2024年高考数学一轮复习（新高考版）第7章　§7.9　空间动态问题突破[培优课]_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

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  §7.9　空间动态问题突破
空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、
轨迹问题、最值问题、范围问题等．
题型一　空间位置关系的判定
例1　(1)(2023·昆明模拟)已知P，Q 分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点
(不与顶点重合)，则下列结论错误的是(　　)
A．AB⊥PQ
B．平面BPQ∥平面ADD1A1
C．四面体ABPQ 的体积为定值
D．AP∥平面CDD1C1
答案　C
解析　对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A 正确；
对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ 与平面BCC1B1重合，
∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B 正确；
对于C，∵A 到平面BPQ 的距离AB 为定值，Q 到BP 的距离为定值，BP 的长不是定值，
∴四面体ABPQ 的体积不为定值，故C 错误；
对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，
∴AP∥平面CDD1C1，故D 正确．
(2)(多选)已知等边△ABC 的边长为6，M，N 分别为边AB，AC 的中点，将△AMN 沿MN 折
起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB 中，下列说法正确的是(　　)
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′－MNCB 体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB
C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′－MNCB 体积最大时，它的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
答案　AB
解析　因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，
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故A 正确；
因为四棱锥A′－MNCB 的底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB 距离最大时，体积最
大，此时平面A′MN⊥平面MNCB，满足题意，故B 正确；
对于C，如图，若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD
＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN ，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面
MNCB，这显然不可能，故C 错误；
当四棱锥A′－MNCB 体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB，如图，
由∠MBC＝，取BC 的中点E，则E 是等腰梯形MNCB 外接圆的圆心，F 是△A′MN 的外心，
作OE⊥平面MNCB，连接OF，则OF⊥平面A′MN，则O 是四棱锥A′－MNCB 外接球的
球心，
且OF＝DE＝，A′F＝，设四棱锥A′－MNCB 外接球的半径为R，则R2＝A′F2＋OF2＝.
故球O 的表面积为4πR2＝39π.故D 错误．
思维升华　解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
跟踪训练1　(2022·杭州质检)如图，点P 在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，
则下列结论一定成立的是(　　)
A．三棱锥A－A1PD 的体积大小与点P 的位置有关
B．A1P 与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
2
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答案　C
解析　对于选项A，
.
在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以点P 到平面AA1D 的距离不变，
即三棱锥P－AA1D 的高不变，又△AA1D 的面积不变，
因此三棱锥P－AA1D 的体积不变，
即三棱锥A－A1PD 的体积与点P 的位置无关，故A 不成立；
对于选项B，由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，
所以平面BA1C1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，
所以A1P∥平面ACD1，故B 不成立；
对于选项C，因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，
所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，
又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，
又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C 成立；
对于选项D，当B 与P 重合时，AP 与D1C 的夹角为，故D 不成立．
题型二　轨迹问题
例2　(1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P 为底面正方形ABCD 内
的一动点，若△APC1的面积S＝，则动点P 的轨迹是(　　)
A．圆的一部分  
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分  
D．椭圆的一部分
答案　D
解析　设d 是△APC1边AC1上的高，则
＝·|AC1|·d＝d＝，所以d＝，即点P 到直线AC1
的距离为定值，所以点P 在以直线AC1为轴，以为底面半径的圆柱侧面上，直线AC1与平面
ABCD 既不平行也不垂直，所以点P 的轨迹是平面ABCD 上的一个椭圆，其中只有一部分在
正方形ABCD 内．
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F 分别为AA1，AB 的中点，M 点是
正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M 点的轨迹长度为________．
答案　
解析　如图所示，取A1B1的中点H，B1B 的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得
四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，又C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，
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所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.
因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由M 点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M 在线段GH 上，所以
M 点的轨迹长度GH＝＝.
思维升华　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
跟踪训练2　(1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB 与平面α 所成的角为，B 为斜足．平面α
上的动点P 满足∠PAB＝，则点P 的轨迹为(　　)
A．圆  
B．椭圆
C．双曲线的一部分  
D．抛物线的一部分
答案　B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
设OB＝OA＝1，
则B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)，
则AB＝(0,1，－1)，
AP＝(x，y，－1)，
所以cos〈AB，AP〉＝＝，
即x2＋＝1，
所以点P 的轨迹是椭圆．
(2)已知动点P 在棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点
P 的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f() ＝________.
