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2017-2018 学年河南省商丘市柘城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：每小题3 分，共24 分
1．二次根式
，
，
，
，
中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，已知△BOC 与△AOB 的周长之差
为3，平行四边形ABCD 的周长为26，则BC 的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2 上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2D．不能比较
4．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1+10，a2
10
﹣
，a3+10，a4
10
﹣
，a5+10 的平
均数为（ ）
A．6 B．8 C．10
D．12
5．在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠B 的平分线，AC=18，则BD 的值为（ ）
A．
B．9 C．12
D．6
6．当x＞0 时，y 与x 的函数解析式为y=2x，当x≤0 时，y 与x 的函数解析式为y=
2x
﹣
，则在同一直角
坐标系中的图象大致为（ ）
A．
B．
第1页（共24页）
C．
D．
7．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，
），则点C 的坐标为（
）
A．
（﹣
，1）B．
（﹣1，
）C．（
，1）D．（﹣
，﹣1）
8．一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4 时，y1＜y2；④b
＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
二、填空题：每小题3 分，共21 分
9．如果最简二次根式
与
是同类二次根式，则a= ．
10．在△ABC 中，AB=9，AC=12，BC=15，则△ABC 的中线AD= ．
11．一组数据4，6，3，x，5 的平均数是2x，则这组数据的方差为 ．
12．对于正比例函数y=m
，y 的值随x 的值增大而减小，则m 的值为 ．
第2页（共24页）
13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P 为AB 边上（不与A、B 重合的一动点，过点P 分
别作PE⊥AC 于点E，PF⊥BC 于点F，则线段EF 的最小值是 ．
14．如图，OP=1，过P 作PP1⊥OP 且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=
；再过P1作P1P2⊥OP1且
P1P2=1，得OP2=
；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…；依此继续，得OP2014=
．
15．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为，则输出的函数值为 ．
三、解答题：共55 分
16．计算与化简：
（1）计算：
；
（2）先化简，再求值：
，其中
，
．
第3页（共24页）
17．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求
△ABC 的周长．（结果保留根号）
18．如图，一次函数y=（m
1
﹣）x+3 的图象与x 轴的负半轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且△OAB
面积为．
（1）求m 的值及点A 的坐标；
（2）过点B 作直线BP 与x 轴的正半轴相交于点P，且OP=2OA，求直线BP 的函数表达式．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD，BC
于E，F 两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．
20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10 人的比赛成绩如下表（10 分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4 分2，则成绩较为整齐的是 队．
第4页（共24页）
21．如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到E，使DE=CD，连接BE，交AD 于点F，交AC 于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，且DE=1，∠E=30°，求BE 的长．
22．已知，A、B 两市相距260 千米，甲车从A 市前往B 市运送物资，行驶2 小时在M 地汽车出现故障，
立即通知技术人员乘乙车从A 市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M 地后又经过20 分钟修
好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5 倍的速度前往B 市，如图是两车距A 市的路程y（千
米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲车提速后的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，点C 的坐标为
；
（2）求乙车返回时y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（3）求甲车到达B 市时乙车已返回A 市多长时间？
第5页（共24页）
2017-2018 学年河南省商丘市柘城县八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3 分，共24 分
1．二次根式
，
，
，
，
中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：
，
是最简二次根式，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，利用了最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数不含开
的尽的因数或因式．
2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，已知△BOC 与△AOB 的周长之差
为3，平行四边形ABCD 的周长为26，则BC 的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出：①BC+AB=13，②BC
AB=3
﹣
，由①+②即可得出BC
的长度．
【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD 的周长为26，
第6页（共24页）
∴BC+AB=13 ①，
∵△BOC 与△AOB 的周长之差为3，
∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）=3，
即BC
AB=3
﹣
②，
由①+②得：2BC=16，
∴BC=8；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意得
出相邻两边的关系式是解决问题的关键．
3．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2 上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2
D．不能比较
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵k=﹣＜0，
∴y 随x 的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此
题的关键．
4．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1+10，a2
10
﹣
，a3+10，a4
10
﹣
，a5+10 的平
均数为（ ）
A．6 B．8 C．10
D．12
【考点】算术平均数．
【专题】压轴题．
【分析】本题可根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
【解答】解：依题意得：a1+10+a2
10+a
﹣
3+10+a4
10+a
﹣
5+10=a1+a2+a3+a4+a5+10=50，
第7页（共24页）
所以平均数为10．
故选C．
【点评】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想．
5．在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠B 的平分线，AC=18，则BD 的值为（ ）
A．
B．9 C．12
D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】求BD 的长应利用锐角三角函数算出和直角三角形有关的AD 长和CD 长即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠CBD=30°，
在Rt△ABC 中，tan30°=
∴
=
∴BC=
在Rt△CBD 中，CD=BC•tan30°=6
∴AD=AC
CD=18
6=12
﹣
﹣
∵∠A=∠ABD
∴BD=AD=12．
