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2017-2018 学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题2 分，满分20 分）
1．在函数y=
的图象上的点是（ ）
A．（1，2）B．
（0，2）C．（1，﹣2）D．（1，0）
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在式子
，
，
，
中，x 可以取2 和3 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．2014 年6 月，甲、乙、丙、丁四位备战南京青奥会射击选手在一次训练比赛中，这四位选手各射击
10 次，每人的平均成绩都是9.5 环，方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差（环2）
0.35
0.018
0.22
0.055
则在这次训练比赛中，这四位选手发挥最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
6．用配方法解方程x2+2x
1=0
﹣
，下列配方正确的是（ ）
A．（x+1）2=1 B．（x+1）2=2 C．
（x
1
﹣）2=2 D．（x
1
﹣）2=1
7．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，据场地和时间等条件的限制，赛程计
划安排7 天，每天安排4 场比赛，刚好完成所有比赛．设比赛组织者邀请x 个队参赛，则根据题意所列
方程正确的是（ ）
第1页（共30页）
A． x（x+1）=28 B． x（x
1
﹣）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x
1
﹣）=28
8．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B 点的坐标是（ ）
A．（2+
，
）B．（2﹣
，
）C．
（﹣2+
，
）D．（﹣2﹣
，
）
9．已知：如图，平行四边形ABCD，求作一个三角形，使三角形的面积等于平行四边形ABCD 的面积．
甲、乙两人的作法分别是：
甲：
1．过C 作AB 的垂线段CE，垂足为E；
2．延长EC 到点F，使得CE=CF；
3．连结AF、BF；△ABF 即为所求的三角形
乙：
1．连结AC 和BD，相交于点O；
2．延长OC 到点E，使得OE=AC；
3．延长OB 到点F，使得OF=DB；
4．连结EF；△AEF 即为所求的三角形
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确B．甲、乙均错
C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确
10．如图，△ACO 和△ABD 都是等边三角形，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D，若OA2﹣
AB2=8
，则k 的值为（ ）
第2页（共30页）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
11．化简：
= ．
12．若x=
2
﹣是方程x2+ax+a=0 的根，则a= ．
13．若4 个数5，x，8，10 的中位数为7，则x= ．
14．已知反比例函数y=
，当自变量x 的取值范围在2＜x＜5 时，则函数值y 的取值范围是
．
15．在平行四边形ABCD 中，若∠A+∠C=160°，则∠B= ．
16．四边形ABCD 中，∠A=100°，∠C=70°．点M，N 分别在AB，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得
△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D= °．
17．如图，在▱ABCD 中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD 的平分线交CD 于点E，∠ABC 的平分线交CD
于点F，则线段EF 的长 cm．
18．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，若过点A 作AE⊥BC，垂足为E，则AE 的长为
．
第3页（共30页）
19．如图，点A 在双曲线y= 第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x
轴交反比例函数y= 的图象于点C，若△ABC 的面积为6，则k 的值是 ．
20．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，若以点D 为圆心，DA 长为半径画弧与以点B 为圆心，BD 长
为半径画弧的交点为P，则点P 到AD 的距离为 ．
三、解答题（共7 小题，满分50 分）
21．（1）
+
×
6×
﹣
（2）若a=1+
，b=
，求代数式a2+b2
2a+1
﹣
的值．
22．解方程
（1）x2
3x=0
﹣
（2）x2
10x=25
﹣
．
第4页（共30页）
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y= 的图象上，过
点A 的直线y=x+b 交x 轴于点B．
（1）求k 和b 的值；
（2）求△OAB 的面积．
24．为切实减轻学生课业负担，学校教务处调查了本校学生平均每天完成作业所用时间的情况，随机
调查了150 名同学，下图是根据调查所得数据绘制的不完整的统计图
平均每天作业用时t（小时）
作业量
t＜1
较轻
1≤t≤2
合适
t＞2
较重
请根据图中提供信息，解答下列问题：
（1）根据题意补充条形统计图；
（2）被调查学生平均每天作业用时的众数是 小时，中位数是 小时
（3）求被调查150 名学生的每天作业平均用时？假设平均每天作业用时和作业量的关系如上表，请你
调查信息估计该校学生的作业量的情况？