答案　3π
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解析　如图，当r＝1 时，点P 在正方体表面上的轨迹分别是以A 为圆心，1 为半径的三个
面上的三段弧，分别为
，
，
，
则f(1)＝3××2π＝，
当r＝时，点P 在正方体表面上的轨迹为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1 为半径的
，
在平面B1BCC1上为以B 为圆心，1 为半径的
，
在平面DCC1D1上为以D 为圆心，1 为半径的
，
则f()＝3××2π＝，
所以f(1)＋f()＝＋＝3π.
题型三　最值、范围问题
例3　(1)如图所示，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起，使平面
ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　)
A.  B.  C．1  D.
答案　A
解析　取AC 的中点O，连接D′O(图略)．
设∠ABC＝α，α∈(0，π)，所以D′O＝AD′cos ＝2cos ，S△ABC＝×2×2sin α＝2sin α.
因为D′O⊥平面ABC，所以V 四面体ABCD′＝S△ABC×D′O＝sin αcos ＝sin cos2＝sin ·.
设t＝sin ，则0＜t＜1，V 四面体ABCD′＝(t－t3)．
设f(t)＝(t－t3)，0＜t＜1，
则f′(t)＝(1－3t2)，0＜t＜1.
所以当0＜t＜时，f′(t)＞0，f(t)单调递增；
当＜t＜1 时，f′(t)＜0，f(t)单调递减．
所以当t＝时，f(t)取得最大值.
所以四面体ABCD′体积的最大值为.
(2)在三棱锥P－ABC 中，PA，AB，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，PA＝AC＝2，AB＝
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3.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________．
答案　
解析　因为在三棱锥P－ABC 中，PA，AB，AC 两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD 与平
面PAC 所成的角为∠ADB，tan∠ADB＝＝，当AD 取得最小值时，∠ADB 取得最大值．在等
腰Rt△PAC 中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值．
以A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)，
则AD＝(0,1,1)，PC＝(0,2，－2)，BC＝(－3,2,0)．
设平面PBC 的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝3，得n＝(2,3,3)．
因为cos〈n，AD〉＝＝＝，
所以AD 与平面PBC 所成角的正弦值为.
思维升华　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思
路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，
即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法
求目标函数的最值．
跟踪训练3　(1)在四面体ABCD 中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD 体积的最大
值是(　　)
A.  B.  C.  D.
答案　A
解析　如图，取AB 的中点E，连接CE，DE，
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设AB＝2x(0＜x＜1)，则CE＝DE＝，
当平面ABC⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，
此时，四面体ABCD 的体积V＝××2x××＝x－x3.
所以V′＝－x2，令V′＝0，得x＝.
当x∈时，V 单调递增，当x∈时，V 单调递减．故当x＝时，V 有最大值，Vmax＝×－×3＝.
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F 分别为B1C1，C1D1的中点，P 是底面
A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP 长度的最小值是________，最大值是________．
答案　　
解析　如图，取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，NE，B1D1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，N 分别为B1C1，A1D1的中点，
∴EN∥A1B1∥AB，EN＝A1B1＝AB，
∴四边形ABEN 为平行四边形，
∴AN∥BE，
又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，
∴AN∥平面BEF，
∵E，F 分别为B1C1，C1D1的中点，
由中位线性质知EF∥B1D1，
同理可知MN∥B1D1，
∴MN∥EF，
又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，
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∴MN∥平面BEF，
又AN∩MN＝N，AN，MN⊂平面AMN，
∴平面AMN∥平面BEF，
∵P 是底面A1B1C1D1上一点，且AP∥平面BEF，
∴P∈MN，
在等腰△AMN 中，当AP 的长度最大时，P 在M 点或N 点，
即APmax＝AM＝AN＝＝，
当AP 的长度最小时，P 为MN 的中点，MN＝，
∴AP＝＝＝，即APmin＝.
课时精练
1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点M 是平面A1B1C1D1 内一点，且BM∥平面
ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　　)
A.  
B．1
C．2  
D.
答案　D
解析　因为当M 在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1，
所以tan∠DMD1＝，当MD1最小时，tan∠DMD1取得最大值，此时tan∠DMD1＝＝.
