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§6.7 子数列问题
重点解读 子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有
规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项
不变化，项数变化.
题型一 奇数项与偶数项问题
例1 已知数列{an}满足an+1={
2an-1,n 为奇数,
an+1,n 为偶数
且a1=1.
(1)证明：数列{a2n-1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前100 项和S100.
(1)证明 由题意，得当n∈N*时，
a2n=2a2n-1-1，
①
a2n+1=a2n+1，
②
将①代入②，得a2n+1=2a2n-1，
所以数列{a2n-1}是首项为1，公比为2 的等比数列.
(2)解 由(1)知a2n-1=2n-1，
因为a2n=2a2n-1-1，
所以a2n=2·2n-1-1=2n-1.
所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
=(20+21+…+249)+(21-1+22-1+…+250-1)
=(20+21+…+249)+(21+22+…+250)-50
=1×(1-2
50)
1-2
+2×(1-2
50)
1-2
-50
=3×250-53.
思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n))；
(2)含有(-1)n的类型；
(3)含有{a2n}，{a2n-1}的类型.
跟踪训练1 (2024·西安模拟)已知正项数列{an}中，a3=4，a2a5=32，且ln an，ln an+1，ln an+2成等差
数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=an+(-1)nlog2an+1，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 (1)∵ln an，ln an+1，ln an+2成等差数列，
∴2ln an+1=ln an+ln an+2，
即an+1
2
=anan+2，而an>0，
∴{an}为等比数列，
设{an}的公比为q，q>0，则{
a3=a1q
2= 4 ,
a2a5=a1
2q
5=32,
得a1=1，q=2，∴an=2n-1.
(2)bn=2n-1+(-1)nlog22n=2n-1+(-1)nn，
当n 为偶数时，
Tn=(1+2+22+…+2n-1)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]
=1-2
n
1-2 +n
2=2n+n-2
2
，
当n 为奇数时，
Tn=Tn+1-bn+1=2n+1+n-1
2
-2n-(-1)n+1(n+1)=2n-n+3
2
，
∴Tn={
2
n- n+3
2
(n 为奇数),
2
n+ n-2
2
(n 为偶数).
题型二 数列的公共项
例2 已知数列{an}的前n 项和Sn=3n
2+n
2
，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2+1，b3为等差数
列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n 项和Tn.
解 (1)由Sn=3n
2+n
2
得，
当n=1 时，a1=S1=2，
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=3n-1，
当n=1 时，上式也成立，所以an=3n-1.
依题意，b1+b3=2(b2+1)，
b1+b1·22=2(b1·2+1)，
解得b1=2，所以bn=2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，所以21，23，25，27，…构成首项为2，公
比为4 的等比数列，所以cn=2×4n-1，则Tn=c1+c2+…+cn=2(1- 4
n)
1- 4
=2(4
n-1)
3
.
思维升华 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列
的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
跟踪训练2 (2025·沈阳模拟)已知数列an=2n-1，bn=3n-2，由这两个数列公共项从小到大排列得到
的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为( )
A.cn=3n-2
B.cn=4n-1
C.cn=5n-3
D.cn=6n-5
答案 D
解析 因为数列{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，而数列{bn}是首项为1，公差为3 的等差数列，则
这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6 的等差数列，故cn=1+
(n-1)×6=6n-5.
题型三 数列增减项
例3 (2024·滨州模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a4=7，S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列
的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前50 项和T50.
解 (1)因为数列{an}为等差数列，则S5=5a3=25，即a3=5，
可得公差d=a4-a3=2，a1=a3-2d=1，
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)因为在ak与ak+1(k=1，2，…)之间插入2k-1个3，
故在a1与a2之间插入20=1(个)3，
在a2与a3之间插入21=2(个)3，
在a3与a4之间插入22=4(个)3，
在a4与a5之间插入23=8(个)3，
在a5与a6之间插入24=16(个)3，
在a6与a7之间插入25=32(个)3，
所以在a6之前共插入了1+2+4+8+16=31(个)3，
在a7之前共插入了1+2+4+8+16+32=63(个)3，
故T50=a1+a2+a3+a4+a5+a6+44×3=6×(1+11)
2
+132=168.
思维升华 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)
了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
跟踪训练3 已知数列{bn}的前n 项和为Sn，且Sn=n2+n，在等比数列{an}中，a1=b1，a4=b8.
(1)求数列{bn}与{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20 项和.
解 (1)∵Sn=n2+n，
∴当n≥2 且n∈N*时，bn=Sn-Sn-1=2n.
又b1=S1=2 也符合上式，∴bn=2n.
∵a1=b1=2，a4=b8=16，
∴等比数列{an}的公比为2，∴an=2n.
(2)∵a1=2，a2=4，a3=8，
a4=16，a5=32，b25=50，
∴c1+c2+…+c20
=(b1+b2+…+b25)-(a1+a2+…+a5)
=S25-(21+22+…+25)
=252+25-2×(1-2
5)
1-2
=650-62=588.
