文档文本内容
山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3 分，本题满分共36 分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个
是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．
1．一元二次方程x（x
2
﹣）=2
x
﹣的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 和2 D．﹣1 和2
2．下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
3．关于x 的方程x2+2kx
1=0
﹣
的根的情况描述正确的是（ ）
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．k 取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能
4．关于x 的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0 有两个不相等的实根x1、x2，且有x1
x
﹣1x2+x2=1﹣
a，则a 的值是（ ）
A．1 B．﹣1
C．1 或﹣1
D．2
5．如图，将Rt
ABC
△
（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，
使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．115° B．120° C．125° D．145°
6．2011 年向阳村农民人均收入为7200 元，到2013 年增长至8712 元．这两年中，该村农民人
均收入平均每年的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
7．抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=
2x
﹣
2相同，
则y=ax2+bx+c 的函数关系式为（ ）
A．y=
2x
﹣
2
x+3
﹣
B．y=
2x
﹣
2+4x+5 C．y=
2x
﹣
2+4x+8 D．y=
2x
﹣
2+4x+6
8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
9．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C、D 两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O 相切，切点为
B．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．40°
10．对于二次函数y=（x
1
﹣）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x=
1
﹣
C．顶点坐标是（1，2）D．与x 轴有两个交点
11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
X
1
﹣
0
1
3
y
1
﹣
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（3）3 是方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3 时，ax2+（b
1
﹣）x+c＞0．
其中正确的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
12．如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 是⊙上一点，
连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
二、填空题：（每题4 分，共24 分）
13．若关于x 的一元二次方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
没有实数根，则k 的取值范围是 ．
14．已知一元二次方程x2
3x
3=0
﹣
﹣
的两根为a 与b，则
的值是 ．
15．如图，点A、B、P 在⊙O 上，∠APB=50°，若M 是⊙O 上的动点，则等腰△ABM 顶角的度
数为 ．
16．如图所示，在△ABC 中，∠B=40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在
BC 延长线上的D 点处，∠BDA=45°，则∠BDE= ．
17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P
沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 ．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
b
①2＞4ac；
abc
②
＞0；
2a
b=0
③
﹣
；
8a+c
④
＜0；
9a+3b+c
⑤
＜0．
其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
三、解答下列各题（共60 分）
19．解方程
（1）x2
2x
1=0
﹣
﹣
．
（2）（x
1
﹣）2+2x（x
1
﹣）=0．
20．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若
AF=4．AB=7．
（1）旋转中心为 ；旋转角度为 ；
（2）求DE 的长度；
（3）指出BE 与DF 的关系如何？并说明理由．
21．四边形ABCD 是正方形，E、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、
AF、EF．
（1）试判断△AEF 的形状，并说明理由；
（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转
度得到；
（3）若BC=8，则四边形AECF 的面积为 ．（直接写结果）
22．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD BC
⊥
，垂足为点F，∠ABC 的平分线交AD 于点E，
连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．
23．（10 分）（2014•新疆）如图，AB 是⊙O 的直径，点F，C 是⊙O 上两点，且
=
=
，连接
AC，AF，过点C 作CD AF
⊥
交AF 延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若CD=2
，求⊙O 的半径．
24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．
每盆植入3 株时，平均单株盈利3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加1 株，平均单株盈利就
减少0.5 元．要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该植多少株？
25．（10 分）（2012•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列
问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与x 轴的两个交点为A，B，与y 轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC
与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣
．
山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3 分，本题满分共36 分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个
是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．
