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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一
些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d > r 1＋
r 2
外切
d ＝
r 1＋
r 2
相交
| r 1－
r 2|< d < r 1＋
r 2
内切
d ＝
| r 1－
r 2|
内含
d <| r 1－
r 2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2√r
2-d
2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，代入，消去y，得关于x 的
一元二次方程，则|MN|＝√1＋k
2·√( xM ＋xN )
2- 4 xM xN.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
2.直线3x＋4y＝5 与圆x2＋y2＝16 的位置关系是( )
A.相交且直线经过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线不经过圆心
答案 D
解析 圆心到直线的距离d＝
5
√3
2＋4
2＝1<4，且直线3x＋4y＝5 不经过点(0，0)，所以直线与圆相交且不
经过圆心.
3.直线2x－y＋1＝0 与圆x2＋y2＝2 交于A，B 两点，则弦AB 的长度为( )
A.4√2
5
B.6√5
5
C.2√2
5
D.3√5
5
答案 B
解析 设圆x2＋y2＝2 的圆心为C(0，0)，半径r＝√2，
因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0 的距离d＝
1
√4＋1 ＝√5
5 ，
所以|AB|＝2√r
2-d
2＝2√2- 1
5 ＝6√5
5
.
4.圆C1：x2＋y2＝4 与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 的位置关系是( )
A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
答案 A
解析 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝√(4 -0)
2＋(3-0)
2＝5＝r1＋r2，
故两圆外切.
灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.直线l 与圆C 相切
C.直线l 与圆C 相交
D.直线l 与圆C 相离
答案 AC
解析 圆C：(x－2)2＋y2＝16 的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0 恒过定点(3，1)，显
然√(3-2)
2＋1
2＝√2<4＝r，因此点(3，1)在圆C 内，直线l 与圆C 相交，B，D 错误，A，C 正确.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d 与r 的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ 判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 已知直线l：y＝kx＋3 与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4 交于A，B 两点，若|AB|＝2√3，则k 等于(
)
A.－3
4
B.3
4
C.1
2
D.－1
2
答案 A
解析 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4 的圆心C(1，1)，r＝2，
所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3 的距离
d＝|k ＋2|
√1＋k
2，
而d＝√
r
2-(
| AB|
2 )
2
＝√4 -3＝1，
所以d＝|k ＋2|
√1＋k
2＝1，解得k＝－3
4 .
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2√r
2-d
2.
命题点3 切线问题
例3 (多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，所得切线方程为( )
A.x＝4
B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3
D.8x－15y－3＝0
答案 AB
解析 由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3，
则圆心到切线的距离d＝|-k -3-1|
√1＋k
2
＝1，可得k＝－15
8 ，
所以y＝－15
8 (x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x＋8y－36＝0 或x＝4.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d
＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后
令判别式Δ＝0 进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P 是直线3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA，PB 是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，A，
B 是切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
答案 2√2
解析 圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S 四边形PACB＝2S△PAC＝2×1
2×|AP|·|AC|＝|AP|＝√| PC |
2-1，
所以求S 四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C 到直线3x＋4y＋8＝0 的距离
d，即d＝|3＋4＋8|
√3
2＋4
2
＝3，
所以四边形PACB 面积的最小值为√9-1＝2√2.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆
心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列
命题正确的有( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.y 轴被圆C 截得的弦长为2√6
C.直线l 与圆C 恒相交
D.直线l 被圆C 截得弦长最短时，直线l 的方程为2x－y－5＝0
答案 ACD
解析 由已知可得，圆心C(1，2)，半径r＝5，
直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
由{
2 x＋y -7＝0,
x＋y - 4＝0, 可得{
x＝3,
y ＝1,
所以直线l 恒过定点(3，1)，A 正确；
将x＝0 代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2√6，
所以y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，B 错误；
因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为√(1-3)
2＋(2-1)
2＝√5<5＝r，
所以点(3，1)在圆内，直线l 与圆C 恒相交，C 正确；
当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l 垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l 被圆C 截得的弦长最短，则l 的斜率k 应满足1-2
3-1·k＝－1，所以k＝2，
代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D 正确.
