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解决问题4
一、巧找规律妙解题
1、夯实基础
在解答问题时，常常会遇到比较复杂的繁难问题，要很快解答出来有一定困
难，此时不妨先设想与原问题类似的简单化的问题，通过研究问题的特殊简单
情况，由此得到启发，从而发现规律，总结方法，寻求解答问题的途径，正确
解答问题。
规律性问题题型灵活、内容丰富，是小学数学竞赛和重点中学招生命题的热
点，但是只要认真审题，仔细观察，灵活思考，分析归纳，探索规律，就会使
问题获得巧妙解决。
2、典型例题
例1．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5 盏红灯、再接4 盏蓝灯、再接3 盏
黄灯，然后又是5 盏红灯、4 盏蓝灯、3 盏黄灯……这样排下去。问：
（1）第100 盏灯是什么颜色？（2）前150 盏彩灯中有多少盏蓝灯？
例2．在一张纸上画2001 条直线，最多有多少个交点？
分析：要使交点最多，每画一条直线必须与现已画出的直线相交，但一下
子要得到答案确实有些困难，不妨从最简单处入手研究“直线的条数”与“交
点的个数”之间有什么关系？探索规律如下表：
直线的条数
交点的个数
关系式
1 条
0 个
0=0
2 条
1 个
1=0+1
3 条
3 个
3=0+1+2
4 条
6 个
6=0+1+2+3
5 条
10 个
10=0+1+2+3+4
6 条
15 个
15=0+1+2+3+4+5
……
3、熟能生巧
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(1) 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5 个红，再4 个黄，再3 个绿，再2 个黑，
再1 个白，然后又依次5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白……如此涂下去，到2001
个小球该涂什么颜色？
(2) 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图所示的规律，拼成若干个图案：
① 第4 个图案中有白色地面砖（ ）块；
② 第10 个图案中有白色地面砖（ ）块；
③ 第n 个图案中有白色地面砖（ ）块。
（3）在三角形ABC 内部有2006 个点，连同三角形ABC 的顶点共有2009 个点，
把这些点相互连接，可以将三角形ABC 分割成多少个不重叠的三角形？
4、拓展演练
(1) 如图，一串有黑有白，排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分。求这串珠
子被盒子遮住的部分白珠是黑珠的百分之几？
(2) 观察并填空。
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图形
……
正方形的个
数
（ ）
（ ）
（ ）
……
①第4 个“F”图形需用（ ）个正方形拼成，②第n 个“F”图形需用（
）个正方形拼成。
(3) 把边长为1 厘米的正方形纸片按下面的规律拼搭：
①那么第5 个图形应该由（ ）张正方形纸片拼成。
②第10 个图形的周长是（ ）厘米。
③如果拼成的图形的周长是 200 厘米，那么它是由（ ）张正方形纸片拼
成的。
5、星级挑战
(1) ★某汽水厂商搞促销活动，5 个空瓶可以换1 瓶汽水，某班同学喝了180 瓶汽水，
其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
(2) ★★将长为30 厘米、宽为10 厘米的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，
粘合部分的宽为3 厘米。求30 张白纸粘合后的总面积多少？
二、最佳安排
1、夯实基础
（4）
（3）
（2）
（1）
……
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人们在生活和生产实践中，总是希望把事情尽可能做好，达到事半功倍的
目的。例如，在生活中怎样使耗费的时间尽可能少，使原材料尽可能省、产量
尽可能高、运费尽可能低等等。因此这就需要我们积极开动脑筋，进行合理的
安排，选择最优方案，这在数学中是一门专门的学问，叫做“统筹规划”。这
一讲中我们将一些“统筹规划”中的简单问题介绍给同学们，希望同学们学习
之后，逐步养成遇事爱动脑筋，做事合理安排的好习惯。
2、典型例题
例1．27 只乒乓球中有一只是次品，次品比正品轻一点，现有一个天平，问最
少称几次，一定能把次品找到？
例2． 火炉上烙饼，饼的两面都要烙，每烙完一面需要3 分钟，炉上只能同时
放两个饼，现在需要烙3 个饼，问最少需要多少分钟？
例3．三家不同的文具店出售同一种作业本的单价都是0.5 元，但店家的优惠措
施有所不同。甲店：一律打九折优惠；乙店：买五本送一本；丙店：满55 元8
折优惠。请你算一算：五(1)班要买100 本作业本，到哪家商店买比较合算？为
什么？
3、熟能生巧
(1) 有13 个形状、大小、外观完全一样的零件，其中1 个是坏的，质量比好的轻。
现在有一架没有砝码的天平，要把坏零件挑出来，除去偶然性以外，最少需要
称几次？
(2) 妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗水壶要用1 分钟，烧开水要用15 分钟，洗茶壶
要用1 分钟，洗茶杯要用1 分钟，拿茶叶要用2 分钟，小明估算了一下，完成
这些工作要花20 分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少
分钟才能沏茶？
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(3) 希望小学买60 个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球的价
格都是25 元，但各个商店的优惠方法不同。