2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F 分别是棱DD1，BB1上的动点(异于
所在棱的端点)．则下列结论正确的是(　　)
A．在点F 运动的过程中，直线FC1可能与AE 平行
B．直线AC1与EF 必然异面
C．设直线AE，AF 分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1可能在直线PQ 上
D．设直线AE，AF 分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1一定不在直线PQ 上
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答案　AC
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝C1D1，DD1＝BB1，B1C1＝AD，连接C1E，AC1，
EF，
当点E，F 分别是棱DD1，BB1的中点时，
由勾股定理得AE＝，C1F＝，
故AE＝C1F，
同理可得AF＝C1E，
故四边形AEC1F 是平行四边形，
所以在点F 运动的过程中，直线FC1可能与AE 平行，AC1与EF 相交，A 正确，B 错误；
以C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
则当点E，F 分别是棱DD1，BB1中点且几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体时，
设棱长为2，延长AE，A1D1交于点M，延长AF，A1B1交于点N，连接MN，
则C1(0,0,0)，M(2，－2,0)，N(－2,2,0)，
则C1M＝(2，－2,0)，NC1＝(2，－2,0)，
则C1M＝NC1，
又两向量有公共点C1，
所以C1，M，N 三点共线，
故点C1可能在直线PQ 上，C 正确，D 错误．
3．(2023·广州模拟)点P 为棱长是2 的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O 球面上的动点，
点M 为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P 的轨迹的长度为(　　)
A．π  B．2π  C．4π  D．2π
答案　C
解析　根据题意知，该正方体的内切球半径为r＝，如图．取BB1 的中点N，连接CN，则
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CN⊥BM，∴CN 为DP 在平面B1C1CB 中的射影，∴点P 的轨迹为过D，C，N 的平面与内切
球的交线，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∴O 到过D，C，N 的平面的距离为＝1，
∴截面圆的半径为2，
∴点P 的轨迹的长度为2π×2＝4π.
4．(多选)如图，在等腰Rt△ABC 中，BC＝2，∠C＝90°，D，E 分别是线段AB，AC 上异于
端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE 沿直线DE 折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面
BCED，当D 从B 滑动到A 的过程中，下列选项中正确的是(　　)
A．∠A′DB 的大小不会发生变化
B．二面角A′－BD－C 的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A′－EBC 的体积先变小再变大
D．A′B 与DE 所成的角先变大后变小
答案　AB
解析　设A′D＝a，则DB＝2－a，A′E＝，EC＝2－a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋
BE2，cos∠A′DB＝＝－是定值，∴∠A′DB 的大小不会发生变化，故A 正确；
由三垂线法作出二面角A′－BD－C 的平面角，可知其大小为定值，故B 正确；设A′E＝
x，则CE＝2－x(0<x<2)，则V 三棱锥A′－BCE＝V 三棱锥B－A′CE＝×BC·CE·A′E＝(2－x)x＝(2x－x2)
(0<x<2)，
由二次函数的单调性，可知V 先变大后变小，故C 错误；A′B 与DE 所成的角先变小后变
大，故D 错误．
5．在空间直角坐标系Oxyz 中，正四面体P－ABC 的顶点A，B 分别在x 轴、y 轴上移动．若
该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1]  
B．[1,3]
C．[－1,2]  
D．[1，＋1]
答案　A
解析　如图所示，若固定正四面体P－ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动．
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设AB 的中点为M，则PM＝＝，所以原点O 到点P 的最小距离等于PM 减去球M 的半径，
最大距离是PM 加上球M 的半径，所以－1≤|OP|≤＋1，即|OP|的取值范围是[－1，＋1]．
6. 已知正四面体D－ABC，点E，F 分别为棱CD，AC 的中点，点M 为线段EF 上的动点，
设EM＝x，则下列说法正确的是(　　)
A．直线DA 与直线MB 所成的角随x 的增大而增大
B．直线DA 与直线MB 所成的角随x 的增大而减小
C．直线DM 与平面ABD 所成的角随x 的增大而增大
D．直线DM 与平面ABD 所成的角随x 的增大而减小
答案　D
解析　因为E，F 分别为DC，AC 的中点，所以EF∥DA，所以直线DA 与直线MB 所成的角
等于直线EF 与BM 所成的角．
在等腰△BEF 中，直线EF 与BM 所成的角随着x 的增大先增大，再减小，当M 运动到EF 中
点时取到最大值，故A，B 选项说法错误；
设M 点到平面ABD 的距离为d，直线DM 与平面ABD 所成的角为α，则sin α＝.因为
EF∥AD，EF⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，
