北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.5 变量间的相关关系、统计案例
专题检测
1.(2017陕西汉中一模,3)已知两个随机变量x,y之间的相关关系如下表所示:
x -4 -2 1 2 4
y -5 -3 -1 -0.5 1
^ ^ ^
根据上述数据得到的回归方程为y=bx+a,则大致可以判断 ( )
^ ^ ^ ^
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
^ ^ ^ ^
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
答案 C 由题意知x=0.2,y=-1.7,
^
28-5×0.2×(-1.7) 29.7
∴b=
41-5×0.22
=
40.8
≈0.73>0,
^
∴a=-1.7-0.73×0.2≈-1.85<0,故选C.
2.(2018江西南昌一模,10)已知线性相关的五个样本点A(0,0),A(2,2),A(3,2),A(4,2),A(6,4),用最小二乘法得到
1 2 3 4 5
^ ^ ^
回归直线方程l
1
:y=bx+a,过点A
1
,A
2
的直线方程l
2
:y=mx+n,那么下列四个命题:
^ ^ 5 ^ ^ 5 5 ^ ^ 5
①m>b,a>n;②直线l
1
过点A
3
;③ ∑(y
i
-bx
i
-a)2≥∑(y
i
-mx
i
-n)2;④ ∑|y
i
-bx
i
-a|≥∑|y
i
-mx
i
-n|.
i=1 i=1 i=1 i=1
n n
∑x y -nx y ∑(x -x)(y - y)
i i i i ^ ^
参考公式:b
^
=
i=1 =i=1 ,a= y-bx)
n n
∑x2-nx2 ∑(x -x)2
i i
i=1 i=1
其中正确的命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
^
答案 B 由所给的数据计算可得x=3,y=2,通过计算得线性回归方程为y=0.6x+0.2,
过点A,A 的直线方程为y=x.
1 2
^ ^
所以①m>b,a>n,正确;
②直线l 过点A,正确;
1 3
5 ^ ^ 5
③∑(y
i
-bx
i
-a)2=0.8,∑(y
i
-mx
i
-n)2=9,错误;
i=1 i=1
5 ^ ^ 5
④∑|y
i
-bx
i
-a|=1.6,∑|y
i
-mx
i
-n|=5,错误.
i=1 i=1
综上可得,正确的命题有2个.
选B.
3.(2017湖南益阳调研,4)某公司2010—2015年的年利润(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资
料如下表所示:
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015
利润x(百万元) 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y(百万元) 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
根据统计资料,则 ( )
A.年利润中位数是16,y与x具有正的线性相关关系
B.年利润中位数是17,y与x具有正的线性相关关系
C.年利润中位数是17,y与x具有负的线性相关关系
D.年利润中位数是18,y与x具有负的线性相关关系
答案 B 年利润(单位:百万元)6个数据按从小到大的顺序排列后,最中间两个为16,18,其平均数为17,则中
位数为17,当x增加时,y也跟着增加,因此是正相关关系.故选B.
4.(2018广东五校联考,3)下表是我国某城市在2017年1月份至10月份10个月的最低气温与最高气温(℃)的
数据一览表.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高气温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低气温-12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有相关关系,根据表格下列结论错误的是 ( )
A.最低气温与最高气温为正相关
B.每月最高气温和最低气温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高气温减最低气温)相对于7月至10月,波动性更大
答案 B
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高气温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低气温-12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10
温差 17 12 8 13 10 7 8 7 6 11
由表格可知最低气温大致随最高气温的增大而增大,A正确;每月最高气温与最低气温的平均值在前8个月
不是逐月增加,B错;月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,C正确;1月至4月的月温差(最高气温
减最低气温)相对于7月至10月,波动性更大,D正确,故选B.
5.(2017安徽池州4月模拟,18)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘
制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中a的值;
(2)估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为晋级成功与性别有关.
晋级成功 晋级失败 合计
男 16
女 50
合计
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0.7081.3232.0722.7063.8415.024
解析 (1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1,得(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1,解得a=0.005.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是
55,65,75,85,95,
对应的频率分别为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05,
则估计该次考试的平均分x=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).