(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P 在圆O：x2＋y2＝4 上，直线l：4x＋3y－12＝0 分别与x 轴、y 轴交于
A，B 两点，则( )
A.过点B 作圆O 的切线，则点B 到切点的距离为2√3
B.满足⃗PA·⃗PB＝0 的点P 仅有1 个
C.点P 到直线l 距离的最大值为22
5
D.|⃗PA ＋⃗PB|的最小值是1
答案 ACD
解析 点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O 的半径为r，过点B 作圆O 的切线，所以点B 到切点的距离为
√|OB|
2-r
2＝√16- 4＝2√3，故A 正确；
由中点坐标公式得线段AB 的中点为M(
3
2 ，2)，由两点间距离公式得|AB|＝5，则以线段AB 为直径的圆M
的方程为(x - 3
2)
2
＋(y－2)2＝25
4 ，
因为|OM|＝√
9
4 ＋4＝5
2，
而5
2－2＝1
2，5
2＋2＝9
2，
满足1
2<5
2<9
2，所以圆M 与圆O 相交，所以满足⃗PA·⃗PB＝0 的点P 有2 个，故B 错误；
圆心O 到直线l 的距离为|-12|
√4
2＋3
2 ＝12
5 ，半径r＝2，所以点P 到直线l 距离的最大值为22
5 ，故C 正确；
线段AB 的中点为M(
3
2 ，2)，
则⃗PM ＝1
2 (⃗PA ＋⃗PB)，
所以|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PM|，
因为|PM|min＝|OM|－r＝5
2－2＝1
2，
所以|⃗PA ＋⃗PB|的最小值是1，故D 正确.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项
正确的是( )
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q 分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2 条公切线，则a<4
3
D.当a＝1
3时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为3√6
2
答案 ABD
解析 由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R，
可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，则直线C1C2恒过定
点(3，0)，A 正确；
圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R 即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R，
圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5，
|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B 正确；
若圆C1和圆C2共有2 条公切线，则两圆相交，又|C1C2|＝√(1- 4)
2＋(2a＋a)
2＝√9＋9a
2，
则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<√9＋9a
2<5，解得－4
3 <a<4
3 ，C 错误；
当a＝1
3时，两圆相交，
圆C1：(x－1)2＋( y - 2
3)
2
＝9，
圆C2：(x－4)2＋( y ＋1
3)
2
＝4，
将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－59
3 ＝0，则C1(1，2
3)到直线6x－2y－59
3 ＝0 的距离为
|6- 4
3 - 59
3 |
√6
2＋2
2 ＝3√10
4
，
则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2√
9-(
3√10
4 )
2
＝3√6
2
，D 正确.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一
般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
跟踪训练2 (多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0 与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0 交于A，B 两
点，则下列选项中正确的是( )
A.点(1，－1)在圆O2内
B.直线AB 的方程为x＋y－1＝0
C.圆O1上的点到直线AB 的距离的最大值为2＋√2
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
答案 BC
解析 因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A 错误；
因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB 所在直线的方程为x＋y－1＝0，
故B 正确；
圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0 的距离d＝|-1-1|
√2
＝√2，所以
圆O1上的点到直线AB 的距离的最大值为2＋√2，故C 正确；
直线AB 经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB 是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线段AB 长的弦，故D
错误.
圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程
一、圆中切线问题
1.已知圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P 点的
切线只有一条，其方程为x0x＋y0y＋D x0＋x
2
＋E y0＋y
2
＋F＝0.
2.已知圆的方程为x2＋y2＝r2，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P 点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
3.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)过圆上的P0(x0，y0)点的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆外一点(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2 用xx0 替换，y2 用yy0 替换，x 用
x＋x0
2
替换，y 用y ＋y0
2
替换.
4.过圆外一点P(x0，y0)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度d＝√x0
2＋y0
2＋D x0＋E y0＋F(一般方程)＝
√( x0-a)
2＋( y0-b)
2-r
2(标准方程).
