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专题01 集合与常用逻辑用语、
复数与平面向量、计数原理与概率统计
一、集合
1．（2025·湖北·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北·一模）已知集合
，
为自然数集，则下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北武汉·一模）已知集合
，
，则
的子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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4．（2025·湖北鄂州·一模）已知全集
，
，
，则
可以表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、常用逻辑用语
5．（2025·湖北·一模）若数列
各项均为正数，则“
为等比数列”是“
为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
三、复数
6．（2025·湖北武汉·一模）
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（2025·湖北·一模）设复数
满足
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·湖北黄冈·一模）
，
，则
四、平面向量
9．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，且
，则
.
10．（2025·湖北·一模）等比数列
中，
，
，
满足：
（P 点在直线
上），
则
的最大值为 ．
2
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11．（2025·湖北鄂州·一模）（多选）已知非零平面向量
，
，，
满足：
，
，且
，记
，
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
五、集合新定义解答题
12．（2025·湖北鄂州·一模）集合A 为实数构成的有限集，记
为集合A 的元素个数，
为集合A 中所
有元素之和，若对于集合
，存在两两互不相交的集合
，
，
，
，使
得
，且
，
，则称集合
为X
的一个k 分隔.
(1)写出集合
的一个3 分隔；
(2)证明：
存在一个3 分隔；
(3)若
，求集合
存在k 分隔的概率.
六、排列组合与二项式定理
13．（2025·湖北·一模）将两个1，两个3，一个5 排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作
答）
14．（2025·湖北·一模）（多选）在二项式
的展开式中，前3 项的系数成等差数列，则下列结
论中正确的是（ ）
A．
3
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B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．常数项为
D．展开式中系数最大项为第3 项和第4 项
15．（2025·湖北黄冈·一模）下列命题错误的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线
B．已知函数
在R 上满足
，则曲
在点
处的切线方程是
C．30030 能被64 个不同偶数整除
D．在
的二项展开式中，则第3 项的二项式系数为10
16．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十
进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，
，用八进制表示159 这个数就是237.现用八进制表示十进制的
，则这个八进制数的
最后一位为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
七、概率统计
17．（2025·湖北鄂州·一模）随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了
解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100 名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频
率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间
内的是（ ）
4
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A．众数
B．第70 百分位数
C．中位数
D．平均数
18．（2025·湖北武汉·一模）已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布
.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2 件，则这2 件产品的质量指标分别在
）和
的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若
服从正态分布
，则
，
.
A．0.57
B．0.75
C．0.80
D．0.84
19．（2025·湖北鄂州·一模）已知复数
，若
，则
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·湖北鄂州·一模）一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率
向左或向右跳动1 个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4 次后染上颜色的点数个数X 的期
望
.
21．（2025·湖北武汉·一模）19 世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一
个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量
的分布未知的情况下，对事件
做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量
具有数学期望
，方差
，则
对任意正数
，不等式
成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部
分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示：
作物类别
数量
作物平均高度/
作物高度的方差
雄性作物
50
30
256
雌性作物
50
20
361
由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的
概率为0.6，则下列说法正确的是（ ）
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A．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25
B．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5
C．为了保证下一次种植实验中至少有
的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3 且小于
0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27 株
D．经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm 及以上的频率为0.8，若种植20000 株此类作
物，则作物存活16000 株的概率最大
22．（2025·湖北武汉·一模）为了了解某地
岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行
调查，所得数据统计如下表所示：
工资超过3500
工资不超过3500
合计
男性居民
200
180
女性居民
280
240
合计
(1)完善上述表格并依据小概率值
的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3 人，求至少2 人工资超过3500 的概率.
附：
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
23．（2025·湖北·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的
回答被采纳的概率为
，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
.已知输入的问题
表达不清晰的概率为
.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3 个问题（3 个问题相互独立），设
表示智能客服的回答被采纳的次数.求
的分
布列、期望及方差.
24．（2025·湖北·一模）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B 两个信封中，A 信封中
有6 道选择题和3 道论述题，B 信封中有3 道选择题和2 道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，
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作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从B 信封中抽取了2 题，求第2 题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从A 信封中抽取了2 题，答题结束后误将题目放回了B 信封，接着同学丙从B 信封中抽取题目
作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A 信封中取出的是2 个论述题的概率.
7
