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教考衔接二十三 教材命题点探源
高三数学 突破卷01
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.已知集合
2
0
log
2
A
x
x
∣
，
2
4
x
B
x
∣
，则A
B
( )
A.
(0,1)
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由
，得
，则
；由
，得
，则
.所以
.故选B.
2.已知复数
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
.
，
.所以
.
故选：B.
3.已知向量，
满足
，
，若在
上的投影向量为
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意知
，得
，则
，
，
.
故选：A
4.直线l 过圆
的圆心，且与圆相交于A，B 两点，P 为双曲线
右支上的一
个动点，则
的最小值为( )
A.
B.1
C.2
D.0
【答案】D
【解析】圆
，圆心
，半径为1. 如图，
设
，
，则
，函数
的图象的对
称轴为直线
，开口向上，又
，所以当
时，
取最小值，最小值为
.
故选：D.
5.已知数据
，
，
的平均数为a，标准差为b，中位数为c，极差为d 由这组数据得到新数据
，
，
其中
，则下列命题中错误的是( )
A.新数据的平均数是
B.新数据的标准差是
C.新数据的中位数是
D.新数据的极差是
【答案】B
【解析】对于A，因为
，
所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
所以
，
，故B 错误；
对于CD，不妨设
，所以
，而
，
所以
，故C 正确；
因为
，所以
，故D 正确.
故选：B.
6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2021 年至
2025 年云计算市场规模数据,且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型
（其中e 为自然对数
的底数）拟合,设
,得到数据统计表如下：
年份
2021 年
2022 年
2023 年
2024 年
2025 年
年份代码
x
1
2
3
4
5
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程
,则2029 年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为( )
（参考公式：
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为
,
所以
,即经验回归方程
,
当
时,
所以
,
即2029 年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为
.
故选：C.
7.已知
，
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设函数
，则
，当
时，
，故
在
上单调
递减，因为
，所以
，即
，所以
.
设函数
，易知
为增函数，因为
，所以
，即
，所
以
，即
.故选C.
8. 如图所示，将绘有函数
部分图象的纸片沿
轴折成钝二面
角，此二面角的平面角为
，此时
，
之间的距离为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】过
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，在平面
内作
轴，
轴交于
点
，
连接
，则
是二面角的平面角，即
，
则
，由
轴垂直于
，
平面
，
得
轴垂直于平面
，又
轴，则
平面
，而
平面
，因此
，
又函数
的周期
，即
，
由勾股定理得
，即
，解得
，
而函数
的图象过点
，则
，即
，
又
，且0 在
的递减区间内，所以
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在
中，内角
、
、
的对边分别是、、，若
，
，且
，点
、
分别是边
、
上的动点（不含端点），则下列说法正确
的有（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，
，
因为
，故
，所以
，
因为
，
，所以
，则
，即
，A 对；
对于B 选项，因为
，所以
，
整理可得
，即
，
解得
或
，
因为
，则
，又因为
，故
，解得
，
故
，故
，
由
可得
，可得
，又因为
，可得
，
故
，所以
，
所以
，故
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，则
，故
，B 对；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，若
，则
，
取
的中点
，则
，设
，则
，
所以
，故
，
由B 选项可知
，故
，
易知
，即
，可得
，
又因为
，即
，故
，
所以
，D 错.
故选：ABC.
10. 已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴交于点
，直线
与抛物线
交于
两点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若
，则
C. 当
时，则
D. 当
时，则
的最小值为
【答案】BCD
【解析】A：由
，
因为直线
与抛物线
交于
两点，
所以
，
，
，
，
当
时，显然满足
，
此时
，而
，
显然
不成立；
B： 该抛物线的准线为
.
当
时，
，
由抛物线的定义可知
，
显然
成立；
C：当
时，
，
，
所以可得
；
D：当
时，
，
，
所以当
时，
有最小值
，所以本选项正确.
故选：BCD
11.正八面体是由8 个等边三角形构成，在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域
中用于图象识别和处理，在晶体和材料科学中也被广泛应用。现有一个棱长为2 的正八面体PABCDQ，
如图所示，下列说法中正确的是( )
A.若点P，A，B，C，D，Q 在同一个球的球面上，则该球的体积为
B.若该正八面体的12 条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为
C.该正八面体内任意一点到8 个侧面的距离之和为定值
D.已知正方体
的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若
该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为
【答案】ABC
【解析】由题可知，依次连接正方体6 个面的中心，得到正八面体PABCDQ，如图所示.
