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2017-2018 学年安徽省蚌埠市固镇县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1．二次根式
的值是（ ）
A．﹣2 B．2 或﹣2 C．4
D．2
2．下列对于方程x2+1=0 的说法中，正确的是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
3．如图，三角板的BC 边的刻度由于磨损看不清了，已知∠B=30°，测量得AC 的
长为20cm，另一直角边BC 的长是（ ）
A．10
cm B．20
cm C．40cmD．30cm
4．小王记录了某地15 天的最高气温如表：
最高气
温（℃）
21
22
25
24
23
26
天数
1
2
4
3
3
2
那么这15 天每天的最高气温的中位数是（ ）
A．22 B．23
C．23.5 D．24
5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013 年投入了300 万元，
2015 年投入了500 万元，设2013 年至2015 年间投入的教育经费的年平均增长率
为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．300x2=500
B．300（1+x）2=500 C．300（1+x%）2=500 D．300（1+2x）=500
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点D 在BC 上，∠ADC=2∠B，AD=
，则
BC 的长为（ ）
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A．
﹣1 B．
+1
C．
﹣1
D．
+1
7．下列结论中一定成立的是（ ）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD 的对角线AC 平分BD，那么四边形ABCD 是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
8．如图所示的是正多边形残缺的一部分，A、B、C 是正多边形的3 个顶点，过正多
边形的顶点B 作直线l∥AC，若∠1=36°，则正多边形的边数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB，
则DM 的长是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，平面直角坐标系中有正方形OABC，点A 的坐标为（1，2），则点C 的坐
标为（ ）
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A．
（﹣3，1）B．
（﹣2，1）C．
（2，﹣1）D．（﹣2，0.5）
二、填空题
11．比较大小：
（填“＞”“＜”或“=”）
12．若a＜0，则化简
的结果为 ．
13．已知在一个样本中，50 个数据分别落在5 个组内，第一、二、三、五组数据的个
数分别为2，8，15，5，则第四组的频率是 ．
14．若△ABC 的三边a，b，c 满足条件：
+
+
=0，则△ABC 是
三角形．
15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 是BC 边上的一定点，P 是CD 边长的
一动点（不与点C、D 重合），M，N 分别是AE、PE 的中点，记MN 的长度为x，在
点P 运动过程中，x 不断变化，则x 的取值范围是 ．
16．如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，AE=4，BC=8，有下列结
论：
①DE=4
；
②S△AED= S 四边形ABCD；
③DE 平分∠ADC；
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④∠AED=∠ADC．
其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
17．（7 分）计算：3
2
﹣
4
﹣
+3
．
18．（7 分）解方程：（x
3
﹣）2+2（x
3
﹣）=0．
19．（9 分）如图，在菱形ABCD 中，点E 为AC 上一点，且∠DEB=120°
（1）求证：△ADE≌△ABE；
（2）若∠DAB=60°，AD=2
，求DE 的长．
20．（9 分）在如图所示的4×3 网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶
点叫格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．点A 固定在格点上．
（1）在该网格图中，过点A 的网格线段最长为 ；
（2）请你用无刻度尺的直尺画出顶点在格点上且边长为
的菱形ABCD（画一个
即可）
21．（10 分）已知x= （
+
），y= （
﹣
），求下列各式的值：
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（1）x2
xy
﹣
+y2；
（2）+
．
22．（12 分）已知关于x 的一元二次方程（m
2
﹣）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的
实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
23．（12 分）某学校举行“中国梦，我的梦”演讲比赛，初、高中部根据初赛成绩，
各选出 5 名选手组成初中代表队的选手的决赛成绩如图所示：
（1）根据图示填写表格：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中代表队
85
85
高中代表队
80
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）试分析哪一个代表队选手成绩较为稳定．
24．（14 分）如图1，正方形ABCD 中，O 是正方形对角线的交点，点E 和点F 是
AD 边和CD 边上的两点
（1）如果OE⊥OF，求证：OE=OF；
（2）如图2，点M 为EF 的中点，AE=DF，求证：DM=OM．
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2017-2018 学年安徽省蚌埠市固镇县八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．二次根式
的值是（ ）
A．﹣2 B．2 或﹣2 C．4
D．2
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据算术平方根的意义，可得答案．
【解答】解：
=2，故D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，
=a（a≥0）．
2．下列对于方程x2+1=0 的说法中，正确的是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，解答即可．
【解答】解：x2+1=0 中，△=
4
﹣＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个
实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实数
根．
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3．如图，三角板的BC 边的刻度由于磨损看不清了，已知∠B=30°，测量得AC 的
长为20cm，另一直角边BC 的长是（ ）
A．10
cm B．20
cm C．40cmD．30cm
【考点】勾股定理；含30 度角的直角三角形．
【分析】由含30°角的直角三角形的性质求出AB，由勾股定理求出BC 即可．
