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专题 01 集合与常用逻辑用语、复数
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热点聚焦 方法精讲 能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：1、集合与复数：作为近三年高考高频考点，命题形式以选择题为主，呈现“内容聚焦、频率稳
定、题型固定、难度适中”的特点。核心考查方向为：集合间的交集、并集、补集运算（常结合一元一次
不等式、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式为载体），但也要注意集合创新题型的出现；
复数的基本概念（如实部、虚部、共轭复数、模）及四则运算．
2、常用逻辑用语：近三年未出现单独命题，偶尔以“隐含条件”形式融入其他考点题目中．集合内容可
能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运
算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及与函数、方程、不等式等其他章节
知识的跨界结合．
预测2026年：集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查
集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及其他章
节知识与充分必要条件相结合．
热点题型：
题型01 集合之间的关系及运算 题型02 集合的子集问题
题型03 集合的新定义问题 题型04 简单逻辑用语及充要条件
题型05 代数形式下的复数运算
题型01 集合之间的关系及运算
解｜题｜策｜略
分式不等式要注意分母不为0，对数不等式要注意真数大于0
【精选例题】
【例1】设集合 ， ，则A∩(C B)=（ ）
RA． B． C． D．
【例2】已知集合 ， ，则（ ）
A．
B．(C B)∩B=φ
C．
D．(C A)∪(C B)=C A
R R R R
【例3】已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例4】已知集合 ，则 （ ）
A． B．
{x|−2≤x<1}
C． D．
【例5】已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例6】已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型02 集合中的子集问题
解｜题｜策｜略
若集合A中有n个元素，则子集的个数为2n个，真子集的个数为2n −1个【精选例题】
【例1】已知集合 ， ，则 的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【例2】已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【例3】设集合 ，则集合 的真子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【例4】满足 的集合A的个数为（ ）
A．6 ⫋ B．7 C．8 D．15
【变式训练】
1.设集合 ， ，则 的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2.已知集合 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
3.满足 的集合 的个数是 ．
题型03 集合的新定义问题
【精选例题】
【例1】定义集合运算⊕，A， ， ， 表示集合A中元素
的个数，则以下说法不正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则 的值可能为4
C．
D．
【例2】设集合 ，那么集合 中满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．15 B．35 C．40 D．45
【例3】若数集 具有性质 ：对任意的 ， 与中至少有一个属于 ，则称集合 为“权集”，则（ ）
A． 为“权集” B． 为“权集”
C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1
【例4】给定整数 ，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集 ，如果
，则称集合S为一个n元规范数集（注： 表示数集 中的最小数）.对于集合
， ，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集
【例5】（多选题）对任意 ， ，记 ，并称 为集合 ， 的对
称差.例如：若 ， ，则 .下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若 ， 且 ，则 B．若 ， 且 ，则
C．若 ， 且 ，则 D．对任意 ， ，都有
【例6】已知集合 .对于集合 的非空子集 ，如果存在两个元素 ， ，
满足 ，则称集合 为集合 的“好集合”.
(1)试判断 ， 是否为 的“好集合”，并说明理由；
(2) 为 的子集，且 中元素均为偶数，证明： 是 的“好集合”；
(3)若 的任意含有 个元素的子集都是 的“好集合”，求 的最小值.
【例7】在一个圆周上依次写出 （ 为奇数）个正实数 ，相邻两个数的乘积构成集合
，且 .