对于A，点P，A，B，C，D，Q 在图中正方体内切球的球面上，设该球的半径为
，因为
，所
以
，得
，则所求球的体积为
，故A 正确；
对于B，由上图知，正八面体12 条棱的中点在同一球的球面上，即该球与12 条棱相切于棱的中点，该球
的直径为
，即
，故该球表面积为
，故B 正确；
对于C，正八面体体积为
，设正八面体内任意一点到8 个侧面的距离分
别为
，
，…，
，由体积相等，得
，解得
（定值），故C 正确；
对于D，由题意知，该正方体
棱长最大时，其外接球即为正八面体的内切球，设该
球半径为
，取AB 的中点
，
中点
，该平面
截该球所得截面圆的半径为
，如图所示.
显然四边形
是边长为
的菱形，且
，
，由面积相等，得
，得
.设该球的内接正方体棱长为a，则
，得
，故D 错误.故选ABC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.记等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
_________.
【解析】设等比数列
na
的公比为q，由
4
2
4
1
4
S
S
a
a
，得
，则
，即
，而
，因此
，所以
.
故答案为：
.
13.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房
租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位6 名员工（分别记为A，B，C，D，E，F）的专项附加扣
除的享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采访，则
抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同的概率为______________.
项目
员工
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
○
×
住房贷款
利息
○
○
×
×
×
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
【答案】
【解析】从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15
种.
由表格知，符合题意的所有可能结果为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10 种，故所求概率为
.
故答案为：
.
14.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.
例如，点P 为双曲线上一点，
，
为双曲线的焦点，点P 处的切线平分
.已知双曲
线
，
，O 为坐标原点，双曲线C 上的点
处的切线为直线
l，过左焦点
作直线l 的垂线，垂足为M，若
，则双曲线C 的离心率为_________.
【答案】
.
【解析】如图，连接
，
，延长
交直线
1F M 于点N，由于M 是
的平分线上
的一点，且
1F M
MP
，所以点M 为
的中点，所以
1
|
|
PF
PN
，又O 为
的中点，
所以
2
2 |
| 4
F N
OM
，故
，故2
4
a
，则
，将点
5
3, 2
P
的坐标代入
，可得
2
9
5
1
4
4b
，解得
，故离心率
2
2
5
1
2
b
e
a
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）如图，在梯形ABCD 中，
，
，
.
（1）求CD；
（2）平面内点P 在直线CD 的上方，且满足
，求DP
CP
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为
，
，所以
，
在
中，记
，
由余弦定理得
，
在
中，
，
由
得
，即
，解得
或
，
因为
与梯形矛盾，舍去，又
，所以
，即
1
5
DC
.
（2）由（1）知
2
CAD
ADC
BCD
ACD
，
故5
180
ACD
，
所以
，故
5
90
2
DPC
ACB
，
如图所示，在
DPC
△
中，
2
2
2
DC
DP
CP
，
因为
（当且仅当DP
CP
时，等号成立）.
所以
，
故当
时，
取得最大值
.
16.（15 分）2026 年2 月6 日至2 月22 日，米兰--科尔蒂纳冬季奥运会在意大利米兰、科尔蒂纳丹佩佐等
赛区火热进行，单板滑雪、自由式滑雪等雪上项目备受关注。某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的
活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10
所学校进行研究，得到如下数据：
（1）在这10 所学校中随机选取3 所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40
人的条件下，“单板滑雪”不超过30 人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45 的学校可以作为“基地学校”，现在从这10 所学校中随机选出3 所，
记X 为可选出作为“基地学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训，且在集训中
进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优
秀”，在集训测试中，小明同学3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为
，每个动作互不影响且
每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3 次，那么理论上
至少要进行多少轮测试？
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）12
【解析】（1）由题图可得，参与“自由式滑雪”的人数超过40 的学校有4 所，参与“自由式滑雪”的人
数超过40，且“单板滑雪”的人数不超过30 的学校有2 所.