故选C．
【点评】解决本题的关键是得到所求的线段的相应线段的长度，主要应用了三角函数值．
第8页（共24页）
6．当x＞0 时，y 与x 的函数解析式为y=2x，当x≤0 时，y 与x 的函数解析式为y=
2x
﹣
，则在同一直角
坐标系中的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】正比例函数的图象．
【分析】利用正比例函数图象的性质结合自变量的取值范围得出符合题意的图象．
【解答】解：∵当x＞0 时，y 与x 的函数解析式为y=2x，
∴此时图象则第一象限，
∵当x≤0 时，y 与x 的函数解析式为y=
2x
﹣
，
∴此时图象则第二象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数的图象，正确根据自变量取值范围得出图象是解题关键．
7．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，
），则点C 的坐标为（
）
A．
（﹣
，1）B．
（﹣1，
）C．（
，1）D．（﹣
，﹣1）
第9页（共24页）
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点A 作AD⊥x 轴于D，过点C 作CE⊥x 轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，
再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然
后根据点C 在第二象限写出坐标即可．
【解答】解：如图，过点A 作AD⊥x 轴于D，过点C 作CE⊥x 轴于E，
∵四边形OABC 是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD 和△OCE 中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=
，CE=OD=1，
∵点C 在第二象限，
∴点C 的坐标为（﹣
，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等
三角形是解题的关键，也是本题的难点．
第10页（共24页）
8．一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4 时，y1＜y2；④b
＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】根据一次函数的性质对①②④进行判断；当x＜4 时，根据两函数图象的位置对③进行判断．
【解答】解：根据图象y1=kx+b 经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故①正确，④错误；
∵y2=x+a 与y 轴负半轴相交，
∴a＜0，
故②错误；
当x＜4 时图象y1在y2的上方，所以y1＞y2，故③错误．
所以正确的有①共1 个．
故选D．
【点评】此题主要考查了一次函数，以及一次函数与不等式，根据函数图象的走势和与y 轴的交点来
判断各个函数k，b 的值．
二、填空题：每小题3 分，共21 分
9．如果最简二次根式
与
是同类二次根式，则a=
5
．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式
与
是同类二次根式，
∴3a
8=17
2a
﹣
﹣
，解得：a=5．
【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．
第11页（共24页）
10．在△ABC 中，AB=9，AC=12，BC=15，则△ABC 的中线AD=
7.5
．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，再利用直角三角形中，斜边上的中线
等于斜边的一半即可求出AD 的长．
【解答】解：∵AB=9，AC=12，BC=15，
∴92+122=152，
∴△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的中线AD= BC=7.5，
故答案为7.5．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线的性质．判断三角形是否为直角三角
形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
11．一组数据4，6，3，x，5 的平均数是2x，则这组数据的方差为
2
．
【考点】方差．
【分析】先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：由平均数的公式得：（4+6+3+x+5）÷5=2x，
解得x=2；
则方差=[（4
2
﹣）2+（6
2
﹣）2+（3
2
﹣）2+（2
2
﹣）2+（5
2
﹣）2]÷5=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据
中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
12．对于正比例函数y=m
，y 的值随x 的值增大而减小，则m 的值为 ﹣
2
．
【考点】正比例函数的定义．
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【解答】解：∵y 的值随x 的值增大而减小，
∴m＜0，
∵正比例函数y=m
，
第12页（共24页）
∴m2
3=1
﹣
，
∴m=
2
﹣，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx，（k 是不等于0 的常数）是正比例函数．
13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P 为AB 边上（不与A、B 重合的一动点，过点P 分
别作PE⊥AC 于点E，PF⊥BC 于点F，则线段EF 的最小值是
2.4
．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可
得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出
方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
=
=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE 是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB 时，线段EF 的值最小，
此时，S△ABC= BC•AC= AB•CP，
即×4×3= ×5•CP，
解得CP=2.4．
故答案为：2.4．
第13页（共24页）
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB 时，线段EF 的
值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
14．如图，OP=1，过P 作PP1⊥OP 且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=
；再过P1作P1P2⊥OP1且
P1P2=1，得OP2=
；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…；依此继续，得OP2014=
．
【考点】勾股定理．
【专题】规律型．
【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2014的长．
【解答】解：由勾股定理得：OP1=
，OP2=
；OP3=2；
OP4=
=
；
依此类推可得OPn=
，
∴OP2014=
=
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
15．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为，则输出的函数值为 ．
第14页（共24页）
【考点】分段函数；函数值．
【分析】观察图形可知，输入的x，有三个关系式，当﹣1≤x＜0 时，y=x
3
﹣，当0≤x＜2 时，y=x2，当
2≤x≤4 时，y= ．因为x= ，所以代入y= 即可得输出的结果是﹣1．
【解答】解：∵x= ，
∴由题意可知代入y= ，
得：y= ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分段函数，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
三、解答题：共55 分
16．计算与化简：
（1）计算：
；
（2）先化简，再求值：
，其中
，
．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
第15页（共24页）
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义得到原式=3
2
﹣
4+3
﹣
，然后合并即可；
（2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法运算后约分得到原式=
，
再把a 和b 的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式=3
2
﹣
4+3
﹣
=
1
﹣；
（2）原式=
÷
=
•
=
，
当
，
，原式=
= ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简
分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了负整数指数幂．