(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25,
故晋级成功的人数为100×0.25=25,
填写2×2列联表如下:
晋级成功 晋级失败 合计
男 16 34 50
女 9 41 50
合计 25 75 100
n(ad-bc)2 100×(16×41-34×9)2
K2= = ≈2.613>2.072,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 25×75×50×50
所以有85%的把握认为晋级成功与性别有关.
6.(2020广西玉林第二次月考,18)某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平
考试成绩共同构成.该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,随机从中抽取了
100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下图是根据样本的调查结果
绘制的等高条形图.
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005
0
k 2.706 3.841 6.635 7.879
0
n(ad-bc)2
K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案
与城乡户口有关”;
赞成 不赞成 合计
城镇居民
农村居民
合计
(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人,记这3位家长中是城镇户口的
人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X).
解析 (1)完成2×2列联表如下:
赞成 不赞成 合计
城镇居民 30 15 45
农村居民 45 10 55
合计 75 25 100
(2分)
100×(300-675)2
K2= ≈3.03<3.841, (4分)
75×25×45×55
∴没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.(5分)
(2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6,抽中农村户
口家长的概率为0.4, (6分)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
X的可能取值为0,1,2,3. (7分)
P(X=0)=0.43=0.064,
P(X=1)=C1 ×0.6×0.42=0.288,
3
P(X=2)=C2 ×0.62×0.4=0.432,
3
P(X=3)=C3 ×0.63=0.216, (9分)
3
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
(10分)
∴E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8. (12分)
7.(2020山西大同开学学情调研,19)学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出
300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对教师管理水平给出好评的学生
人数为总数的75%,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
(1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表:
对教师管理水平好 对教师管理水平不
合计
评 满意
对教师教学水平好
评
对教师教学水平不
满意
合计
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关?
(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的人数为随机
变量X.
①求对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的人数X的分布列(概率用组合数算式表示);
②求X的数学期望和方差.
附:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001
0
10.82
k 2.0722.7063.8415.0246.6357.879
0 8
n(ad-bc)2
K2= ,其中n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
解析 (1)由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表:
对教师管理水平好 对教师管理水平不
合计
评 满意
对教师教学水平好
120 60 180
评
对教师教学水平不
105 15 120
满意
合计 225 75 300
300×(120×15-60×105)2
由表中数据可得K2= ≈16.667>10.828,所以可以在犯错误概率不超过
180×120×225×75
0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.
2
(2)①对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的概率为 ,且X的取值可以是0,1,2,3,4,其中
5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(3) 4
P(X=0)= ;
5
P(X=1)=C1
2
×
(3) 3
;
45 5
P(X=2)=C2(2) 2
×
(3) 2
;
4 5 5
P(X=3)=C3(2) 3
×
3
;
4 5 5
(2) 4
P(X=4)= .
5
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
C2(2) 2 C3(2) 3
(3) 4
C1
2 (3) 3 4 5 × 4 5 × (2) 4
P 5 45× 5 (3) 2 3 5
5 5
( 2) 2 8 2 ( 2) 24
②由于X~B
4,
,则E(X)=4× = ,D(X)=4× ×
1-
= .
5 5 5 5 5 25
名师点睛 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正
确运用均值、方差公式进行计算,对于二项分布的均值和方差根据公式直接计算即可.
8.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,19)随着智能手机的普及,手机计步软件迅速流行开来,这类软
件能自动记载每个人每日健步的步数,从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步
走的情况,从本市市民中随机抽取了2 000名市民(其中不超过40岁的市民恰好有1 000名),利用手机计步
软件统计了他们某天健步的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]
九组(单位:千步),将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图:
将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下,并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.
分组
(单位:千 [3,5) [5,7) [7,9) [9,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19) [19,21]
步)
频数 10 20 20 30 400 200 200 100 20
(1)现规定,日健步步数不低于13 000的为“健步达人”,填写下面列联表,并根据列联表判断能否有99.9%的
把握认为是不是“健步达人”与年龄有关;北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
非健步达
健步达人 总计
人
40岁以上的市民
不超过40岁的市
民
总计
(2)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数(单位:千步)的平均数和中位数;
(3)对于不超过40岁的市民,若日健步步数落在区间(x-2s,x+2s)内,则可认为该市民“运动适量”,其中x,s分
别为样本平均数和样本标准差,计算可求得频率分布直方图中数据的标准差s约为3.64.若一市民某天的健
步步数为2万,试判断该市民这天是否“运动适量”.