1．一元二次方程x（x
2
﹣）=2
x
﹣的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 和2 D．﹣1 和2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先移项得到x（x
2
﹣）+（x
2
﹣）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元
一次方程，解方程即可．
【解答】解：x（x
2
﹣）+（x
2
﹣）=0，
∴（x
2
﹣）（x+1）=0，
x
2=0
∴﹣
或x+1=0，
x
∴1=2，x2=
1
﹣．
故选D．
【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次
方程化为两个一元一次方程．
2．下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．
【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2 和第3 个是中心对称图形．
中心对称图形有3 个．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180 度后所得的图形与原图形完全
重合．
3．关于x 的方程x2+2kx
1=0
﹣
的根的情况描述正确的是（ ）
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．k 取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值得到△=4k2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意
义进行判断．
【解答】解：△=4k2
4×
﹣
（﹣1）
=4k2+4，
4k
∵
2≥0，
4k
∴
2+4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2
4ac
﹣
：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．关于x 的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0 有两个不相等的实根x1、x2，且有x1
x
﹣1x2+x2=1﹣
a，则a 的值是（ ）
A．1 B．﹣1
C．1 或﹣1
D．2
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2= ，整理原式即可得出关于a 的方程求出
即可．
【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2
8a
﹣
（a+1）＞0，
即a2
2a+1
﹣
＞0，（a
1
﹣）2＞0，a≠1，
∵关于x 的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0 有两个不相等的实根x1、x2，且有x1
x
﹣1x2+x2=1﹣
a，
x
∴1
x
﹣1x2+x2=1
a
﹣，
x
∴1+x2
x
﹣1x2=1
a
﹣，
∴
﹣
=1
a
﹣，
解得：a=±1，又a≠1，
a=
1
∴
﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1
x
﹣1x2+x2=1
a
﹣，得出x1+x2
x
﹣1x2=1
a
﹣是解
决问题的关键．
5．如图，将Rt
ABC
△
（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，
使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．115° B．120° C．125° D．145°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用互余计算出∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAB′等于旋转角，然后利
用邻补角计算∠BAB′的度数即可．
【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
BAC=60°
∴∠
，
Rt ABC
∵
△
绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，
BAB′
∴∠
等于旋转角，且∠BAB′=180°
BAC=120°
﹣∠
，
∴旋转角等于120°．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．2011 年向阳村农民人均收入为7200 元，到2013 年增长至8712 元．这两年中，该村农民人
均收入平均每年的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2011 年的人均收入×（1+平均增长率）2=2013 年
人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．
【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：
7200（1+x）2=8712，
解得：x1=
2.1
﹣
（不合题意舍去），x2=0.1=10%．
答：该村人均收入的年平均增长率为10%．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后
的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．
7．抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=
2x
﹣
2相同，
则y=ax2+bx+c 的函数关系式为（ ）
A．y=
2x
﹣
2
x+3
﹣
B．y=
2x
﹣
2+4x+5 C．y=
2x
﹣
2+4x+8 D．y=
2x
﹣
2+4x+6
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】压轴题．
【分析】抛物线y=ax2+bx+c 的形状与抛物线y=
2x
﹣
2相同，a=
2
﹣．y=ax2+bx+c 与x 轴的两个
交点为（﹣1，0），（3，0），利用交点式求表达式即可．
【解答】解：根据题意a=
2
﹣，
所以设y=
2
﹣（x
x
﹣1）（x
x
﹣2），
求出解析式y=
2
﹣（x+1）（x
3
﹣），
即是y=
2x
﹣
2+4x+6．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解．
8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】利用垂径定理得出
=
，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】解：∵线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB，
∴
=
，
CAB=20°
∵∠
，
BOD=40°
∴∠
，
AOD=140°
∴∠
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD 的度数是解题关键．
9．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C、D 两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O 相切，切点为
B．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．40°
【考点】切线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据切线的性质由AB 与⊙O 相切得到OB AB
⊥
，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到
∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB= C+ OBC
