比赛情境中的概率问题
高考定位 比赛情境中的概率分布问题,一般以体育比赛为背景,有几种赛制:n 局m 胜制、连胜制、
比分差制等,难度中等或偏上.
【母题突破】
母题 (人教A 版选修三P75 例3)甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙
获胜的概率为0.4,那么采用3 局2 胜制还是采用5 局3 胜制对甲更有利?
解 采用3 局2 胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2∶0 或2∶1,前者是前两局甲连胜,后者是前
两局甲、乙各胜一局且第3 局甲胜.
因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为p1＝0.62＋C2
1×0.6×0.4×0.6＝0.648.
类似地,若采用5 局3 胜制,甲最终获胜有3 种比分3∶0,3∶1 或3∶2.
因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为p2＝0.63＋C3
2×0.62×0.4×0.6＋C 4
2
×0.62×0.42×0.6＝0.682 56.
因为p2>p1,所以5 局3 胜制对甲有利.
实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.
真题 (2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中
一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1
2.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
解 (1)甲连胜四场的概率为1
16.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为1
16;乙连胜四场的概率为1
16;
丙上场后连胜三场的概率为1
8.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－1
16 －1
16 －1
8 ＝3
4.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1
8;
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:
胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为1
16,1
8,1
8.因此丙最终获胜的概率为
1
8 ＋1
16 ＋1
8 ＋1
8 ＝7
16.
规律方法 常见赛制的特点
(1)n 局m 胜制:①一旦某方得m 次胜利即终止比赛;②若比赛提前结束,则一定在最后一次比赛中某
方达到m 胜.
(2)连胜制:①规定某方连胜m 场即终止比赛,②若提前结束比赛,则最后m 场连胜且之前没有达到
m 场连胜.
(3)比分差距制:①规定得分多者为胜方,②解题过程中应注意胜、负、平局的得分标准.
样题1 (2025·曲靖模拟)某中学高一年级举办了乒乓球比赛活动.比赛采用2n－1 局n 胜制(n∈N*)的
比赛规则,即先赢下n 局比赛者最终获胜,已知每局比赛甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1－p,
比赛结束时,甲最终获胜的概率为Pn.
(1)若p＝1
2,n＝2,结束比赛时,比赛的局数为X,求X 的分布列与数学期望;
(2)若采用5 局3 胜制比采用3 局2 胜制对甲更有利,即P3>P2,求p 的取值范围.
解 (1)p＝1
2,n＝2,即采用3 局2 胜制,
X 所有可能取值为2,3,
P(X＝2)＝(
1
2)
2
＋(
1
2)
2
＝1
2,
P(X＝3)＝C2
1×(
1
2)
2
× 1
2 ＋C2
1× 1
2 ×(
1
2)
2
＝1
2,
故X 的分布列如下
X
2
3
P
1
2
1
2
所以E(X)＝2×1
2＋3×1
2 ＝5
2.
(2)采用3 局2 胜制:用ξ 表示3 局比赛中甲胜的局数,
甲最终获胜的概率为
P2＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝p2＋C2
1(1－p)p2
＝p2(3－2p),
采用5 局3 胜制:用η 表示5 局比赛中甲胜的局数,
甲最终获胜的概率为
P3＝P(η＝3)＋P(η＝4)＋P(η＝5)
＝p3＋C3
2p2(1－p)p＋C 4
2p2(1－p)2p
＝p3(6p2－15p＋10),
则P3－P2＝p3(6p2－15p＋10)－p2(3－2p)
＝3p2(2p3－5p2＋4p－1)
＝3p2(p－1)(2p2－3p＋1)
＝3p2(p－1)2(2p－1)>0,
得1
2<p<1,故p 的取值范围为(
1
2 ,1).
样题2 (多选)(2025·石家庄质检)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.
已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6,0.5,0.4,则( )
A.该棋手三盘三胜的概率为0.12
B.若比赛顺序为甲乙丙,则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4
C.若比赛顺序为甲乙丙,则该棋手连赢两盘的概率为0.26
D.记该棋手连赢两盘为事件A,则当该棋手在第二盘与甲比赛P(A)最大
答案 ACD
解析 对于A,棋手赢三盘的概率为0.6×0.5×0.4＝0.12,故A 正确;
对于B,棋手在赢甲的前提下连赢三盘的事件就是余下两盘连赢乙、丙的事件,其概率为0.5×0.4
＝0.2,故B 错误;
对于C,连赢两盘事件的概率为0.6×0.5×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.5×0.4＝0.26,故C 正确;
对于D,第二盘与甲比赛连赢两盘的概率p1＝2×0.5×0.6×(1－0.4)＋2×(1－0.5)×0.6×0.4＝0.6,
第二盘与乙比赛连赢两盘的概率p2＝2×0.6×0.5×(1－0.4)＋2×(1－0.6)×0.5×0.4＝0.52,
第二盘与丙比赛连赢两盘的概率p3＝2×0.6×0.4×(1－0.5)＋2×(1－0.6)×0.4×0.5＝0.4,
因此p1>p2>p3,故D 正确.
样题3 (2025·郑州调研)甲、乙两学校进行体育比赛,比赛共设两个项目,每个项目胜方得5 分,负
方得0 分,平局各得2 分.两个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在两个项目中
获胜的概率分别为0.4,0.6,甲学校在两个项目中平局的概率分别为0.1,0.2.各项目的比赛结果相互
独立.
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率;
(2)用X 表示甲学校两场比赛的总得分,求X 的分布列与期望.