(1)若 ，求集合 ；
(2)当 时，
（i）求出满足条件的一个集合 ；
（ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合 都是无理数.【例8】对于正整数集合 ，定义：若任意去掉 个元素 后，剩余
的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“ -强可分集合”．
(1)判断集合 是否为“2-强可分集合”，并说明理由；
(2)求证：集合 一定不是“2-强可分集合”；
(3)若集合 是“1-强可分集合”．
①证明： 为奇数；
②求集合 中元素个数的最小值．
【变式训练】
1．整数集合 中，被4所除余数为 的所有整数组成一个“类”，记作 ，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，则
2．若集合 具有性质 ：“对任意 ，
与 至少有一个属于 ”，则称集合 为 型集合．已知集合 为 型集合，且 ，
则 （ ）
A．1025 B．3075 C．4050 D．4100
3．设集合 中元素均为正整数，且至少有两个元素，若 满足：①对于任意 ，若 ，
都有 ；②对于任意 ，若 ，则 ．则关于下面两个命题，说法正确的是（ ）
命题 ：若S有3个元素，则 有4个元素．
命题 ：若 有4个元素，则 有7个元素．
A． 是真命题， 是真命题 B． 是真命题， 是假命题
C． 是假命题， 是真命题 D． 是假命题， 是假命题4．（多选题）设集合 是实数集 的子集，如果实数 满足：对任意 ，都存在 ，使得
，称实数 为集合 的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），
则称 为 集，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 集，则 或
B．若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
C．若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D． ， 且 ，使得 是 集
6．已知集合 ，非空集合 ，且满足: 对任意 ，均存在 ，使 . 记符
合要求的 的个数为 . 则对于正整数 ， .
7．对于给定的非空数集 ，定义集合 ，
，当 时，称 具有孪生性质.
(1)若集合 ，求集合 ， ；
(2)若集合 ， ，且 ，求 的值并证明： ；
(3)若集合 ，且集合 具有孪生性质，记 为集合 中元素的个数，求 的最大
值.
8．设 为正整数，若集合 满足如下三个条件，则称 具有性质 ：
① 都是元素个数为 的数集；②对任意 ，集合 的元素个数均为1；
③ .
(1)若集合 具有性质 ，写出集合 ；
(2)若集合 具有性质 ，判断是否存在 使得
，并说明理由；
(3)若集合 具有性质 ，求 的最大值.
9．已知 是 元数组集合， 是 的非空子集.
对于任意 元数组 ，定义 与 之间的距离为
，记 为子集 的致密度，其中 表示有限
集 中的最小数.
(1)当 时，直接写出 的一个三元子集 ，使得其致密度 ；
(2)当 时，设 是 的子集.且满足致密度 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由：
(3)设 ，记 的致密度为 ，用 表示集合 中元素个数的最大值，证明：
题型04 简单逻辑用语及充要条件解｜题｜策｜略
①若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件；
②若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件；
③若 ，且 ，即 ，则 、 互为充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
⑤若问命题P成立的一个充分不必要条件为__________，要改为________是命题P成立的充分不必要条
件
【精选例题】
【例1】命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A． , 使得 B． , 使得
C． ，使得 D． ，使得
【例2】已知命题 ：指数函数 是减函数，命题 ，则 是 的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3】已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4】“方程 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例5】“ ”是直线 ： 与直线 ： 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例6】《齐民要术》是中国杰出农学家贾思嗯（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的
一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功
多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而
成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例7】集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要
条件，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【例8】已知 ， 均为非零向量，其夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例9】若 ， 是两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
1．“函数 在 上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．下列条件中，为“关于x的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
3.“ ”是“ 满足对任意 都有 成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.下列四个选项中，使 成立的充分不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
5.已知a，b都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知直线 ， 设甲： ；乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知平面向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8.“函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.已知函数 ，若当 的定义域为 时实数 的取值范围为集合A，当 的
值域为 时实数 的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型05 代数形式下复数的基本运算
解｜题｜策｜略
①复数包含实数和虚数，形如z=a+bi(a,b∈R)，实部:a，虚部：b
当b=0时为实数，当b≠0时为虚数，虚数不能比较大小（注意不能说复数不能比较大小，因为复数包
含实数）
{a=0
②纯虚数：当 时，为纯虚数
b≠0
z |z |
1 1
③复数的模： |z|=|a+bi|= √a 2 +b 2，复数模的性质： |z⋅z |=|z ||z | ，| z |= |z |
1 2 1 2 2 2
④共轭复数：若z=a+bi(a,b∈R)，则
的共轭复数为
z=a−bi
z
⑤复平面：z=a+bi=(a,b)，|z|=|a+bi|= √a 2 +b 2 表示点(a,b)到原点的距离
【精选例题】
1
z−2i=
【例1】已知复数z满足
1−i
，则复数z在复平面内的点到原点的距离为_______.