二、常见的圆系方程
1.同心圆圆系
(1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；
(2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0(D2＋E2－4λ>0).
2.过线圆交点的圆系
过直线Ax＋By＋C＝0 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝
0.
3.过两圆交点的圆系
过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y
＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0).
(1)特别地，当λ＝－1 时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切
线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方
程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ[(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)]＝0.
典例 (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9 外一点P(－4，2)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和
B，则直线AB 的方程为 .
答案 x＝－4
5
解析 由题意，切点弦AB 所在直线的方程为(－4－1)(x－1)＋(2－2)(y－2)＝9，化简得x＝－4
5 .
(2)(2025·张家口模拟)圆C1：(x－1)2＋y2＝1 与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36 的公切线的方程为
.
答案 4x＋3y＋1＝0
解析 圆C1的圆心为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心为(5，3)，半径为6，
因为|C1C2|＝√(5-1)
2＋(3-0)
2＝5＝6－1，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆C1，C2化为一般式得
C1：x2＋y2－2x＝0，
C2：x2＋y2－10x－6y－2＝0，
两式相减得8x＋6y＋2＝0，
即4x＋3y＋1＝0，
所以圆C1，C2的公切线的方程为4x＋3y＋1＝0.
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.两圆x2＋y2－2y＝0 与x2＋y2－4＝0 的位置关系是( )
A.相交
B.内切
C.外切
D.内含
答案 B
解析 两圆方程可分别化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1
＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切.
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6 的位置关系为( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
答案 B
解析 直线y＝k(x－5)－2 恒过定点(5，－2)，将定点(5，－2)代入圆的方程，得(5－3)2＋(－2＋1)2＝5<6，
则定点(5，－2)在圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6 内部，所以直线与圆必相交.
3.(2024·菏泽模拟)过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2 作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝
π
3 ，则( )
A.a＝2 或a＝－1
B.a＝－2 或a＝1
C.a＝－3 或a＝1
D.a＝3 或a＝－1
答案 D
解析 圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2 的圆心M(1，1)，半径r＝√2，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝1
2∠AEB＝π
6 ，
则|EM|＝2|AM|＝2√2，
于是√(a-1)
2＋(-1-1)
2＝2√2，
整理得a2－2a－3＝0，
所以a＝3 或a＝－1.
4.在平面直角坐标系Oxy 中，直线l：ax＋by＝1 上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l 被圆C：x2＋y2＝
16 截得的弦长为( )
A.2
B.2√3
C.4
D.4√3
答案 D
解析 直线l：ax＋by＝1 上有且仅有一点P，
使|OP|＝2，则坐标原点到直线的距离d＝|OP|＝2，因为圆C 的圆心为O(0，0)，半径r＝4.
截得的弦长为2√r
2-d
2＝2√16- 4＝4√3.
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0 恒过的定点为( )
A.(－2，1)，(2，－1)
B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2)
D.(－2，－1)，(2，1)
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0 的方程化为a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0，
由{
x -2 y ＝0,
x
2＋y
2-5＝0得{
x＝2,
y ＝1 或{
x＝-2,
y ＝-1,
故圆C 恒过定点(－2，－1)，(2，1).
6.已知A，B 是圆C1：x2＋y2＝3 上的动点，且|AB|＝2√2.P 是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，则|⃗
PA ＋⃗PB|的取值范围是( )
A.[8，12]
B.[6，10]
C.[10，14]
D.[6，14]
答案 D
解析 如图，设弦AB 的中点为D，
则由|AB|＝2√2得，|C1D|＝√3-2＝1，
即D 点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
又|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PD|，
由于P 点在圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上，
所以C2(3，4)，|C1C2|＝5，
所以|C1C2|－1－1≤|⃗PD|≤|C1C2|＋1＋1，
即3≤|⃗PD|≤7，
所以|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PD|的取值范围是[6，14].