解 (1)甲获得冠军分三种情况:胜胜,胜平,平胜,
则甲获得冠军的概率为p＝0.4×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.6＝0.38.
(2)X 所有可能取值为0,2,4,5,7,10,
P(X＝0)＝(1－0.4－0.1)×(1－0.6－0.2)＝0.1,
P(X＝2)＝0.1×(1－0.6－0.2)＋(1－0.4－0.1)×0.2＝0.12,
P(X＝4)＝0.1×0.2＝0.02,
P(X＝5)＝0.4×(1－0.6－0.2)＋(1－0.4－0.1)×0.6＝0.38,
P(X＝7)＝0.4×0.2＋0.1×0.6＝0.14,
P(X＝10)＝0.4×0.6＝0.24,
则X 的分布列如下表:
X
0
2
4
5
7
10
P
0.1 0.12 0.02 0.38 0.14 0.24
E(X)＝0×0.1＋2×0.12＋4×0.02＋5×0.38＋7×0.14＋10×0.24＝5.6.
【精准强化练】
1.(2025·济南调研)学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后,由教师
甲、乙作为代表进行决赛,决赛共设三个项目,每个项目胜者得10 分,负者得－5 分,没有平局.三个
项目比赛结束后,总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各
项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1,p2.
(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别(若|p1－p2|≥√
2| p1
2−p2
2|
5
＋0.1,则认为甲、乙获得
冠军的实力有明显差别,否则认为没有明显差别);
(2)用X 表示教师甲的总得分,求X 的分布列和数学期望.
解 (1)不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,甲获得冠军可以表示为(ABC)∪(A
BC)∪(ABC)∪(ABC),
因为ABC,ABC,ABC,ABC两两互斥,
故教师甲获得冠军的概率
p1＝P[(ABC)∪(ABC)∪(ABC)∪(ABC)]
＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝0.4×0.6×0.6＋0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.4＝0.552,
则教师乙获得冠军的概率p2＝1－p1＝0.448,
所以|p1－p2|＝0.104,
√
2| p1
2−p2
2|
5
＋0.1≈0.376,
所以|p1－p2|<√
2| p1
2−p2
2|
5
＋0.1,
所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.
(2)易知X 的所有可能取值为－15,0,15,30,
所以P(X＝－15)＝0.6×0.4×0.4＝0.096,
P(X＝0)＝0.6×0.4×0.6＋0.6×0.6×0.4＋0.4×0.4×0.4＝0.352,
P(X＝15)＝0.4×0.6×0.4＋0.4×0.4×0.6＋0.6×0.6×0.6＝0.408,
P(X＝30)＝0.4×0.6×0.6＝0.144,
则X 的分布列为
X
－15
0
15
30
P
0.096
0.352
0.408
0.144
所以E(X)＝－15×0.096＋0×0.352＋15×0.408＋30×0.144＝9.
2.(2025·武汉质检)已知A,B,C,D 四名选手参加某项比赛,其中A,B 为种子选手,C,D 为非种子选手,
种子选手对非种子选手,种子选手获胜的概率为3
4,种子选手之间获胜的概率为1
2,非种子选手之间
获胜的概率为1
2.比赛规则:第一轮两两对战,胜利进入第二轮,败者淘汰;第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方,则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案?
(2)选手A 与选手D 相遇的概率为多少?
(3)以下两种方案,哪一种方案种子选手夺冠的概率更大?
方案一:第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛;
方案二:第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.
解 (1)第一轮选手的对战情况分别为{AB,CD},{AC,BD},{AD,BC},故总方案数为3.
(2)设事件M＝“选手A 与选手D 相遇”,
当第一轮对战为{AD,BC}时,A,D 两选手相遇的概率为1;
当第一轮对战为{AB,CD}时,A,D 两选手相遇的概率为1
2 × 1
2 ＝1
4;
当第一轮对战为{AC,BD}时,A,D 两选手相遇的概率为3
4 × 1
4 ＝3
16;
抽到三种对战的概率均为1
3,
则P(M)＝1
3×1＋1
3 × 1
4 ＋1
3 × 3
16 ＝23
48.
综上可知选手A 与选手D 相遇的概率为23
48.
(3)设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为p1,p2,则采用方案一,假设分组为{AC,BD},
第一轮两种子选手获胜,则第二轮种子选手一定夺冠,则其概率为3
4 × 3
4 ＝9
16,
第一轮选手A,D 获胜,第二轮A 获胜,则其概率为3
4 × 1
4 × 3
4 ＝9
64,
第一轮选手C,B 获胜,第二轮B 获胜,则其概率为1
4 × 3
4 × 3
4 ＝9
64,
第一轮选手C,D 获胜,则种子选手不能获胜,
所以p1＝9
16 ＋9
64×2＝27
32;
采用方案二,分组为{AB,CD},
第一轮选手A,C 获胜,第二轮A 获胜,
则其概率为1
2 × 1
2 × 3
4 ＝3
16,
第一轮选手A,D 获胜,第二轮A 获胜,
则其概率为1
2 × 1
2 × 3
4 ＝3
16,
第一轮选手B,C 获胜,第二轮B 获胜,
则其概率为1
2 × 1
2 × 3
4 ＝3
16,
第一轮选手B,D 获胜,第二轮B 获胜,
则其概率为1
2 × 1
2 × 3
4 ＝3
16,
所以p2＝3
16×4＝3
4,所以p1>p2,
因此方案一种子选手夺冠的概率更大
