文档文本内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................4
高频考点一：相互独立事件的判断与概率........................................................4
高频考点二：条件概率......................................................................................9
高频考点三：全概率公式的应用.....................................................................14
第四部分：新定义题.............................................................................................19
第一部分：基础知识
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件 、不可能事件 与任意事件相互独立
性质2：如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
则： ， ，
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③设 和 互为对立事件，则 ．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设 , , 是一组两两互斥的事件, ,且 ，
,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发
生的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、独立事件的乘法公式
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件
与事件 不互斥，A错误；选项B， ， ， ，
，B正确；
选项C，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错
误；
选项D， ， ， ，
，
与 不独立，故D错误．
故选：B．
2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有 3种题库， 题库有5000道题， 题库有
4000道题， 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成 题库的正确率是0.92， 题库的正
确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知， 题库的比例为： ，
各占比分别为 ，
则根据全概率公式知所求正确率 ．
故答案为：0.85．
3．（2024·天津·高考真题） 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为
；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．
【答案】
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选
了 活动，他再选择 活动的概率.
【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到 有6种可能性： ，
则甲选到 得概率为： ；乙选 活动有6种可能性： ，
其中再选则 有3种可能性： ，
故乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 .
解法二：
设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ，
则甲选到 的概率为 ；
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为
故答案为： ；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：相互独立事件的判断与概率
典型例题
例题1．（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚点数小于3”，事件
“第二枚点数大于4”，则 与 关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式
【分析】利用古典概型分别求出 ，由 可得解.
【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件 个，
其中事件 有 ，共12个，
事件 有 ，共12个，事件 有
，共4个基本事件，
所以 ,所以 ，故 相互独立，
答选：C
例题2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点
数，若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验结果，设事件
；事件 ：至少有一颗点数为5；事件 ；事件 .则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 为互斥事件 B．事件 与事件 为互斥事件
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
【答案】D
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法
公式
【分析】分别写出事件 、 、 、 所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A，B；根据独立事
件的定义判断C，D.
【详解】解：由题意可知 ；
；
；
；
对于A，因为 ，所以事件 与事件 不是互斥事件，故错误；
对于B，因为 ，所以事件 与事件 不是互斥事件，故错
误；
对于C，因为 ， ， ，所以事件
与事件 不相互独立，故错误；
对于D，因为 ， ，
，
所以事件 与事件 相互独立，故正确.
故选：D.
例题3．（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号
分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和小于5”，
事件 “摸出的两个球的编号都大于2”，事件 “摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件 与事件 是互斥事件 B．事件 与事件 是对立事件C．事件 与事件 是相互独立事件 D．事件 与事件 是互斥事件
【答案】ACD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、利用对立事件的概率公式求
概率、独立事件的判断
【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；
【详解】列举各事件如下： ， ， ，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即 ，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1， ， ， ，故B错误；
C：因为 ，故C正确；
D：事件 ，事件 ，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
例题4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学
问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： ，
，……，[90,100)，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学
问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.
【答案】(1) ，75；
(2)
【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、利用对立事件的概率公式求概率、独立
事件的乘法公式
【分析】（1）根据频率之和为 即可求出 ，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；
（2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图有 ，解得 ，
因为 ，所以中位数在区间 内，设为x，
则有 ，得 ，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设 “任选一道题，甲答对”， “任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得： ， ，
所以有 ，
记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有 ，且有 与 互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与 ， 与B， 与 均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 .
练透核心考点
1．（24-25高二上·山西·开学考试）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道
题的概率分别为 ， ， ，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为 ，则他三道题
都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】根据条件，先求 的有关值，再求对应事件的概率.
【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且 .
恰好能答对两道题为事件 ，且 两两互斥，
所以
，整理得 ，他三道题都答错为事件 ，
故 .
故选：C.
2．（23-24高二下·河北邢台·期中）甲､乙两社团各有3名男党员､3名女党员，从甲､乙两社团中各随机选
出1名党员参加宪法知识比赛.设事件 为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件 为“从乙社团中选
出的是男党员”，事件 为“从甲､乙两社团中选出的是2名男党员”，事件 为“从甲､乙两社团中选出
的是1名男党员和1名女党员”，则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 相互独立
C． 与 相互独立 D． 与 互斥
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的乘法公式
【分析】根据相互独立事件及互斥事件的公式法判断即可.