∠
∠
，由于∠C= OBC
∠
，所以∠C=
AOB=30°．
【解答】解：连结OB，如图，
AB
∵
与⊙O 相切，
OB AB
∴
⊥
，
ABO=90°
∴∠
，
A=30°
∵∠
，
AOB=60°
∴∠
，
AOB= C+ OBC
∵∠
∠
∠
，
而∠C= OBC
∠
，
C=
∴∠
AOB=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
10．对于二次函数y=（x
1
﹣）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x=
1
﹣
C．顶点坐标是（1，2）D．与x 轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型．
【分析】根据抛物线的性质由a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对
称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x 轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y=（x
1
﹣）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，
抛物线与x 轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣
）2+
，的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴直线x=
b2a
﹣
，当a＞0 时，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
X
1
﹣
0
1
3
y
1
﹣
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（3）3 是方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3 时，ax2+（b
1
﹣）x+c＞0．
其中正确的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点；二次函数与不
等式（组）．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小
题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1 时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c 开口向下，a＜
0；又x=0 时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为x=
=1.5，∴当x≥1.5 时，y 的值随x 值
的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x=3 时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3 是方程ax2+（b
1
﹣）
x+c=0 的一个根，故（3）正确；
（4）∵x=
1
﹣时，ax2+bx+c=
1
﹣，∴x=
1
﹣时，ax2+（b
1
﹣）x+c=0，∵x=3 时，ax2+（b
1
﹣）x+c=0，
且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3 时，ax2+（b
1
﹣）x+c＞0，故（4）正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二
次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12．如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 是⊙上一点，
连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO
PDO
△
≌
（SSS），即可得出
∠PCO= PDO=90°
∠
，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB= BPD
∠
，进而求出△CPB
DPB
≌△
（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO
BCA
≌△
（ASA），进而得出CO= PO= AB；
（4）利用四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB= DBP=30°
∠
，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
PC
∵
与⊙O 相切，切点为C，
PCO=90°
∴∠
，
在△PCO 和△PDO 中，
，
PCO
PDO
∴△
△
≌
（SSS），
PCO= PDO=90°
∴∠
∠
，
PD
∴
与⊙O 相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB= BPD
∠
，
在△CPB 和△DPB 中，
，
CPB
DPB
∴△
△
≌
（SAS），
BC=BD
∴
，
PC=PD=BC=BD
∴
，
∴四边形PCBD 是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
PC=CB
∵
，
CPB= CBP
∴∠
∠
，
AB
∵
是⊙O 直径，
ACB=90°
∴∠
，
在△PCO 和△BCA 中，
，
PCO
BCA
∴△
△
≌
（ASA），
AC=CO
∴
，
AC=CO=AO
∴
，
COA=60°
∴∠
，
CPO=30°
∴∠
，
CO=
∴
PO= AB，
PO=AB
∴
，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD 是菱形，∠CPO=30°，
DP=DB
∴
，则∠DPB= DBP=30°
∠
，
PDB=120°
∴∠
，
故（4）正确；
正确个数有4 个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性
质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
二、填空题：（每题4 分，共24 分）
13．若关于x 的一元二次方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
没有实数根，则k 的取值范围是
k ＜﹣
1
．
【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x 的一元二次方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算
即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
没有实数根，
=
∴△（﹣2）2
4×1×
﹣
（﹣k）=4+4k＜0，
k
∴的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2
4ac
﹣
：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．已知一元二次方程x2
3x
3=0
﹣
﹣
的两根为a 与b，则
的值是 ﹣
1
．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=
3
﹣，再把原式变形得到
，然后利用整体代入
的方法进行计算．
【解答】解：根据题意得a+b=3，ab=
3
﹣，
所以原式=
=
=
1
﹣．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，
x2，则x1+x2=﹣，x1•x2= ．
15．如图，点A、B、P 在⊙O 上，∠APB=50°，若M 是⊙O 上的动点，则等腰△ABM 顶角的度
数为
50°
或
80°
或
130°
