5＝x15
D．
•
＝a
【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；
B、3×（﹣
）2＝
，故此选项错误；
C、x3•x5＝x8，故此选项错误；
D、
•
＝a
，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
5．（3 分）平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，
∴d＞r，
∴点P 与⊙O 的位置关系是：P 在⊙O 外，
∵过圆外一点可以作圆的2 条切线，
故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1 个公
共点的直线，理解定义是关键．
6．
（3 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8 个，甲做120 个所用的时间与
乙做150 个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
【分析】设甲每小时做x 个零件，根据甲做120 个所用的时间与乙做150 个所用的时间相
等得出方程解答即可．
【解答】解：设甲每小时做x 个零件，可得：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
7．
（3 分）如图，▱ABCD 中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD 相交于点O，且E，F，G，H 分别是
AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH 是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2 倍
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H 分别是AO，BO，CO，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝
AD＝2，HG＝
AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A 错误；
∵E，F，G，H 分别是AO，BO，CO，DO 的中点，
∴EH＝
，
∴四边形EFGH 是平行四边形，故选项B 正确；
由题目中的条件，无法判断AC 和BD 是否垂直，故选项C 错误；
∵点E、F 分别为OA 和OB 的中点，
∴EF＝
，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴
，
即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4 倍，故选项D 错误，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3 分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝
的图象上，则y1，y2，y3的大
小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝
的图象上，
∴y1＝
＝﹣6，y2＝
＝3，y3＝
＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特
征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
9．（3 分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC，AD 于点E，F，若BE
＝3，AF＝5，则AC 的长为（ ）
A．4
B．4
C．10
D．8
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE
得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝
＝4，再由勾股定理求出AC 即可．
【解答】解：连接AE，如图：
∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF 和△COE 中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝
＝
＝4，
∴AC＝
＝
＝4
；
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
10．（3 分）关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0 有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）
（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k 的值（ ）
A．0 或2
B．﹣2 或2
C．﹣2
D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣
2）+2x1x2＝﹣3 可求出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0 可得出关于k 的一
元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0 的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x 的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0 有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2
﹣1 或k≤﹣2
﹣1，
∴k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣
x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k 的值是解题的关键．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（3 分）如图，点A，B，C 在直线l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P 到直线
l 的距离是
5
cm．
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，
∴P 到l 的距离是垂线段PB 的长度5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段
的长度．
12．（3 分）代数式
有意义时，x 应满足的条件是
x ＞
8
．
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围．
【解答】解：代数式
有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（3 分）分解因式：x2y+2xy+y＝
y （
x +1
）
2
．
【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，
故答案为：y（x+1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（3 分）一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三
角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α 的度数为
15°
或
60°
．
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC 时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC 时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清
定义是解答本题的关键．
15．
（3 分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧
面展开扇形的弧长为
．（结果保留π）
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2 的等腰直角三角形，
∴斜边长为2
，
则底面圆的周长为2
π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2
π，
故答案为2
π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
16．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为a，点E 在边AB 上运动（不与点A，B 重合），∠DAM
＝45°，点F 在射线AM 上，且AF＝
BE，CF 与AD 相交于点G，连接EC，EF，EG，则下
列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为（1+
）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF 的面积的最
大值
a2．
其中正确的结论是
①④
．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①正确．如图1 中，在BC 上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），
即可解决问题．
②③错误．如图2 中，延长AD 到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明
△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝
x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最
值问题．
【解答】解：如图1 中，在BC 上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝
BE，∵AF＝
BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2 中，延长AD 到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG 的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故
②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝
x，
∴S△AEF＝
•（a﹣x）×x＝﹣
x2+
ax＝﹣（x2﹣ax+
a2﹣
a2）＝﹣（x﹣
a）2+
a2，
∵﹣
＜0，
∴x＝
a 时，△AEF 的面积的最大值为
a2．故④正确，
故答案为①④．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共9 小题，满分102 分）
17．（9 分）解方程组：
．
【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解：
，
②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，
把y＝2 代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
18．（9 分）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．
【分析】利用AAS 证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE 与△CFE 中：
∵
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形
全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
19．（10 分）已知P＝
﹣
（a≠±b）
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣
的图象上，求P 的值．
【分析】（1）P＝
﹣
＝
＝
＝
；
（2）将点（a，b）代入y＝x﹣
得到a﹣b＝
，再将a﹣b＝
代入化简后的P，即可求解；
【解答】解：（1）P＝
﹣
＝
＝
＝
；
（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣
的图象上，
∴b＝a﹣
，
∴a﹣b＝
，
∴P＝
；
【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与
函数解析式的关系是解题的关键．
20．（10 分）某中学抽取了40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘
制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A 组
0≤t＜1
2
B 组
1≤t＜2
m
C 组
2≤t＜3
10
D 组
3≤t＜4
12
E 组
4≤t＜5
7
F 组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m 的值；