课时精练
(分值：55 分)
1.(12 分)(2024·佳木斯模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6=24.
(1)求数列{an}的通项公式；(6 分)
(2)设bn={
an,n 为奇数,
1
anan+2
,n 为偶数,求数列{bn}的前20 项和T20.(6 分)
解 (1)因为数列{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5，
所以a2+a8=2×5=2a5，解得a5=5，
因为a4a6=24，
所以(5-d)(5+d)=24，解得d=±1，
因为d>0，所以d=1，
所以an=a5+(n-5)d=5+(n-5)=n，
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由题知bn={
n,n 为奇数,
1
n(n+2) ,n 为偶数,
即bn={
n,n 为奇数,
1
2(
1
n -
1
n+2),n 为偶数,
所以T20=b1+b2+b3+b4+…+b19+b20
=1+1
2×(
1
2 - 1
4)+3+1
2×(
1
4 - 1
6)+…+19+1
2×(
1
20 - 1
22)
=(1+19)×10
2
+1
2×(
1
2 - 1
22)=100+ 5
22=2 205
22
，
故数列{bn}的前20 项和T20为2 205
22
.
2.(13 分)(2024·北京首都师范大学附属中学模拟)已知等差数列{an}满足a3=5，且a5-2a2=3.又数列{bn}中，
b1=3 且3bn-bn+1=0(n=1，2，3，4，…).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(3 分)
(2)若ai=bj，则称ai(或bj)是{an}，{bn}的公共项.
①直接写出数列{an}，{bn}的前4 个公共项；(4 分)
②从数列{an}的前100 项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，求剩下所有项的和.(6 分)
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则有{
a1+2d =5,
(a1+ 4 d)-2(a1+d)=3,
解得{
a1=1,
d =2,
因此an=1+2(n-1)=2n-1.
由3bn-bn+1=0，得bn+1=3bn，而b1=3，
则数列{bn}是以b1=3 为首项，3 为公比的等比数列，bn=3×3n-1=3n，
所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n-1，bn=3n.
(2)①由(1)知，an=2n-1，bn=3n，
则a2=b1=3，a5=b2=9，a14=b3=27，a41=b4=81，
所以数列{an}，{bn}的前4 个公共项依次为3，9，27，81.
②a100=199，而b5=243>a100，
因此数列{an}的前100 项中是数列{an}与{bn}公共项的只有3，9，27，81 这4 项，
所以剩下所有项的和为1+199
2
×100-(3+9+27+81)=10 000-120=9 880.
3.(15 分)(2025·马鞍山模拟)已知数列{an}的前n 项和Sn=2an-n(n∈N*).
(1)求证：数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；(7 分)
(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k 个数构成一个新数列{bn}：a1，2，a2，4，6，a3，8，10，12，a4，…，插入
的所有数依次构成首项为2，公差为2 的等差数列，求{bn}的前50 项和T50.(8 分)
解 (1)因为Sn=2an-n，①
所以当n=1 时，a1=1；
当n≥2 时，Sn-1=2an-1-(n-1)，
②
①-②得an=2an-1+1，
所以an+1=2(an-1+1)，又a1+1=2，
所以数列{an+1}是以2 为首项，2 为公比的等比数列，则an+1=2n，即an=2n-1.
(2)由题意得，在新数列{bn}中，从a1到ak，共插入了1+2+…+(k-1)=k(k -1)
2
(个)数，
共有k+k(k -1)
2
项.
当k=9 时，9+9×(9-1)
2
=45<50；当k=10 时，10+10×(10-1)
2
=55>50，
所以在新数列{bn}的前50 项中，有{an}的前9 项，有新插入的等差数列{2n}的前41 项，
所以T50=(21-1)+(22-1)+…+(29-1)+(2+4+…+82)=2×(1-2
9)
1-2
-9+41×(2+82)
2
=2 735.
4.(15 分)已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且4Sn=an
2+2an-3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；(7 分)
(2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前100 项和.(8
分)
解 (1)依题意，an>0，当n=1 时，得a1=3，
4Sn=an
2+2an-3，
当n≥2 时，有4Sn-1=an-1
2
+2an-1-3，
作差得4an=an
2-an-1
2
+2an-2an-1，
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0(n≥2)，
∵an+an-1>0，
∴an-an-1=2(n≥2)，
∴数列{an}是首项为3，公差为2 的等差数列，
∴an=2n+1，n∈N*.
(2)由(1)得a100=201，
又27<201<28，同时a93=187>27，
∴b100=a93，
∴b1+b2+…+b100=(a1+a2+…+a93)+(21+22+…+27)
=93×(3+187)
2
+2×(1-2
7)
1-2
=9 089.
∴{bn}的前100 项和为 9 089.