．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．
【分析】首先连接AM，BM，分别从若点M 在优弧APB 上与若点M 在劣弧AB 上，根据圆周
角定理与等腰三角形的性质，即可求得等腰△ABM 顶角的度数．
【解答】解：连接AM，BM，
①若点M 在优弧APB 上，
M= APB=50°
∴∠
∠
，
若AM=BM，则等腰△ABM 顶角的度数为50°；
若AM=AB 或BM=AB，则等腰△ABM 顶角的度数为：180°
2 M=80°
﹣∠
；
②若点M 在劣弧AB 上，则∠M=180°
APB=130°
﹣∠
，
此时∠M 是顶角．
∴等腰△ABM 顶角的度数为：50°或80°或130°．
故答案为：50°或80°或130°．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适
中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
16．如图所示，在△ABC 中，∠B=40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在
BC 延长线上的D 点处，∠BDA=45°，则∠BDE=
85°
．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质得∠ADE= B=40°
∠
，然后计算∠BDA+ ADE
∠
即可．
【解答】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在BC 延长线上的D 点处，
ADE= B=40°
∴∠
∠
，
BDE= BDA+ ADE=45°+40°=85°
∴∠
∠
∠
．
故答案为85°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P
沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为
1 或
5
．
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．
【分析】平移分在y 轴的左侧和y 轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P 位于y 轴的左侧且与y 轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P 位于y 轴的右侧且与y 轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1 或5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
b
①2＞4ac；
abc
②
＞0；
2a
b=0
③
﹣
；
8a+c
④
＜0；
9a+3b+c
⑤
＜0．
其中结论正确的是 ①②⑤ ．（填正确结论的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b2
4ac
﹣
＞0，∴b2＞4ac，故①正
确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x=﹣
=1，b=
2a
﹣
，故b＜0；
抛物线交y 轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0；
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣
=1，b=
2a
﹣
，
2a+b=0
∴
，故2a
b=0
﹣
错误；
④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2
2ax+c
﹣
（a≠0）；
由函数的图象知：当x=
2
﹣时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=
1
﹣时，y＜0，所以当x=3 时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；
所以这结论正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的
关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答下列各题（共60 分）
19．解方程
（1）x2
2x
1=0
﹣
﹣
．
（2）（x
1
﹣）2+2x（x
1
﹣）=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1 变形后，开方即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一
次方程来求解．
【解答】解：（1）方程移项得：x2
2x=1
﹣
，
配方得：x2
2x+1=2
﹣
，即（x
1
﹣）2=2，
开方得：x
1=±
﹣
，
则x1=1+
，x2=1﹣
；
（2）分解因式得：（x
1
﹣）[（x
1
﹣）+2x]=0，
可得x
1=0
﹣
或3x
1=0
﹣
，
解得：x1=1，x2= ．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题
的关键．
20．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若
AF=4．AB=7．
（1）旋转中心为 点
A
；旋转角度为
90°
；
（2）求DE 的长度；
（3）指出BE 与DF 的关系如何？并说明理由．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据旋转的性质，点A 为旋转中心，对应边AB、AD 的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD
AE
﹣
计算即可得解；
（3）根据旋转可得△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角
形对应角相等可得∠ABE= ADF
∠
，然后求出∠ABE+ F=90°
∠
，判断出BE DF
⊥
．
【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD=90°；
（2）∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
AE=AF=4
∴
，AD=AB=7，
DE=AD
AE=7
4=3
∴
﹣
﹣
；
（3）BE、DF 的关系为：BE=DF，BE DF
⊥
．理由如下：
ADF
∵△
按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
ABE
ADF
∴△
△
≌
，
BE=DF
∴
，∠ABE= ADF
∠
，
ADF+ F=180°
90°=90°
∵∠
∠
﹣
，
ABE+ F=90°
∴∠
∠
，
BE DF
∴
⊥
，
BE
∴
、DF 的关系为：BE=DF，BE DF
⊥
．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置
不改变图形的形状与大小是解题的关键．
21．四边形ABCD 是正方形，E、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、
AF、EF．
（1）试判断△AEF 的形状，并说明理由；
（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心
A
点，按顺时针方向旋转
90
度得到；
（3）若BC=8，则四边形AECF 的面积为
64
．（直接写结果）
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB= ABF= D=90°
∠
∠
，证△ADE
ABF
≌△
，推出
AE=AF，∠DAE= FAB
∠
即可．
（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．
（3）求出四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 面积，求出正方形的面积即可．