25．已知：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD，BC 于E，F 两点，
连结BE，DF．
第5页（共30页）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．
26．某商场购进了一批单价为5 元的日用商品，如果以单价7 元销售，每天可售出160 将，根据销售经
验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1 元，销售量每天就相应减少20 件，设这
种商品的销售单价为x 元，商场每天销售这种商品y 件
（1）给定x 的一些值，请计算y 的值，填在表中
x
…
7
8
9
10
11
…
y
…
160
120
100
…
（2）求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商品销售这种商品能获得的利润为420 元？这时每天销售的
商品是多少件？
27．已知：点D 为正方形ABCD 和正方形DEFG 的公共顶点，记∠ADG=α，且0°≤α≤180°
（1）当α=0°，即点A 在DG 边上时，如图，求证：AG=CE 且S△ABG=S△CBE；
（2）当α≠0°，且A，B，G 三点不共线时，如图2，问（1）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明；若
不成立，请举反例；
（3）已知当α 在变化过程中时，△ABG 的面积存在最大值，若DA=2，DG=5．请你直接写出△ABG 面
积的最大值，并画出此时的示意图．
第6页（共30页）
2017-2018 学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题2 分，满分20 分）
1．在函数y=
的图象上的点是（ ）
A．（1，2）B．
（0，2）C．（1，﹣2）D．（1，0）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数图象上点的坐标的特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k=﹣
2，据此判断出在函数y=
的图象上的点是哪个即可．
【解答】解：∵1×2=2≠
2
﹣，
∴选项A 不正确；
∵0×2=0≠
2
﹣，
∴选项B 不正确；
∵1×（﹣2）=
2
﹣，
∴选项C 正确；
∵1×0=0≠
2
﹣，
∴选项D 不正确．
综上，可得
在函数y=
的图象上的点是（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的
第7页（共30页）
点也是关于原点对称；③在xk 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成
的矩形的面积是定值|k|．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、
，本选项不合题意；
B、
，本选项不合题意；
C、
，本选项不合题意；
D、不能化简，符号题意；
故选D
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
3．在式子
，
，
，
中，x 可以取2 和3 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x 的范
围，进行判断．
【解答】解：A、
的分母不可以为0，即x
2≠0
﹣
，解得：x≠2，故A 错误；
B、
的分母不可以为0，即x
3≠0
﹣
，解得：x≠3，故B 错误；
C、被开方数大于等于0，即x
2≥0
﹣
，解得：x≥2，则x 可以取2 和3，故C 正确；
第8页（共30页）
D、被开方数大于等于0，即x
3≥0
﹣
，解得：x≥3，x 不能取2，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．2014 年6 月，甲、乙、丙、丁四位备战南京青奥会射击选手在一次训练比赛中，这四位选手各射击
10 次，每人的平均成绩都是9.5 环，方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差（环2）
0.35
0.018
0.22
0.055
则在这次训练比赛中，这四位选手发挥最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【考点】方差．
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较
即可．
【解答】解：∵0.018＜0.055＜0.22＜0.35，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】探究型．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所
在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．
【解答】解：∵函数
中k=6＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，
第9页（共30页）
∵﹣1＜0，
∴点（﹣1，y1）在第三象限，
∴y1＜0，
∵0＜2＜3，
∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此
题的关键．
6．用配方法解方程x2+2x
1=0
﹣
，下列配方正确的是（ ）
A．（x+1）2=1 B．（x+1）2=2 C．
（x
1
﹣）2=2 D．（x
1
﹣）2=1
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2+2x=1，
等式的两边同时加上12，得
x2+2x+12=1+12，
配方，得
（x+1）2=2．
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一
元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．