（2）求B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F 组的学生中，只有1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F
组中随机选取2 名学生，恰好都是女生．
【分析】（1）用抽取的40 人减去其他5 个组的人数即可得出m 的值；
（2）分别用360°乘以B 组，C 组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
（3）画出树状图，即可得出结果．
【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；
（2）B 组的圆心角＝360°×
＝45°，
C 组的圆心角＝360°或
＝90°．
补全扇形统计图如图1 所示：
（3）画树状图如图2：
共有12 个等可能的结果，
恰好都是女生的结果有6 个，
∴恰好都是女生的概率为
＝
．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练
掌握．
21．（12 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性
新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5 万座，计划到2020 年底，全省5G 基站
数是目前的4 倍，到2022 年底，全省5G 基站数量将达到17.34 万座．
（1）计划到2020 年底，全省5G 基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020 年全省5G 基站的数量＝目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x，根据2020 年底及
2022 年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020 年底，全省5G 基站的数量是6 万座．
（2）设2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
22．（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P（﹣1，
2），AB⊥x 轴于点E，正比例函数y＝mx 的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A，P
两点．
（1）求m，n 的值与点A 的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB 的值．
【分析】（1）根据点P 的坐标，利用待定系数法可求出m，n 的值，联立正、反比例函数解析
式成方程组，通过解方程组可求出点A 的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点
P 的坐标找出点A 的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，
结合AB⊥x 轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A 的坐标可得出AE，OE，AO 的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，
再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB 的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝
，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣
．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：
，
解得：
，
，
∴点A 的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x 轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝
＝
．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝
＝
＝
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次
函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的
判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出
m，n 的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相
似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
23．（12 分）如图，⊙O 的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D 不与B 重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写
作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长．
【分析】（1）以C 为圆心，CB 为半径画弧，交⊙O 于D，线段CD 即为所求．
（2）连接BD，OC 交于点E，设OE＝x，构建方程求出x 即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段CD 即为所求．
（2）连接BD，OC 交于点E，设OE＝x．
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝
＝
＝6，
∵BC＝CD，
∴
＝
，
∴OC⊥BD 于E．
∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x＝
，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝
，
∴四边形ABCD 的周长＝6+6+10+
＝
．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
利用参数，构建方程解决问题．
24．（14 分）如图，等边△ABC 中，AB＝6，点D 在BC 上，BD＝4，点E 为边AC 上一动点（不
与点C 重合），△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F 在AC 上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD 的面积为S1，△ABF 的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S 是否存在最大值？若存在，
求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E 三点共线时．求AE 的长．
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D 作DM⊥AB 交AB 于点M，由题意可得点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，
由△ACD 的面积为S1的值是定值，则当点F 在DM 上时，S△ABF最小时，S 最大；
（3）过点D 作DG⊥EF 于点G，过点E 作EH⊥CD 于点H，由勾股定理可求BG 的长，通
过证明△BGD∽△BHE，可求EC 的长，即可求AE 的长．
【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F 在AC 上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
∴DF∥AB；
（2）存在，
过点D 作DM⊥AB 交AB 于点M，
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2
∴DF＝2，
∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，
∴当点F 在DM 上时，S△ABF最小，
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°
∴MD＝2
∴S△ABF的最小值＝
×6×（2
﹣2）＝6
﹣6
∴S 最大值＝
×2×3
﹣（6
﹣6）＝﹣3
+6
（3）如图，过点D 作DG⊥EF 于点G，过点E 作EH⊥CD 于点H，
∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE
∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°
∴FG＝1，DG＝
FG＝
∵BD2＝BG2+DG2，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝
﹣1
∴BG＝
∵EH⊥BC，∠C＝60°
∴CH＝
，EH＝
HC＝
EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
∴△BGD∽△BHE
∴
∴
∴EC＝
﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三
角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．
25．（14 分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3 有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3 的最小值（用含m 的式子表示）；
（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线
G1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量
x 的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G 与函数H 的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐
标的取值范围．
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最
小值．
（2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线
G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2 即消去m，得到y 与x 的函
数关系式．再由m＞0，即求得x 的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H 图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图
象交点P 应在点A、B 之间，即点P 纵坐标在A、B 纵坐标之间．
法二：联立函数H 解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x 表示m 的式子．由x
与m 的范围讨论x 的具体范围，即求得函数H 对应的交点P 纵坐标的范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3 的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y 与x 的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1 时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2 时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H 的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1 时，y＝﹣m﹣3；x＝2 时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G 恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H 的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P 纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2 时，方程为0＝﹣1 不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m＝
＞0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2 即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3
【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题
关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．