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.001
0
10.82
k 2.0722.7063.8415.0246.635
0 8
解析 (1)列联表为
非健步达
健步达人 总计
人
40岁以上的市民 520 480 1 000
不超过40岁的市
400 600 1 000
民
总计 920 1 080 2 000
2 000×(520×600-480×400)2
K2= ≈28.986>10.828,
920×1 080×1 000×1 000
所以有99.9%的把握认为是不是“健步达人”与年龄有关. (4分)
(2)样本平均数为x=4×0.04+6×0.06+8×0.10+10×0.10+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02=12.16. (6
分)
由前4组的频率之和为0.04+0.06+0.10+0.10=0.30,前5组的频率之和为0.30+0.30=0.6,知样本中位数落在第
37
5组,设样本中位数为t,则(t-11)×0.15=0.5-0.3,∴t= .
3
37
故可以估计,该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16,中位数为 . (8分)
3
(3)(x-2s,x+2s)=(4.88,19.44),20>19.44,
所以可据此判断该市民这天“运动不适量”. (12分)
9.(2019安徽马鞍山二模,19)某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学,其年龄、身高和体重数据
如下表所示(身高单位:cm,体重单位:kg).
年龄 (身高,体重) 年龄 (身高,体重)
(154,48),(161, (166,64),(168,
15 18
65),(168,64) 72),(182,74)
(158,50),(162, (160,51),(172,
16 19
59),(175,80) 68),(178,90)
(161,60),(167,
17
62),(173,68)
(1)如果某同学“身高-体重<100”,则认为该同学超重,从上述15名同学中任选两名同学,其中超重的同学人
数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)根据表中数据,设计了两种方案预测学生身高.方案①:建立平均体重与年龄的线性回归模型,表中各年龄的
体重按三名同学的平均体重计算,数据整理如表.
i 1 2 3 4 5
年龄t 15 16 17 18 19
i
平均体重s 59 63 63.3 70 69.7
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方案②:建立平均体重与平均身高的线性回归模型,将所有数据按身高重新分成6组:[153,158),[158,163),
[163,168),[168,173),[173,178),[178,183],并将每组的平均身高依次折算为155,160,165,170,175,180,各组的体重
按平均体重计算,数据整理如表.
i 1 2 3 4 5 6
平均身高x 155 160 165 170 175 180
i
平均体重y 48 57 63 68 74 82
i
(i)用方案①预测20岁男同学的平均体重和用方案②预测身高168 cm的男同学的平均体重,你认为哪个更合
理?请给出理由;
(ii)请根据方案②建立平均体重y与平均身高x的线性回归方程y=^x+^(数据精确到0.001).
b a
附:^=
b
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
i i i i ^ ^ 6 6 335 196
i=1 =i=1 ,a= y-bx,∑x y =66 225,∑x2=168 775,x= ,y=
n n i i i 2 3
∑(x -x)2 ∑x2-nx2 i=1 i=1
i i
i=1 i=1
解析 (1)根据表中数据,15人中,有4人超重,故随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)= C0 4 C 1 2 1=11 ,P(X=1)= C1 4 ×C 1 1 1= 44 ,P(X=2)= C 1 0 1 C2 4= 6 = 2 .
C2 21 C2 105 C2 105 35
15 15 15
所以X的分布列为
X 0 1 2
11 44 2
P
21 105 35
11 44 2 56 8
所以E(X)=0× +1× +2× = = .
21 105 35 105 15
(2)(i)对比两种方案,用方案②预测身高168 cm的男同学的平均体重更合理.
因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系.
n 335 196
∑x y -nx y 66 225-6× ×
i i 2 3
^ i=1 =
(ii)b =
∑
n
x2-nx2 168 775-6×
(335) 2
≈1.291,
i=1 i 2
又因为(x,y)在回归直线上,
^ ^ 196 335
所以a =y- bx = -1.291× ≈-150.909.
3 2
故平均体重y与平均身高x的线性回归方程为^=1.291x-150.909.
y
10.(2020江西南昌开学摸底考,19)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,
分为专业一等奖学金(金额为3 000元)、专业二等奖学金(金额为1 500元)及专业三等奖学金(金额为600
元),且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图①是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时
间频率分布直方图,图②是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