7．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，据场地和时间等条件的限制，赛程计
划安排7 天，每天安排4 场比赛，刚好完成所有比赛．设比赛组织者邀请x 个队参赛，则根据题意所列
方程正确的是（ ）
第10页（共30页）
A． x（x+1）=28 B． x（x
1
﹣）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x
1
﹣）=28
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x
1
﹣）场，但2 队之间只有1 场比赛，
所以可列方程为： x（x
1
﹣）=4×7．
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，
注意2 队之间的比赛只有1 场，最后的总场数应除以2．
8．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B 点的坐标是（ ）
A．（2+
，
）B．（2﹣
，
）C．
（﹣2+
，
）D．（﹣2﹣
，
）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值．
【分析】过A 作AE⊥CO，根据“OA=2，∠AOC=45°”求出OE、AE 的长度，点B 的坐标便不难求出．
【解答】解：如图，过A 作AE⊥CO 于E，
∵OA=2，∠AOC=45°，
∴AE=AOsin45°=
，OE=AOcos45°=
，
∴点B 的横坐标为﹣（2+
），纵坐标为
，
∴B 点的坐标是（﹣2﹣
，
）．
故选D．
第11页（共30页）
【点评】通过作辅助线求出点A 到坐标轴的距离是解本题的突破口．
9．已知：如图，平行四边形ABCD，求作一个三角形，使三角形的面积等于平行四边形ABCD 的面积．
甲、乙两人的作法分别是：
甲：
1．过C 作AB 的垂线段CE，垂足为E；
2．延长EC 到点F，使得CE=CF；
3．连结AF、BF；△ABF 即为所求的三角形
乙：
1．连结AC 和BD，相交于点O；
2．延长OC 到点E，使得OE=AC；
3．延长OB 到点F，使得OF=DB；
4．连结EF；△AEF 即为所求的三角形
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确B．甲、乙均错
C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【分析】分别正确作出图形，再利用所作三角形的面积与平行四边形的面积比较即可．
【解答】解：如图1，甲所作的图形，
第12页（共30页）
△ABF 的面积等于平行四边形ABCD 的面积的一半，故甲错误，
如图2，
△ABF 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，故乙正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复杂作图及平行四边形的面积，解题的关键是正确的作出图形．
10．如图，△ACO 和△ABD 都是等边三角形，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D，若OA2﹣
AB2=8
，则k 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【分析】过A 作直线AM⊥y 轴，交OA 于M，交BD 于N，根据题意得到AM=
OA，AN=
AB，
AM+AN=
（0A+AB），从而求得D 的横坐标为：（0A+AB），纵坐标为（OA
AB
﹣
），根据OA2﹣
AB2=8
即可求出k 的值．
【解答】解：过A 作直线AM⊥y 轴，交OA 于M，交BD 于N，
第13页（共30页）
由题意可知，AM=
OA，AN=
AB，
∴AM+AN=
（0A+AB），
∴D 的横坐标为：
（0A+AB），
∵D 的纵坐标为
=
，
∴k=
（OA+AB）• （OA
AB
﹣
）=
（OA2
AB
﹣
2），
∵OA2
AB
﹣
2=8
，
∴k=
×8
=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，正确表示出点D 的坐
标是解题的关键，解答时，注意因式分解的运用．
二、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
11．化简：
=
﹣
1
．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：
=
1
﹣．
第14页（共30页）
故答案为：
﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．若x=
2
﹣是方程x2+ax+a=0 的根，则a=
4
．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=
2
﹣代入方程得到关于a 的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x=
2
﹣是方程x2+ax+a=0 的一个根，
∴4+a
2a=0
﹣
，
∴a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
13．若4 个数5，x，8，10 的中位数为7，则x=
6
．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵5，x，8，10 的中位数为7，
∴
=7，
解得：x=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个
数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．已知反比例函数y=
，当自变量x 的取值范围在2＜x＜5 时，则函数值y 的取值范围是
2 ＜
y ＜
5
．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】利用反比例函数的性质，由x 的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k=10＞0，