【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴AB=2AC=40cm，
∴BC=
=20
．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，
由含30°角的直角三角形的性质求出AB 是解决问题的关键．
4．小王记录了某地15 天的最高气温如表：
最高气
温（℃）
21
22
25
24
23
26
天数
1
2
4
3
3
2
那么这15 天每天的最高气温的中位数是（ ）
A．22 B．23
C．23.5 D．24
【考点】中位数．
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解
即可．
【解答】解：将该地15 天的最高气温按照从小到大的顺序排列为：21，22，22，23，
23，23，24，24，24，25，25，25，25，26，26，
可得出中位数为：24．
故选D．
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【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013 年投入了300 万元，
2015 年投入了500 万元，设2013 年至2015 年间投入的教育经费的年平均增长率
为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．300x2=500
B．300（1+x）2=500 C．300（1+x%）2=500 D．300（1+2x）=500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，
如果2013 年至2015 年间投入的教育经费的年平均增长率为x，根据2013 年投入
300 万元，预计2015 年投入500 万元即可得出方程．
【解答】解：设2013 年至2015 年间投入的教育经费的年平均增长率为x，
则2014 的教育经费为：300（1+x），
2015 的教育经费为：300（1+x）2．
那么可得方程：300（1+x）2=500．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不
同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点D 在BC 上，∠ADC=2∠B，AD=
，则
BC 的长为（ ）
A．
﹣1 B．
+1
C．
﹣1
D．
+1
【考点】勾股定理．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD 判断出DB=DA，根据勾股定理
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求出DC 的长，从而求出BC 的长．
【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA=5，
在Rt△ADC 中，
DC=
=
=1，
∴BC=
+1．
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三
角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时涉及三角形外角
的性质，二者结合，是一道好题．
7．下列结论中一定成立的是（ ）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD 的对角线AC 平分BD，那么四边形ABCD 是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
【考点】平行四边形的判定；多边形内角与外角．
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、正确．因为四边形任意相邻的两个内角都互补，所以两组对边分别
平行，所以四边形是平行四边形，故正确．
B、错误．可能是等腰梯形．故错误．
C、错误．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误．
D、错误．三条边相等的四边形可能是等腰梯形，故错误．
故选A．
【点评】本题考查平行四边形的判定、多边形的内角与外角等知识，解题的关键是
熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
8．如图所示的是正多边形残缺的一部分，A、B、C 是正多边形的3 个顶点，过正多
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边形的顶点B 作直线l∥AC，若∠1=36°，则正多边形的边数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【分析】先利用平行线的性质定理求出∠BCA=36°，再根据四边形是正多边形得
到AB=BC，求出108°，利用多边形的外角，即可求出多边形的边数．
【解答】解：∵l∥AC，∠1=36°，
∴∠1=∠BCA=36°，
∵四边形是正多边形
∴AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=36°
∴∠ABC=180°﹣∠BCA﹣∠BAC=108°，
∴∠ABC 的外角为：180°
108°=72°
﹣
，
∴多边形的边数为：360÷72=5，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角
与外角．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB，
则DM 的长是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=5，AB∥CD，BC=AD=3，∠D=90°，由平行线
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的性质得出∠BAM=∠AMD ，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出
MB=AB=5，由勾股定理求出CM，即可得出DM 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD=AB=5，AB∥CD，BC=AD=3，∠D=90°，
∴∠BAM=∠AMD，
∵AM 平分∠DMB，
∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=5，
∴CM=
=
=4，
∴DM=CD
CM=5
4=1
﹣
﹣
，
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟
练掌握矩形的性质，证明MB=AB 是解决问题的关键
10．如图，平面直角坐标系中有正方形OABC，点A 的坐标为（1，2），则点C 的坐
标为（ ）
A．
（﹣3，1）B．
（﹣2，1）C．
（2，﹣1）D．（﹣2，0.5）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【分析】正方形的边长，根据勾股定理可将点A 和点C 的坐标直接求出．
【解答】解：因为点A 的坐标为（1，2），
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所以正方形的边长为
，
所以点C 的坐标为（﹣2，1），
故选B
【点评】此题考查正方形的性质，本题主要是根据勾股定理将点A 和点C 的值求
出．
二、填空题
11．比较大小：
＞
（填“＞”“＜”或“=”）
【考点】实数大小比较．
【分析】根据实数大小比较的方法，应用比较平方法，判断出两个数的大小关系即
可．
【解答】解：
=
=
∵＞
，
∴
＞
．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意比较平方法的应