设事件A 为“从这10 所学校中抽到学校至少有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40”，事件B 为“从
10 所学校中选出的3 所学校中参与‘单板滑雪’的人数不超过30”，
则
，
，
所以
（2）由题图可得，“单板滑雪”参与人数超过45 的学校有4 所，则X 的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X 的概率分布为
X
0
1
2
3
P
………………………………10 分
所以
.
（3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为
，
所以小明同学在n 轮测试中获得“优秀”的次数Y 满足
，
由题意，得
，得
，
因为
，所以n 的最小值为12，
所以理论上至少要进行12 轮测试.
17.（15 分）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
（
0
a
，
）的左、右焦点分别为
，
，且
，
在双曲线C 上.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知不与x 轴垂直且过点
的直线l 与双曲线C 交于P，Q 两点，若
，
，且
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）依题意得，
解得
，
，
故双曲线C 的方程为
.
（2）依题意，得
，设直线l 的方程为
，
，
.
联立
整理得
，
所以当
时，
，
所以
，
，
所以
，即
，
故直线BR 的方程为
.
令
，得
，
则
，
所以
，故
.
18.（17 分）如图，平面四边形PBCD 中，点A 是线段PD 上一点，
，
，沿着AB 将
折叠得到四棱锥
.
（1）求证：平面
平面ABCD.
（2）若
，且
，
，折叠后
.
①求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值的最大值.
②若三棱锥
的四个顶点均在以G 为球心的球上，试问三棱锥
的外接球的体积是否存
在最小值？若存在，求出线段AB 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）①
②存在，
【解析】（1）证明：在平面四边形PBCD 中，
因为点A 是线段PD 上一点，
，所以折叠后有
，
又
，
平面
，
平面PAD，所以
平面
.
又
平面ABCD，所以平面
平面ABCD.
（2）设
，则
.
①如图，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系Axyz，
因为
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
，
.
设平面PCD 的法向量为
，
由
，
得
令
，则
.
设平面PAB 的法向量为
，
由
，
得
令
，则
.
设平面PAB 与平面PCD 的夹角为
，则
.
令
，则
，
所以当
，即
时，
取得最大值
.
②如图，由（1）知平面
平面ABCD，
又因为三棱锥
的四个顶点均在以G 为球心的球上，
设
和
的外接圆圆心分别E 和F，则球心为过点E 和F 且分别垂直于平面PAD、平面ACD
的两直线的交点G，过点F 作
于H，连接EH，设
，显然四边形GFHE 为矩形，
所以
.
在
中，因为
，所以由余弦定理得
，
再由正弦定理得
的外接圆半径
.
在
中，
，
，
，所以由余弦定理得
，
再由正弦定理得
的外接圆半径
.
所以
，即
，
所以
，
故当
时，
取得最小值，即
，此时三棱锥
外接球的体积最小值为
，
故三棱锥
外接球的体积存在最小值
，此时
.
19.（17 分）已知
为定义域M 内的连续函数，
为其导函数，常数
，若各项不相等的数
列
满足
，
，
，则称
为
的“拉格朗日数列”，简
记为“
—数列”.
（1）假设函数
，数列
是
的“
—数列”，且
.
（i）求
，
；
（ii）证明：
是递减数列.
（2）正项数列
是函数
的“
—数列”，已知
，记
的前n 项
和为
.证明：当
时，
.
【答案】（1）（i）
，
（ii）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）（i）因为
，
，
所以
，解得
，
所以
，解得
.
（ii）证明：当
时，易知
，所以
.
因为
，所以
，所以
，所以
，…，以此类推，故
.
要证
，只需证
，即证
.
设函数
，则
，
所以当
时，
单调递增，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以数列
是递减数列.
（2）证明：要证
，
当
时，
，成立，
当
时，只需证
.
设
为数列
的前
项和，
则
，
所以只需证
.
设
，可得
，
所以
.
由“
—数列”的定义得
，
，
，
所以
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
又因为
，所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增.
因为
，
在
上单调递增，
所以只需证
.
设
，
，则
，
.
因为
，所以
单调递增，所以
单调递增.
因为
，所以
，所以
，
单调递减，
所以
，所以
单调递增，
所以
，即
，
所以
，所以
，即
.
综上所述，当
时，
.