【详解】由题意可得 .
因为 ，所以 与 相互独立， 正确.
因为 ，所以 与 不相互独立， 错误.
因为 ，所以 与 相互独立，C正确.
因为 ，所以 与 互斥， 正确.
故选：B
3．（多选）（24-25高二上·广西柳州·开学考试）抛掷质地均匀的骰子两次，事件 “第一次出现偶数
点”，事件 “第二次出现奇数点”，事件 “两次都出现偶数点”，则（ ）
A．A包含C B．A与B相互独立
C．B与C互为对立事件 D．B与C互斥但不对立
【答案】ABD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断、独立事件
的乘法公式
【分析】先由题得 ， ， ，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由
相互独立事件的乘法公式去计算 和 即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定
义即可判断.
【详解】由题意可知 ， ， ，且 ， ， ，
对于A，由上可知A包含C，故A正确；
对于B， ， ，故 ，故B正确；
对于C和D，设事件 “抛掷质地均匀的骰子两次”，则 ，
故由 和 知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况，再根据包含
事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断得解.
4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.
第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个
问题回答正确得30分，回答错误得 分.规定：每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关
成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率是 ，且各问题回答正确
与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 .
【答案】 / /
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回
答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.
【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率是
，
由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，
只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，
所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为 .
故答案为： ，
高频考点二：条件概率
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一
次，已知两人的命中率分别为 和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】运用对立事件的概率公式求出 ，再结合条件概率计算即可.
【详解】记“甲击中”为事件 ，“乙击中”为事件 ，“目标被击中”为事件 ，
则 ，
已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为
，解得 ．
故选：C.
例题2．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者
从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲
会做其中的4道题，记事件 为“第一题答对”，事件 为“第二题答错”，事件 为“甲被录用”，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】由互斥事件的加法公式可得A错误，利用独立事件的乘法公式可得B正确，C正错误；再由条件
概率的计算公式可求得D正确.
【详解】根据题意易知 ，A错误；
由独立事件的乘法公式可得 ，B正确；
易知 ，C错误；
由题可知 ，而 ,
所以 正确．
故选：BD
例题3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球
5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中
随机取出2个球，分别用 ， 表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用 ， 表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题得 ，C选项正确.
根据条件概率得： ，A选项正确.
，B选项错误.
对于D， ，故D正确.
故选：ACD
例题4．（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均
为 ，小郅胜小睿的胜率为 ，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，
胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可.
（2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可.
（3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率
乘法公式求解即可.【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
所以需要下第四场比赛的概率为
（2）由题意，最终小金获胜的情况如下，
当小金第一场轮空，
第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时 ，
第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时 ，
则小金获胜 ，
当小金第一场不轮空，
第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时
，
第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时
，
第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时 ，
所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为 ，
同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为 ，
故小金获胜概率为
（3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则 ，
结合（2）知 ，
法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为 ，
第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为 ，练透核心考点
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力
项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率 ，乙
挑战成功的概是 ，甲、乙均未挑战成功的概率 ，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率
【分析】根据题意由概率的加法公式可得 ，再由条件概率公式计算即可得出结果.
【详解】记甲挑战成功为事件A，乙挑战成功为事件B，
则 ， ， ，
由概率加法公式知 ，
可得 ，
则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为 ．
故选：B．
2．（多选）（24-25高三上·江苏南通·开学考试）随机事件 满足 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．事件 互不独立
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式，结合概率的性质及独立事件的定义
逐项判断可得.【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，而 ，
所以 ，所以事件 互不独立，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，
，所以 ，故D正确.
故选：ACD
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽
到 的条件下，第二次也抽到 的概率为 .（结果用最简分数表示）
【答案】
【知识点】排列数的计算、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、计算条件概率
【分析】记事件 第一次抽到 ，事件 第二次抽到 ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件 第一次抽到 ，事件 第二次抽到 ，
则 ， ，
因此， .
故答案为： .
4．（24-25高二下·全国·课后作业）“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢
庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾
叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，
若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为 ，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获
得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 ．【答案】
【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】运用条件概率公式，结合相互独立事件概率公式计算即可.
