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教考衔接二十五 教材命题点探源
高三数学 突破卷03
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.设集合
，
，若
，则实数a 取值集合的真子集的个数
为( )
A.2
B.3
C.7
D.8
2.若
（i 为虚数单位），则
在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在等边
中，已知点D，E 满足
，
，
与CE 交于点O，则
在
上
的投影向量为( )
A.
B.
C.
3
4 AC
D.
1
2 AC
4.当
时，曲线
与
的交点个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
5.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的
大量信息.“环权”类似于砝码（如图），用于测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到
大构成项数为9 的数列
，该数列的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且
，
，
，则
的前8 项和为( )
A.194
B.193
C.192
D.191
6.若
是函数
的极小值点，则
的极大值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆
的右焦点为F，过点F 且斜率为1 的直线l 交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知直三棱柱
中，
，
，点C 到直线
的距离为
，则
三棱柱
的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3 次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件
A 表示“3 次结果中既有正面向上，也有反面向上”，事件B 表示“3 次结果中最多一次正面向上”，事
件C 表示“3 次结果中没有正面向上”，则( )
A.事件B 与事件C 互斥
B.
C.事件A 与事件B 相互独立
D.记C 的对立事件为
，则
10.已知数列
满足
，
，则下列结论正确的有( )
A.
为等比数列
B.
的通项公式为
C.
为递增数列
D.
的前n 项和
11.已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，D 在边AC 上，且BD 平
分
，若
，
，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
的面积为
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知圆
，直线
交圆M 于A，B 两点，点
，则
面积
的最大值为___________.
13.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，使活塞做直线往复运动.当曲柄
在
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在
处.设连杆AB 长
，曲柄CB 长
，则曲柄自
按顺时针方向旋转
时，活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离
）约为__________mm.（结果保留整数，取
为
）
0
CB
0A
200 mm
70 mm
0
CB
53.2
0A A
sin53.2
4
5
14.若函数
和
的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为
函数
和
的“隔离直线”.已知
，
，若
和
在公共定义
域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
2cos(
) 1
4sin
sin
A
C
A
C
.
（1）求B；
（2）求
a
c 的取值范围.
16.（15 分）已知椭圆
，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端
点构成等边三角形.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点
的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，交直线
于点E，且
，
.
求证：
为定值，并计算出该定值.
17.（15 分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，
获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组
的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组，降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出
整个比赛.A，B，C，D 四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6 场比赛为决赛.
（1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为
，求：
①A 和D 在决赛中过招的概率；
②D 共输了两场比赛且成为亚军的概率.
（2）若A 的实力出类拔萃，即有A 参加的比赛其胜率均为
，其余三人实力旗鼓相当，求D 进入决
赛且先前与对手已有过招的概率.
18.（17 分）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
.
（1）求证：平面
平面PBC；
（2）若
，
，E 是线段BC 上一点，且二面角
的余弦值为
6
3 ，求
CE
CB
的值.
19.（17 分）设n 为正整数，数列
，
，…，
，其中
.若
，
，…，
可
被分为l 组，使得每组各数之和不超过1，则称数列
，
，…，
为
可分数列.
（1）若
，
，数列
，
，…，
是
可分数列，求l 的最小值；
（2）若
，
，证明：数列
，
，…，
是
可分数列；
（3）给定正数M，若任意满足
的数列
，
，…，
均为
可分数列，求l 的
最小值（用含M 的式子表达）.