第15页（共30页）
∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，
又∵当x=2 时，y=5，
当x=5 时，y=2，
∴当2＜x＜5 时，2＜y＜5．
故答案为：2＜y＜5．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0 时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k＜0
时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大．
15．在平行四边形ABCD 中，若∠A+∠C=160°，则∠B=
100°
．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出对角相等，邻角互补，∠A=∠C，∠A+∠B=180°，由∠A+∠C=160°，
得出∠A=∠C=80°，即可求出∠B．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=∠C=80°，
∴∠B=180°﹣∠A=100°；
故答案为：100°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解决问
题的关键．
16．四边形ABCD 中，∠A=100°，∠C=70°．点M，N 分别在AB，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得
△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D=
95
°．
【考点】平行线的性质；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）．
第16页（共30页）
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=80°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出
∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B 的度数以及得出∠D 的度数．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，
∴∠BMF=80°，∠FNB=70°，
∵将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，
∴∠F=∠B=180°
50°
35°=95°
﹣
﹣
，
∴∠D=360°
100°
70°
95°=95°
﹣
﹣
﹣
．
故答案为：95．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出
∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB 是解题关键．
17．如图，在▱ABCD 中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD 的平分线交CD 于点E，∠ABC 的平分线交CD
于点F，则线段EF 的长
2
cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE 平分∠BAD，由此可以推出所以
∠BAE=∠DAE，则DE=AD=5；同理可得，CF=CB=5，而EF=CF+DE
DC
﹣
，由此可以求出EF 长．
【解答】解：∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB，
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，
则AD=DE=5；
同理可得，CF=CB=5．
∴EF=DE+CF
DC=5+5
8=2
﹣
﹣
．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键注意找出线
段之间的关系：EF=DE+CF
DC
﹣
．
第17页（共30页）
18．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，若过点A 作AE⊥BC，垂足为E，则AE 的长为
．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO 的长，在RT△BOC 中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积
的一半，也等于BC×AE，可得出AE 的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，
∴BC=
=5，
∴S 菱形ABCD= BD•AC= ×6×8=24，
∵S 菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱
形的对角线互相垂直且平分．
第18页（共30页）
19．如图，点A 在双曲线y= 第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x
轴交反比例函数y= 的图象于点C，若△ABC 的面积为6，则k 的值是
9
．
【考点】反比例函数系数k 的几何意义．
【分析】由点A 在双曲线y= 第三象限的分支上，设点A（a，），则B（﹣a，﹣），又因为BC∥x 轴交
反比例函数y= 的图象于点C，设出C（﹣
，﹣），根据面积公式列出方程即可求解．
【解答】解：∵点A 在双曲线y= 第三象限的分支上，
∴设点A（a，），则B（﹣a，﹣），
∵BC∥x 轴交反比例函数y= 的图象于点C，
∴C（﹣
，﹣），
∵△ABC 的面积为6，
第19页（共30页）
∴（﹣﹣）•（﹣
+a）=6，
解得：k=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，关键是明白A，B 关于原点对称，点C 的纵坐标与