|z|=1 |(z+i)(z−i)|
【例2】若复数z满足 ，则 的最大值为_________
【例3】若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【例4】（多选题）设 、 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 ，则 D．若 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
【例5】（多选题）已知复数 ，复数 所对应的向量分别为 ，其中O
为坐标原点，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【例6】若 ，其中 是虚数单位，则 ．
【变式训练】
1．已知复数 、 在复平面内对应的点分别为 、 ， （ 为坐标原点），且
，则对任意 ，下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． 的周长 D． 的面积
2.已知 是复数， 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．
B．若 ，则 的最大值为
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第一象限
D．若 是关于 的方程 的一个根，则
3.若复数z满足 ( 为虚数单位），则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D． +1
4．若 为虚数单位，复数 满足 ，则 的最大值为 .
5．为求方程 的虚根，可把原式变形为 ，由此可得原方程的一个虚
根的实部为 .6．（多选题）已知复数 ， ，则下列命题成立的有（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
7．（多选题）设复数 （ 且 ），则下列结论正确的是（ ）
A． 可能是实数 B． 恒成立
C．若 ，则 D．若 ，则
8．（多选题）已知复数 ， ， ， 为坐标原点， ， ，
对应的向量分别为 ， ， ，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 与 的夹角为
D．若 ，则 为正三角形
9．（多选题）设复数 ， 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的共轭复数为 B．
C．若 是方程 的根，则 D．
10．已知方程 的两个虚根 、 满足 ，则m的值是 .
（建议用时：60分钟）
1．(25-26高三上·山东济南第一中学·期中)已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．2．已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．集合 ， ，则 中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
4．(25-26高三上·河北沧州沧县中学·期中)已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．(25-26高三上·上海行知中学·期中)已知 ， 是两条不同的直线， 为平面 内的一条直线，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(25-26高三上·辽宁实验中学·期中)已知集合 ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(25-26高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知命题“ ”为假命题，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
8．(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)设 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．(25-26高三上·新疆部分学校·)已知p： ， ；q： ， ，则
（ ）
A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题， 是真命题
C． 是真命题，q是真命题 D． 是真命题， 是真命题
10．若复数 与 都是纯虚数，则 是（ ）
A． B． C． D．
11．复数 的虚部为（ ）
A．1 B．I C．－1 D．
12．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）A． B． C． D．
13．(25-26高三上·河北部分重点中学·)若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
二、多选题
14．设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），则称 为
集，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 集，则 或
B．若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
C．若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D． ， 且 ，使得 是 集
15．(25-26高三上·江苏常州六校教研联合体·调研)已知 为虚数单位，以下选项不正确的是（ ）
A．若复数 满足 ，则 的虚部为
B． ， ， ，则
C． 是 的充分不必要条件
D．若复数 满足 ，则 的最大值为6
16．(25-26高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知集合 ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若集合N中仅含有2个整数元素，则
D．若 ，则
17．(25-26高三上·海南定安县定安中学·月考)以下四个命题中，是真命题的是（ ）
A． ，
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
18．若 ， ，则称集合 为幸福集合．对集合 的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ）
A．幸福集合个数为8 B．含 的幸福集合个数为4
C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个
19．非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ．称
A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A为一个“封闭集”，则
B．若A为一个“封闭集”，且 ，则
C．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
D．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
20．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)设 ， 均为非零复数，下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
21．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)已知复数 在复平面内的对应点为 ，复数 在复平面
内的对应点为 ，且 ，则（ ）
A．
B． 的共轭复数是
C． 是纯虚数
D．复数 在复平面内的对应点位于第一象限
22．(25-26高三上·江苏常州高级中学·)已知复数 ，则（ ）
A． B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z是方程 的一个复数根
三、填空题
23．已知集合 ，集合 、 、 满足：①每个集合都恰有4个元素；②
.集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，
则 的最大值与最小值的积为 .
四、解答题
24．已知集合 具有性质 ：对任意
与 至少一个属于 .(1)分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由.
(2) 具有性质 ，当 时，求集合 .
(3)记 ，求 .
25．记集合 的元素个数为 ．例如：若 ，则 ．定义集合 的相关
数 如下： 且 ，使
(1)对集合 ，分别判断5、6是否相关数，并说明理由；
(2)若 为集合 的相关数，求证： ；
(3)求集合 （整数 ）的相关数 的最小值（用 表示）．