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有( )
A.直线l 过定点(1，0)
B.直线l 与圆C 恒相交
C.直线l 被圆C 截得的弦长最短为2√3
D.若直线l 被圆C 截得的弦长为√14，则k＝±1
答案 ABD
解析 对于A，直线l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，则直线l 过定点(1，0)，故A 正确；
对于B，因为12＋02＝1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2＋y2＝4 内部，所以直线l 与圆C 恒相交，故B 正确；
对于C，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l 被圆C 截得的弦长为
2√4 -1
2＝2√3，但此时直线l 的斜率不存在，不符合题意，故C 错误；
对于D，直线l：kx－y－k＝0，圆心C(0，0)到直线l 的距离d＝|- k|
√k
2＋1
＝√
2
2-(
√14
2 )
2
，得k＝±1，故D
正确.
8.(2024·青岛模拟)已知动点M，N 分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1 和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3 上，动点P
在x 轴上，则( )
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为2√10
D.过点P 作圆C1的切线，则点P 到切点的最短距离为√3
答案 BD
解析 圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝√3，A 错误；
|C1C2|＝2√2>1＋√3，圆C1和圆C2外离，B 正确；
圆C1关于x 轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x 轴于点P1，连接P1C1，由圆
的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－√3＝|PC0|＋|PC2|－1－√3≥|C0C2|－1－√3＝2√10－1－√3，当且
仅当点P 与P1重合，且M，N 分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C 错误；
设点P(t，0)，过点P 作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|＝√|P C1|
2-|A C1|
2＝√(t -1)
2＋2
2-1≥√3，
当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，则k 的一个取值是 .
答案 0(答案不唯一)
解析 直线kx－y＋2k＝0 恒过定点(－2，0)，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 的圆心为(1，2)，半径r＝2，
显然点(－2，0)在圆外，若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离d＝|k -2＋2 k|
√k
2＋1
≤2，
化简得5k2－12k≤0，解得0≤k≤12
5 .
又k∈Z，则k＝0 或1 或2.
即k 的一个取值是0.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1 表示过点(1，0)且斜率不为0 的直线，直线
的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都
是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2＋y2＝1 是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n 满足的
关系式为 .
答案 m2＋n2＝1
解析 由定义可知，mx＋ny＝1 与x2＋y2＝1 相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx＋ny＝1 的距离等于1，
则d＝
1
√m
2＋n
2＝1，m2＋n2＝1.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0 和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m 取何值时，两圆外切？(5 分)
(2)当m＝45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8 分)
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为√11和√61-m.
(1)当两圆外切时，
√(5-1)
2＋(6-3)
2＝√11＋√61-m.
解得m＝25＋10√11.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×√
(√11)
2-(
|4＋3×3-23|
√4
2＋3
2
)
2
＝2√7.
12.(14 分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0 与圆C 交于A，B 两点.
(1)若|AB|＝3√2，求实数m 的值；(6 分)
(2)若点P 为直线l 所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l 的方程.(8 分)
解 (1)由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5 的圆心为C(0，1)，半径r＝√5.
∴圆心C 到直线l：mx－y＋1－m＝0 的距离为
d＝|- m|
√m
2＋1
，
由(
|- m|
√m
2＋1)
2
＋(
3√2
2 )
2
＝5，
解得m＝±1.
(2)∵直线l 的方程mx－y＋1－m＝0 可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l 过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C 内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴⃗AP＝(1－x1，1－y1)，⃗PB＝(x2－1，y2－1)，
∵⃗AP＝1
2⃗PB，
∴(1－x1，1－y1)＝1
2(x2－1，y2－1)，
∴1－x1＝1
2(x2－1)，∴x2＝3－2x1，①
由{
mx - y ＋1-m＝0,
x
2＋( y -1)
2＝5 得
(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
(※)
∴x1＋x2＝2m
2
1＋m
2，
②
由①②解得x1＝3＋m
2
1＋m
2，
代入(※)式(1＋m2)(
3＋m
2
1＋m
2)
2
－2m2·3＋m
2
1＋m
2＋m2－5＝0⇒m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l 的方程为x－y＝0 或x＋y－2＝0.