点B 的纵坐标相等．
20．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，若以点D 为圆心，DA 长为半径画弧与以点B 为圆心，BD 长
为半径画弧的交点为P，则点P 到AD 的距离为
8 或
．
【考点】矩形的性质．
【分析】画出图形，注意两圆连心线垂直平分公共弦，进而可利用勾股定理算出DF、P1F，从而得出
∠FP1D=∠BDA，由于∠DP1P2=∠DP2P1，可推导出P2D⊥AD，则P2D=AD 直接求出，△DP1P2面积可
求，并且被GD 分成两部分，其中一部分也可求，而要求的P1到AD 的距离就是GD 边上的高，由此作
P1E⊥AD 于E，利用等面积法求出P1E．
【解答】解：由题意画出相应的圆，如图所示，
设⊙B 与⊙D 交于P1、P2两点，连接P1P2交BD 于点F，交AD 于点G，则BD 垂直平分P1P2，
连接P1D，P2D，过P1 作P1E⊥AD 于点E，
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∵AB=4，AD=8，∠BAD=90°，
∴BD=4
，
设DF=x，则BF=4
x
﹣，
∵P1P2⊥BD，
∴P1B2
BF
﹣
2=P1D2
DF
﹣
2，
即：（4
）2﹣（4
x
﹣）2=82
x
﹣2，
解得：x=
，P1F=
，
∴sin∠FP1D=
=
=
=sin∠BDA，
即∠FP1D=∠BDA，
∵∠BDP1=∠BDP2，∠DP1P2=∠DP2P1，∠BDP1+∠DP1P2=90°，
∴∠BDP2，+∠BDA=90°，
∴P2D⊥AD，
∵P2D=AD，AD=8，
∴P2D=8，
∵∠GP2D=∠BDA，
∴
= ，
∴GD=4，
S△DP1P2= P1P2×DF=
×
=
=S△DP2G+S△P1DG= ×4×P1E+ ×4×8，
∴P1E=
．
综上所述，点P 到AD 的距离为8 或
．
第21页（共30页）
【点评】本题考查了矩形的基本性质、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数的应用、等积变换法求线
段长度等多个知识点和技巧，综合性较强，难度中等．通过角度代换判定P2D 垂直AD 及等面积法求
P1E 是关键所在．
三、解答题（共7 小题，满分50 分）
21．（1）
+
×
6×
﹣
（2）若a=1+
，b=
，求代数式a2+b2
2a+1
﹣
的值．
【考点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．
【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，然后合并；
（2）先化解代数式，然后代入求解．
【解答】解：（1）原式=
+4
﹣
=4
；
（2）a2+b2
2a+1=
﹣
（a
1
﹣）2+b2，
将a、b 代入得：（
）2+（
）2=2+3=5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及化简求值，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及
合并．
22．解方程
（1）x2
3x=0
﹣
（2）x2
10x=25
﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）利用提公因式法解一元二次方程；
（2）利用配方法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2
3x=0
﹣
因式分解得x（x
3
﹣）=0，
x=0 或x
3=0
﹣
，
第22页（共30页）
解得x1=0，x2=3；
（2）x2
10x=25
﹣
配方法因式分解得x2
10x+25=50
﹣
，即（x
5
﹣）2=50，
开方得x
5=±5
﹣
，
解得x1=5+5
，x2=5
5
﹣
；
【点评】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟记提公因式法及配方法．
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y= 的图象上，过
点A 的直线y=x+b 交x 轴于点B．
（1）求k 和b 的值；
（2）求△OAB 的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y= 和y=x+b，得
，
解得k=10，b=3；
（2）作AC⊥x 轴于点C，
由（1）得直线AB 的解析式为y=x+3，
∴点B 的坐标为（﹣3，0），
第23页（共30页）
∴OB=3，
∵点A 的坐标是（2，5），
∴AC=5，
∴
=
5=
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．
24．为切实减轻学生课业负担，学校教务处调查了本校学生平均每天完成作业所用时间的情况，随机
调查了150 名同学，下图是根据调查所得数据绘制的不完整的统计图
平均每天作业用时t（小
时）
作业量
t＜1
较轻
1≤t≤2
合适
t＞2
较重
请根据图中提供信息，解答下列问题：
（1）根据题意补充条形统计图；
（2）被调查学生平均每天作业用时的众数是
1.5
小时，中位数是
1.5
小时
（3）求被调查150 名学生的每天作业平均用时？假设平均每天作业用时和作业量的关系如上表，请你
调查信息估计该校学生的作业量的情况？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数．
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【分析】（1）利用总数150 减去其它组的人数即可求得时间是2 小时的人数，从而补全直方图；
（2）根据众数和中位数的定义即可求解；
（3）利用平均数公式求得每天作业的平均用时，然后根据统计表即可作出判断．
【解答】解：（1）平均每天作业时间是2 小时的人数是：150
5
35
55
10
5=40
﹣﹣
﹣
﹣
﹣
（人），
；