17．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求
△ABC 的周长．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即
可求出答案．
第16页（共24页）
【解答】解：∵△ABD 是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=180°
90°
60°=30°
﹣
﹣
，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=
=
=2
，
∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=2
+4+2=6+2
．
答：△ABC 的周长是6+2
．
【点评】本题考查了勾股定理，含30 度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知
识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题
目．
18．如图，一次函数y=（m
1
﹣）x+3 的图象与x 轴的负半轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且△OAB
面积为．
（1）求m 的值及点A 的坐标；
（2）过点B 作直线BP 与x 轴的正半轴相交于点P，且OP=2OA，求直线BP 的函数表达式．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）求出点B 的坐标，然后求出OB，再利用三角形的面积求出OA，从而得到点A 的坐标，再
代入直线解析式求解即可得到m 的值；
（2）求出点P 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：（1）由点B（0，3）得OB=3，
第17页（共24页）
∵S△OAB= ，
∴×OA×OB= ，
解得OA= ，
∴A（﹣，0），
把点A（﹣，0）代入y=（m
1
﹣）x+3，得m=3；
（2）∵OP=2OA，
∴OP=3，
∴点P 的坐标为（3，0），
设直线BP 的函数表达式为y=kx+b，代入P（3，0）、B（0，3），
得
，
解得
，
所以，直线BP 的函数表达式为y=
x+3
﹣
．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，得
到点B 的坐标是解题的关键．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD，BC
于E，F 两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．
第18页（共24页）
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用
垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD 和△FOB 中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE 为菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出
BE=DE 是解题关键．
第19页（共24页）
20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10 人的比赛成绩如下表（10 分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是
9.5
分，乙队成绩的众数是
10
分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4 分2，则成绩较为整齐的是 乙 队．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数
即可；
（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均
数是（9+10）÷2=9.5（分），
则中位数是9.5 分；
乙队成绩中10 出现了4 次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10 分；
故答案为：9.5，10；
（2）乙队的平均成绩是：
×（10×4+8×2+7+9×3）=9，
则方差是：
×[4×（10
9
﹣）2+2×（8
9
﹣）2+（7
9
﹣）2+3×（9
9
﹣）2]=1；
（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中
间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n 个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=
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[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也
成立．
21．如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到E，使DE=CD，连接BE，交AD 于点F，交AC 于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，且DE=1，∠E=30°，求BE 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【分析】（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；
（2）连结CF，由平行四边形的性质得到DF∥BC，推出△FDE∽△BCE，得到比例式
=
= ，利用
三角形一边上的中线等于这边的一半，这是直角三角形，得到∠CFE=90°，因为∠E=30°得到CF=
EC=1，由勾股定理得到EF，于是求出结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD、AE，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AF=DF．
（2）解：如图2，连结CF
∵DF∥BC，
∴△FDE∽△BCE，
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∴
=
= ，
∴BF=EF，
∵DE=CD=1，AB=CD，BC=2AB，
∴BC=EC=2，
∴∠CFE=90°，
又∵∠E=30°，
∴CF= EC=1，
∴EF=
=
=
，
∴BE=2EF=2
．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生
综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．
22．已知，A、B 两市相距260 千米，甲车从A 市前往B 市运送物资，行驶2 小时在M 地汽车出现故障，
立即通知技术人员乘乙车从A 市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M 地后又经过20 分钟修
好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5 倍的速度前往B 市，如图是两车距A 市的路程y（千
米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
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（1）甲车提速后的速度是
60
千米/时，乙车的速度是
96
千米/时，点C 的坐标为 （
，
80
）
；
（2）求乙车返回时y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（3）求甲车到达B 市时乙车已返回A 市多长时间？
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）由甲车行驶2 小时在M 地且M 地距A 市80 千米，由此求得甲车原来的速度80÷2=40 千
米/小时，进一步求得甲车提速后的速度是40×1.5=60 千米/时；乙车从出发到返回共用4
2=2
﹣
小时，
行车时间为2﹣= 小时，速度为80×2÷ =96 千米/时；点C 的横坐标为2+ +
=
，纵坐标为80；
（2）设乙车返回时y 与x 的函数关系式y=kx+b，代入点C 和（4，0）求得答案即可；
（3）求出甲车提速后到达B 市所用的时间减去乙车返回A 市所用的时间即可．
【解答】解：（1）甲车提速后的速度：80÷2×1.5=60 千米/时，
乙车的速度：80×2÷（2﹣）=96 千米/时；
点C 的横坐标为2+ +
=
，纵坐标为80，坐标为（
，80）；
（2）设乙车返回时y 与x 的函数关系式y=kx+b，代入（
，80）和（4，0）得
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，
解得
，
所以y 与x 的函数关系式y=
96x+384
﹣
（
≤x≤4）；
（3）（260
80
﹣
）÷60
80÷96
﹣
=3﹣
=
（小时）．
答：甲车到达B 市时乙车已返回A 市
小时．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，结合图象，理解题意，正确列出函数解析式解决问题．
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