用．
12．若a＜0，则化简
的结果为 ﹣
a
．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用二次根式的化简的知识求解即可求得答案．
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【解答】解：∵a＜0，
∴
=|a|=
a
﹣．
故答案为：﹣a．
【点评】此题考查了二次根式的化简．注意
=|a|．
13．已知在一个样本中，50 个数据分别落在5 个组内，第一、二、三、五组数据的个
数分别为2，8，15，5，则第四组的频率是
0.4
．
【考点】频数与频率．
【分析】首先计算出第四项组的频数，然后再利用频数除以总数可得第四组的频
率．
【解答】解：第四组的频数为：50
2
8
15
5=20
﹣﹣﹣
﹣
，
第四组的频率是：
=0.4，
故答案为：0.4．
【点评】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=
．
14．若△ABC 的三边a，b，c 满足条件：
+
+
=0，则△ABC 是
直角 三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：算术平方根．
【分析】由非负数的性质，求得a、b、c 的值，再勾股定理的逆定理判断三角形的形
状．
【解答】解：由题意知，a
3=0
﹣
，b
4=0
﹣
，c
5=0
﹣
，
∴a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC 是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，当它们相加和为0 时，
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必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．还运用了勾
股定理的逆定理．
15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 是BC 边上的一定点，P 是CD 边长的
一动点（不与点C、D 重合），M，N 分别是AE、PE 的中点，记MN 的长度为x，在
点P 运动过程中，x 不断变化，则x 的取值范围是
2 ＜
x ＜
．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP 的取值范围，再根据三角形的中位
线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=
AP．
【解答】解：连接AP，
∵矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，
∴对角线AC=
=5，
∵P 是CD 边上的一动点（不与点C、D 重合），
∴4＜AP＜5，
∵M，N 分别是AE、PE 的中点，
∴MN 是△AEP 的中位线，
∴MN=
AP，
∴2＜x＜，
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故答案为：2＜x＜，
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边
的一半，熟记性质以及定理并求出AP 的取值范围是解题的关键．
16．如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，AE=4，BC=8，有下列结
论：
①DE=4
；
②S△AED= S 四边形ABCD；
③DE 平分∠ADC；
④∠AED=∠ADC．
其中正确结论的序号是
①②③
（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质结合勾股定理以及三角形面积求法分别分析得出
答案．
【解答】解：①∵在▱ABCD 中，AE⊥BC，垂足为E，AE=4，BC=8，
∴AD=8，∠EAD=90°，
∴DE=
=4
，故此选项正确；
②∵S△AED= AE•AD
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S 四边形ABCD=AE×AD，
∴S△AED= S 四边形ABCD，故此选项正确；
③∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AB=5，AE=4，∠AEB=90°，
∴BE=3，
∵BC=8，
∴EC=CD=5，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE 平分∠ADC，故此选项正确；
④当∠AED=∠ADC 时，由③可得∠AED=∠EDC，
故AE∥DC，与已知AB∥DC 矛盾，故此选项错误．
故答案为：①②③．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、三角形面积求法等知
识，正确应用平行四边形的性质是解题关键．
三、解答题
17．计算：3
2
﹣
4
﹣
+3
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
【解答】解：原式=3
8
﹣
﹣
+6
=2
2
﹣
．
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【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式
的化简和同类二次根式的合并．
18．解方程：（x
3
﹣）2+2（x
3
﹣）=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：分解因式得：（x
3
﹣）（x
3
﹣+2）=0，
可得x
3=0
﹣
或x
1=0
﹣
，
解得：x1=3，x2=1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键．
19．如图，在菱形ABCD 中，点E 为AC 上一点，且∠DEB=120°
（1）求证：△ADE≌△ABE；
（2）若∠DAB=60°，AD=2
，求DE 的长．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AD=AB，∠1=∠2，然后利用SAS 定理证明
△ADE≌△ABE 即可；
（2）首先证明∠ADE=90°，在△DAE 中，设DE=x，AE=2x，利用勾股定理可得关
于x 的方程（2
）2+x2=（2x）2，再解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB，∠1=∠2，
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在△ADE 和△ABE 中
，
∴△ADE≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADE≌△ABE，
∴∠1=∠2= ∠DAB=30°，
∠DEA=
∠DEB=60°，
∴∠ADE=90°，
在△DAE 中，设DE=x，AE=2x，
由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
即（2
）2+x2=（2x）2，
解得：x=2，
∴DE=2．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握
菱形四边形相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
20．在如图所示的4×3 网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格
点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．点A 固定在格点上．
（1）在该网格图中，过点A 的网格线段最长为