【详解】由题可得，“甲获得冠军的概率”记为事件 ，则 ，
“甲、乙两队进行了3局比赛”记为事件 ，则 ，
故甲获得冠军的条件下，甲、乙两队比赛进行了3局的概率为 ．
故答案为： .
高频考点三：全概率公式的应用
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，
分别有10张、15张、20张，若每叠中有2张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率
【分析】记事件 在第 叠卡片中抽奖， ，事件 中奖 ，根据全概率公式即可求解.
【详解】记事件 在第 叠卡片中抽奖， ，事件 中奖 ，
则 ， ．
由全概率公式可得
．
故选:C.
例题2．（多选）（24-25高三上·江苏南京·开学考试）对于随机事件A，B，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．【答案】BCD
【知识点】概率的基本性质、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】根据条件概率的计算公式，可判断AB的真假，根据和事件概率计算公式，可判断C的真假，结
合全概率公式和条件概率计算公式，可判断D的真假.
【详解】对A：因为 ，故A错误；
对B：由 ，故B正确；
对C：因为 ，故C正确；
对D： ，
所以： .
所以 .故D正确.
故选：BCD
例题3．（24-25高三上·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分
别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97
和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
【答案】 /
【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率
【分析】设 “任取一件产品，结果是不合格品”， “任取一件产品，结果是第 条流水线的产
品”， ， ， ， ，根据全概率公式可得 求解即可.
【详解】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02，
设 “任取一件产品，结果是不合格品”，
“任取一件产品，结果是第 条流水线的产品”， ， ， ， ，
根据已知题意得， ，
，
，，
， ， ， ，
根据全概率公式可得
.
故答案为： .
例题4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完
整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概
率为 ，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概
率为 ．
【答案】 /
【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率
【分析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的
三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可.
【详解】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，
选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则 ， ， ，
由全概率公式得
.
故答案为： .
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病
程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的
概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（
）
A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09
【答案】C
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】记事件 使用新药 ，则 不使用新药 ， 病人3天病愈 ，依题意 ，
，
所以 .
故选：C
2．（多选）（24-25高三上·江苏·开学考试）甲罐中有 个红球， 个白球，乙罐中有 个红球， 个白
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． 表示事件“从甲罐取出的球是红
球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确
的是（ ）
A． 为互斥事件 B．
C． D．
【答案】BD
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】运用互斥事件概念，条件概率公式和全概率公式计算,分别判断即可.
【详解】A选项: 事件可以同时发生；显然不成立，故A选项错误；
B选项:当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，∴ ，∴B选项
正确；
D选项: 当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，
∴ , ∴ ，∴D选项正确；
C选项: ，∴C选项错误．
故选：BD.
3．（2024·江苏南京·模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设 为样本空间，若事件 两
两互斥， ，则对任意的事件 ，有
．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，
乙盒中有 个白球 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机
取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 ，则 的最大值为．
【答案】6
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可.
【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为 ， ， ，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为 ，
则 ，
可得
，
解得 ，则 的最大值为6．
故答案为：6.
4．（24-25高二下·全国·课后作业）“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又
称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋
佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有 块月饼，其中有 块是蛋黄月
饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率．
【答案】
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】根据全概率公式直接求解即可.
【详解】记事件 甲拿到蛋黄月饼 ， 乙拿到蛋黄月饼 ， 丙拿到蛋黄月饼 ．
由题意知： ，则 ，
， ， ， ，
.
第四部分：新定义题
1．（2023·浙江杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，
在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我
们的序列状态是…， ， ， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得1元，每
一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ ， ）时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．
(2)证明 是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际，解释当 时， 的
统计含义．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析；
(3) 时， ，当 时， ，统计含义见解析
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、游戏的公平性、其他问题中的概率解释、利用全概率公式求
概率
【分析】（1）明确 和 的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得 ，整理为 ，即可证明结
论；
（3）由（2）结论可得 ，即可求得 ， 时， 的数值，结合概率的变化趋
势，即可得统计含义.
【详解】（1）当 时，赌徒已经输光了，因此 .
当 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率 .
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元且下一场赢的事件,
,即 ，
所以 ，
所以 是一个等差数列，
设 ，则 ，
累加得 ，故 ，得 ，
（3） ，由 得 ,即 ,
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会 的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和
数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确
，即可求解,