所以EF∥平面ABD，所以随着x 的增大，d 保持不变，MD 在增大，所以sin α 的值在减小，
即α 随着x 的增大而减小，故C 选项说法错误，D 选项说法正确．
7．(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M 为DD1的中点，N 为ABCD 所
在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　)
A．若MN 与平面ABCD 所成的角为，则点N 的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN 的中点P 的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N 到直线BB1与到直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线
D．若D1N 与AB 所成的角为，则点N 的轨迹为椭圆
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答案　AC
解析　如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND 为MN
与平面ABCD 所成的角，若∠MND＝，则DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N 的轨迹为以D
为圆心，2 为半径的圆，故A 正确；
对于B，在Rt△MDN 中，DN＝＝＝2，取MD 的中点E，连接PE，因为P 为MN 的中点，
所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P 在过点E 且与DD1垂
直的平面内，又PE＝，所以点P 的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B 不正确；
对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N 到直线BB1的距离为
NB，因为点N 到点B 的距离等于点N 到定直线CD 的距离，又B 不在直线CD 上，所以点N
的轨迹为以B 为焦点，CD 为准线的抛物线，故C 正确；
对于D，以D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y,0)，
则AB＝(0,4,0)，D1N＝(x，y，－4)，
因为D1N 与AB 所成的角为，所以|cos〈AB，D1N〉|＝cos ，
所以＝，整理得－＝1，所以点N 的轨迹为双曲线，故D 错误．
8. 如图，在四棱锥P－ABCD 中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且AB
＝，设点M，N 分别为线段PD，PO 上的动点，已知当AN＋MN 取最小值时，动点M 恰为
PD 的中点，则该四棱锥外接球的表面积为(　　)
A.  B.  C.  D.
答案　B
解析　如图，在PC 上取点M′，使得PM＝PM′，连接NM′，则MN＝M′N，AN＋MN
＝AN＋M′N，
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则当A，N，M′三点共线时，AN＋M′N 最小，为AM′，当AM′⊥PC 时，AM′取得最
小值，即AN＋NM′的最小值．
因为此时M 恰为PD 的中点，所以M′为PC 的中点，所以PA＝AC＝2，因此PO＝＝.易知
外接球的球心在四棱锥内部，
设外接球的半径为r，则r2＝(－r)2＋1，解得r＝，
因此外接球的表面积S＝4πr2＝.
9．在三棱锥A－BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直且长度均为6，定长为l(l＜4)的线段MN
的一个端点M 在棱AB 上运动，另一个端点N 在△ACD 内运动(含边界)，若线段MN 的中点
P 的轨迹的面积为，则l 的值为 ________.
答案　2
解析　由题意可知，∠MAN＝90°，在Rt△AMN 中，AP＝l，
线段MN 的中点P 的轨迹是以A 为球心， l 为半径的球面的，
所以线段MN 的中点P 的轨迹的面积为×4π×2＝，则l＝2.
10. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D 是AB 上的动点．下
列结论正确的是________．(填序号)
①AC⊥BC1；
②存在点D，使得AC1∥平面CDB1；
③不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B；
④三棱锥A1－CDB1的体积是定值．
答案　①②④
解析　如图所示，由CC1⊥底面ABC，知AC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CB＝C，CC1⊂平面
BCC1B1，CB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，
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故AC⊥BC1，故①正确；
设B1C 与BC1交于点M，取AB 的中点D，连接MD，则MD∥AC1，MD⊂平面CDB1，AC1⊄
平面CDB1所以AC1∥平面CDB1，故②正确；
当CD⊥AB 时，因为AA1∥CC1，CC1⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1，
AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以CD⊥平面AA1B1B，因为CD⊂平面CDB1，故平
面CDB1⊥平面AA1B1B，故③不正确；
设点C 到平面A1B1D 的距离为h，则
，
因为四边形A1B1BA 面积为定值，h 为定值，所以三棱锥A1－CDB1的体积是定值，故④正确．
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