2
；
（2）请你用无刻度尺的直尺画出顶点在格点上且边长为
的菱形ABCD（画一个
即可）
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【考点】作图—应用与设计作图；菱形的判定与性质．
【分析】（1）借助网格得出最大的无理数即可；
（2）利用菱形的性质结合网格得出答案即可．
【解答】解：（1）如图1 所示，AB=
=2
；
．
故答案为：2
；
（2）如图2 所示．
．
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知菱形的判定与性质是解答此
题的关键．
21．（10 分）（2016 春•固镇县期末）已知x= （
+
），y= （
﹣
），求下列
各式的值：
（1）x2
xy
﹣
+y2；
（2）+
．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先求得x+y 和xy 的值．（1）把所求式子化成（x+y）2
3xy
﹣
的形式，然后
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代入求解；
（2）把所求的式子化成
的形式，然后代入求解即可．
【解答】解：x+y= （
+
）+ （
﹣
）=
，xy= （
+
）× （
﹣
）=
，
（1）原式=（x+y）2
3xy=
﹣
（
）2﹣
=5﹣
= ；
（2）原式= +
=
=
=
=8．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确利用完全平方公式对所求的式子进行
变形是关键．
22．（12 分）（2016•唐河县一模）已知关于x 的一元二次方程（m
2
﹣）
x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m
2
﹣≠0 且△=4m2﹣
4（m
2
﹣）（m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据（1）的结论得到m 满足条件的最大整数为5，则原方程化为
3x2+10x+8=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得m
2
﹣≠0 且△=4m2
4
﹣（m
2
﹣）（m+3）＞0，
解得m＜6 且m≠2；
（2）m 满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，
∴（3x+4）（x+2）=0，
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∴x1=﹣，x2=
2
﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2
4ac
﹣
：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
23．
（12 分）
（2016 春•固镇县期末）某学校举行“中国梦，我的梦”演讲比赛，初、
高中部根据初赛成绩，各选出 5 名选手组成初中代表队的选手的决赛成绩如图
所示：
（1）根据图示填写表格：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中代表队
85
85
85
高中代表队
85
80
80
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）试分析哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】
（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计
意义回答；
（2）根据平均数和中位数的意义即可得出答案；
（3）分别求出初中、高中部的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：因为共有5 名选手，把这些数从小到大排列，则初中代表队的中位数
是85；
高中代表队的平均数是：（70+100+100+75+80）=85（分），
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因为100 出现的次数最多，则众数是100（分）；
故答案为：85，85，100；
（2）初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵初中代表队的方差是： [（75
85
﹣
）2+（80
85
﹣
）2+（85
85
﹣
）2+（85
85
﹣
）
2+（100
85
﹣
）2]=70，
高中代表队的方差是： [（70
85
﹣
）2+（100
85
﹣
）2+（100
85
﹣
）2+（75
85
﹣
）2+（80
85
﹣
）2]=160．
∴初中代表队选手成绩较为稳定．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数
据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众
数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一
组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
24．（14 分）（2016 春•固镇县期末）如图1，正方形ABCD 中，O 是正方形对角线
的交点，点E 和点F 是AD 边和CD 边上的两点
（1）如果OE⊥OF，求证：OE=OF；
（2）如图2，点M 为EF 的中点，AE=DF，求证：DM=OM．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）过O 作OM⊥AD 于M，ON⊥CD 于N，求出∠MON=90°，求出
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OM=ON，∠EOM=∠FON，根据ASA 推出△EOM≌△FON，根据全等三角形的
性质得出即可；
（2）过O 作ON⊥CD 于N，OP⊥AD 于P，求出∠PON=90°，求出OP=ON，
PE=FN，根据SAS 推出△EOP≌△FON，根据全等得出∠EOP=∠FON，求出
∠EOF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出即可．
【解答】证明：（1）如图1，
过O 作OM⊥AD 于M ，ON⊥CD 于N ，则∠OMD=∠OND=90° ，
∠OME=∠ONF=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=90°，
∴∠MON=360°
90°
﹣
×3=90°，
∵O 为正方形ABCD 的对角线的交点，
∴OM=ON，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON=90°﹣∠MOF，
在△EOM 和△FON 中
∴△EOM≌△FON（ASA），
∴OE=OF；
（2）如图2，
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过O 作ON⊥CD 于N，OP⊥AD 于P，
则∠OPD=∠OND=∠D=90°，
所以∠PON=90°，
∵O 为正方形ABCD 的对角线交点，
∴OP=ON，P、N 分别为AD、CD 的中点，
∵AE=DF，
∴PE=FN，
在△EOP 和△FON 中
∴△EOP≌△FON（SAS），
∴∠EOP=∠FON，
∵∠PON=90°，
∴∠EOF=∠EOP+∠POF=∠FON+∠POF=∠PON=90°，
∵∠ADC=90°，M 为EF 的中点，
∴DM=
EF，OM=
EF，
∴DM=OM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形斜边上
的中线性质的应用，能构造全等三角形是解此题的关键．