【解答】解：（1）△AEF 是等腰直角三角形，
理由是：∵四边形ABCD 是正方形，F 是BC 延长线上一点，
AB=AD
∴
，∠DAB= ABF= D=90°
∠
∠
，
在△ADE 和△ABF 中，
，
ADE
ABF
∴△
△
≌
（SAS）
AE=AF
∴
，∠DAE= FAB
∠
，
DAB= DAE+ BAE=90°
∵∠
∠
∠
，
FAE= DAB=90°
∴∠
∠
，
即△AEF 是等腰直角三角形．
（2）△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90°得到的，
故答案为：A，90．
（3）∵△ADE
ABF
≌△
，
S
∴
ADE=S
ABF
△
，
∴四边形AECF 的面积S=S 四边形ABCE+S
ABF
△
=S 四边形ABCE+S
ADE
△
=S 正方形ABCD
=8×8
=64，
故答案为：64．
【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生
的推理能力．
22．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD BC
⊥
，垂足为点F，∠ABC 的平分线交AD 于点E，
连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．
【考点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】证明题；探究型．
【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD= CBD
∠
再等量代换得出∠DBE= DEB
∠
，从而证明
DB=DE=DC，所以B，E，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．
【解答】（1）证明：∵AD 为直径，AD BC
⊥
，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
（2）解：B，E，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．
理由：由（1）知：
，
1= 2
∴∠
∠，
又∵∠2= 3
∠，
1= 3
∴∠
∠，
DBE= 3+ 4
∴∠
∠
∠，∠DEB= 1+ 5
∠
∠，
BE
∵
是∠ABC 的平分线，
4= 5
∴∠
∠，
DBE= DEB
∴∠
∠
，
DB=DE
∴
．
由（1）知：BD=CD
DB=DE=DC
∴
．
B
∴，E，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．（7 分）
【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．
23．（10 分）（2014•新疆）如图，AB 是⊙O 的直径，点F，C 是⊙O 上两点，且
=
=
，连接
AC，AF，过点C 作CD AF
⊥
交AF 延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若CD=2
，求⊙O 的半径．
【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）连结OC，由
=
，根据圆周角定理得∠FAC= BAC
∠
，而∠OAC= OCA
∠
，则
∠FAC= OCA
∠
，可判断OC AF
∥
，由于CD AF
⊥
，所以OC CD
⊥
，然后根据切线的判定定理得到
CD 是⊙O 的切线；
（2）连结BC，由AB 为直径得∠ACB=90°，由
=
=
得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以
∠DAC=30°，在Rt
ADC
△
中，利用含30 度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4
，在
Rt
ACB
△
中，利用含30 度的直角三角形三边的关系得BC=
AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O
的半径为4．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵
=
，
FAC= BAC
∴∠
∠
，
OA=OC
∵
，
OAC= OCA
∴∠
∠
，
FAC= OCA
∴∠
∠
，
OC AF
∴
∥
，
CD
AF
∵
⊥
，
OC CD
∴
⊥
，
CD
∴
是⊙O 的切线；
（2）解：连结BC，如图，
AB
∵
为直径，
ACB=90°
∴∠
，
∵
=
=
，
BOC=
∴∠
×180°=60°，
BAC=30°
∴∠
，
DAC=30°
∴∠
，
在Rt
ADC
△
中，CD=2
，
AC=2CD=4
∴
，
在Rt
ACB
△
中，BC=
AC=
×4
=4，
AB=2BC=8
∴
，
O
∴⊙
的半径为4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理和含30 度的直角三角形三边的关系．
24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．
每盆植入3 株时，平均单株盈利3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加1 株，平均单株盈利就
减少0.5 元．要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该植多少株？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣
0.5x）元，由题意得（x+3）（3
0.5x
﹣
）=10 求出即可．
【解答】解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3
0.5x
﹣
）元，
由题意得：（x+3）（3
0.5x
﹣
）=10．
化简，整理，的x2
3x+2=0
﹣
．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4 株或者5 株．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方
程是解题关键．
25．（10 分）（2012•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列
问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与x 轴的两个交点为A，B，与y 轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC
与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），利用待定系数法即可求得此抛
物线的解析式；
（2）首先由抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣
，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对
称的性质，点C 关于x=1 的对称点D 即为所求，利用SSS 即可判定△ABC
BAD
≌△
，又由抛物
线的与y 轴交于点C，即可求得点C 的坐标，由对称性可求得D 点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），
∴
，
解得：
．
故抛物线的解析式为：y=x2
2x
3
﹣
﹣．
（2）存在．
∵抛物线y=x2
2x
3
﹣
﹣的对称轴为：x=﹣
=1，
∴根据轴对称的性质，点C 关于x=1 的对称点D 即为所求，
此时，AC=BD，BC=AD，
在△ABC 和△BAD 中，
∵
，
ABC
BAD
∴△
△
≌
（SSS）．
在y=x2
2x
3
﹣
﹣中，令x=0，
得y=
3
﹣，
则C（0，﹣3），D（2，﹣3）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与
二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