（2）学生平均每天作业用时的众数是1.5 小时，中位数是1.5 小时．
故答案是：1.5，1.5；
（3）被调查150 名学生的每天作业平均用时是：
=1.6（小时）．
该校学生作业量合适．
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关
键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
25．已知：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD，BC 于E，F 两点，
连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
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（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用
垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD 和△FOB 中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE 为菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出
BE=DE 是解题关键．
26．某商场购进了一批单价为5 元的日用商品，如果以单价7 元销售，每天可售出160 将，根据销售经
验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1 元，销售量每天就相应减少20 件，设这
种商品的销售单价为x 元，商场每天销售这种商品y 件
（1）给定x 的一些值，请计算y 的值，填在表中
x
…
7
8
9
10
11
…
y
…
160
140
120
100
80
…
第26页（共30页）
（2）求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商品销售这种商品能获得的利润为420 元？这时每天销售的
商品是多少件？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据销售单价每提高1 元，销售量每天就相应减少20 件，计算即可；
（2）由销售单价为x 元得到销售减少量20（x
7
﹣），用160 减去销售减少量得到y 与x 的函数关系式；
（3）根据“利润值=（销售单价﹣购进单价）×{160
20
﹣
（销售单价﹣7）}”，列出一元二次方程．
【解答】解：（1）x=8，y=160
20=140
﹣
；x=11，y=160
20
﹣
（11
7
﹣）=80；
故填140，80．
（2）y=160
20
﹣
（x
7
﹣）=
20x+300
﹣
；
（3）根据题意列方程，420=（x
5
﹣）[160
20
﹣
（x
7
﹣）]
整理得：﹣20x2+400x
1920=0
﹣
解得：x1=8，x2=12，
当x=8 时，y=140；当x=12 时，y=60；
所以当商品的销售单价定为8 元或12 元时，该商品销售这种商品能获得的利润为420 元；商品的销
售单价定为8 元时，每天销售商品140 件；商品的销售单价定为12 元时，每天销售商品60 件．
【点评】本题考查了函数模型以及一元二次方程应用，数学建模思想方法，正确理解题意列出代数式
是解决问题的关键．
27．已知：点D 为正方形ABCD 和正方形DEFG 的公共顶点，记∠ADG=α，且0°≤α≤180°
（1）当α=0°，即点A 在DG 边上时，如图，求证：AG=CE 且S△ABG=S△CBE；
（2）当α≠0°，且A，B，G 三点不共线时，如图2，问（1）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明；若
不成立，请举反例；
（3）已知当α 在变化过程中时，△ABG 的面积存在最大值，若DA=2，DG=5．请你直接写出△ABG 面
积的最大值，并画出此时的示意图．
第27页（共30页）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由正方形的性质可知：AD=DC，GD=ED，从而可证明得AG=CE，然后根据AB=BC，
AG=CE，根据三角形的面积公式可证得S△ABG=S△BCE；
（2）成立，如图2，过点G 作GM⊥BA，垂足为M，过点E 作EN⊥BC，垂足为N，先证明
△GDA≌△EDC 得到AG=CE，然后再证明△AGM≌△CEN，得到MG=NE，由三角形的面积公式可
知：S△ABG=S△BCE；
（3）边长AB 不变，所以当BA 边上的高线最长时，三角形ABG 的面积有最大值，故当α=180°时，三
角形ABG 的面积最大．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 和四边形DEFG 均为正方形，
∴AD=DC，AB=BC，GD=ED，∠GAB=∠BCE=90°．
∴GD
AD=ED
DC
﹣
﹣
，即AG=CE．
∵
，
，
∴S△ABG=S△BCE．
（2）成立．
如图2，过点G 作GM⊥BA，垂足为M，过点E 作EN⊥BC，垂足为N．
∵∠GDA+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
第28页（共30页）
∴∠GAD=∠EDC．
在△GDA 和△EDC 中，
，
∴△GDA≌△EDC．
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD．
∴∠GAD﹣∠MAD=∠ECD﹣∠DCB，即∠GAM=∠CEN．
在△AGM 和△CEN 中，
，
∴△AGM≌△CEN．
∴MG=NE．
∴
，即S△ABG=S△BCE．
（3）如图3 所示；
当α=180°时，△ABG 的面积有最大值．
=7．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质和全等三角形的性质和判定、三角形面积的计算，证得
△GDA≌△EDC，△AGM≌△CEN 是解题的关键．
第29页（共30页）
第30页（共30页）