甲店：买10 个足球免费送2 个，不足10 个不送。
乙店：每个足球优惠5 元。
丙店：购物每满200 元，返还现金30 元。
为了节省费用，希望小学应到哪个商战购买？为什么？
4、拓展演练
(1) 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6 个人的水桶所需时间分别是5
分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟。现在只有这一个水龙头可用，
问怎样安排这6 人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是
多少？
(2) 六（1）班有48 名同学去划船，每只小船坐3 人，租金20 元，每只大船坐5 人，
租金30 元。他们最少要付租金多少元？
(3) 某电视机厂要印制产品宣传资料，甲印刷厂提出：每份材料收1 元印刷费，另
收1500 元的，制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5 元印制费，不收制版费。
①印制800 份宣传材料，选哪家印刷比较合算？
②电视机厂准备拿出3000 元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂比较合算？
③印制多少份时，两家收费相同？
④根据以上计算，你认为什么条件下选择甲厂？什么条件下选择乙厂？
5、星级挑战
(1) ★有一装满8 升酒的桶，现分别有可装5 升和3 升的空桶两只。
①如何倒法，可分出2 升的酒来?
②如何倒法，可分出1 升的酒来？
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(2) ★★光明小学组织六年级师生336 人郊游。大客车限乘40 人，每天每辆1000
元；小客车限乘25 人，每天每辆650 元，请你设计一种最佳的租车方案。
三、平均数
1、夯实基础
我们经常用各科成绩的平均分来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求
出各科成绩的平均分就是求平均数。
平均数在日常生活和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天
的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系:总数量÷总份数=平均数。解答平均数问题的
关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数
量除以总分数求平均数。也可用移多补少的方法，或找一个基准数，平均数=基
数＋各数与基数的差之和÷份数。例如：（92+89+93+94）÷4=90+（2－1＋3＋
4）÷4=92。
2、典型例题
例1．实验小学六年级三个班进行数学期末考试，一班有45 人，平均分是91 分；
二班有43 人，平均分是90 分；三班有42 人，平均分是93 分，求六年级这三个
班的平均分是多少？（得数保留两位小数）
例2．李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85 分，如果投掷成绩不算在内，
平均成绩是83 分，李华投掷得了多少分？
例3．甲班有52 人，乙班有48 人。语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是
78 分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5 分。两个班的平均成绩各是多
少？
3、熟能生巧
(1) 小明家先后买了两批小猪，养到今年10 月。第一批的3 头每头重66 千克，第
二批的5 头每头重42 千克。小明家养的猪平均多重？
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(2) 甲种糖每千克11 元，乙种糖每千克18 元，甲种糖3 千克和乙种糖4 千克混合成
什锦糖，问什锦糖每千克多少元？
(3) 小丽在期末考试时，数学成绩公布前她4 门功课的平均分数是92 分，数学成绩
公布后，他的平均成绩下降了1 分。问小丽的数学考了多少分？
(4) 学校排球队有18 人合影留念，照6 寸照片洗三张，价格为每张4 元5 角，另外
加洗每张三角，如果每人各得一张，平均每人需多少钱？
4、拓展演练
(1) 五（1）班学生分三组植树，第一组13 人，共植树118 棵，第二组12 人，平均
每人植树9 棵；第三组13 人，共植树116 棵，平均每人植树多少棵？
(2) 某班的一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95 分，第二天
他的补考成绩是65 分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94 分。这个
班有学生多少人？
(3) 有5 个自然数，平均数是39，如果把这5 个数从小到大的顺序排列，那么前三
个小数的平均数是27，后三个大数的平均数是50。问中间那个数是多少？
5、星级挑战
(1) ★如果四个人的平均年龄是23 岁，四个人中没有小于18 岁的。那么年龄最大
的人可能是多少岁？
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(2) ★★女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41 千克，女同学
的平均体重是35 千克，全体同学的平均体重是多少千克？
(3) ★★★小强练习掷铅球，投了5 次，去掉一个最好成绩和最差成绩，则平均成
绩为9.73 米；若去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51 米；若去掉一个最差
成绩则平均成绩为9.77 米。小强最好成绩与最差成绩相差多少米？（第五届
“希望杯”竞赛试题）