13 题6 分，14~16 题每小题5 分，共21 分
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋√4 - x
2，则( )
A.f(x)只有1 个零点
B.直线y＝2x－1 与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2 个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1 外切
答案 ABD
解析 令y＝f(x)，得x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)，则f(x)的图象为半圆，如图所示，
令y＝0，解得x＝0，由图可知，f(x)只有1 个零点，A 正确，C 错误；
联立y＝2x－1 与x2＋(y＋2)2＝4，
消去x 并整理得5y2＋18y＋1＝0，
解得y1＝-9＋2√19
5
，
y2＝-9-2√19
5
(舍去)，
所以直线y＝2x－1 与曲线y＝f(x)有唯一公共点，B 正确；
半圆x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)与圆x2＋(y－1)2＝1 的圆心分别为(0，－2)，(0，1)，半径分别为2，1，
所以圆心距为|1－(－2)|＝3＝1＋2，即圆心距等于半径之和，
所以曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1 外切，D 正确.
14.已知实数m，n 满足2m＋3n＝22m＋32n，则8m＋27n的最大值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 令x＝2m，y＝3n，
则条件化为x＋y＝x2＋y2(x，y>0)，
即(x - 1
2)
2
＋( y - 1
2)
2
＝1
2，x>0，y>0，为半圆，
令x＋y＝t，
画出图形如图所示，
显然当x＋y＝t 经过圆心时，
t＝1
2 ＋1
2＝1，
当圆心(
1
2 ，1
2)到直线x＋y＝t 的距离为|
1
2 ＋1
2 -t|
√1＋1
＝√2
2
时，
解得t＝2(t＝0 舍去)，
故x＋y∈(1，2].
则x2＋y2＝t.
所以xy＝( x＋y)
2-( x
2＋y
2)
2
＝t
2-t
2
，
所以8m＋27n＝x3＋y3＝(x＋y)3－3xy(x＋y)＝t3－3×t
2-t
2
×t＝－1
2t3＋3
2t2，
令f(t)＝－1
2t3＋3
2t2，
则当t∈(1，2]时，f'(t)＝－3
2t2＋3t＝－3
2t(t－2)≥0，
于是f(t)在(1，2]上单调递增，
所以f(t)max＝f(2)＝2.
综上所述，8m＋27n的最大值为2.
15.(2025·赣州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C'是以圆x2＋y2＝1 上任意一点为圆心，半径为1 的
圆.圆C 与圆C'交于A，B 两点，则当∠ACB 最大时，|CC'|＝ .
答案 2
解析
依题意，在△ABC 中，|AC|＝|BC|＝√5，如图，显然0<|AB|≤2，∠ACB 是锐角，sin
∠ACB
2
＝
1
2 | AB|
| AC |
＝| AB|
2√5
，
又函数y＝sin x 在(0，π
2)上单调递增，
因此当且仅当公共弦AB 的长度最大时，∠ACB 最大，此时弦AB 为圆C'的直径，
在Rt△ACC'中，∠AC'C＝90°，|AC'|＝1，
所以|CC'|＝√| AC |
2-| AC ' |
2＝2.
16.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)＝{√1- x
2,-1≤x ≤1,
f ( x -2), x>1,
若直线y＝knx 与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则
k1
2＋k2
2＋…＋kn
2＝ .
答案
n
2n＋1
解析 当－1≤x≤1 时，y＝f(x)＝√1- x
2，即x2＋y2＝1，y≥0，
当x>1 时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，
画出函数图象，如图所示.
若直线y＝knx 与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
根据图象知，直线y＝knx 与第n＋1 个半圆相切，不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P，连接POn＋1，
所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝
|P On＋1|
|OP|
＝
1
√|On＋1O|
2-1
2＝kn，
kn＝
1
√(2n)
2-1
＝
1
√4 n
2-1，故kn
2＝
1
4 n
2-1
＝
1
(2n-1)(2n＋1) ＝1
2(
1
2n-1 -
1
2n＋1)，
所以k1
2＋k2
2＋…＋kn
2
＝1
2(1- 1
3 ＋1
3 - 1
5 ＋…＋
1
2n-1 -
1
2n＋1)＝
n
2n＋1.
