北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.5 变量间的相关关系、统计案例
基础篇
【基础集训】
考点一 变量间的相关关系
^
1.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是 ( )
A.x与y正相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y负相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关
答案 C
2.已知某产品的销售额y(万元)与广告费用x(万元)之间的关系如下表:
x(单位:万元) 0 1 2 3 4
y(单位:万元) 10 15 20 30 35
^ ^
若求得其线性回归方程为y=6.5x+a,则预计当广告费用为6万元时的销售额为 ( )
A.42万元 B.45万元 C.48万元 D.51万元
答案 C
3.下列说法错误的是 ( )
A.回归直线过样本点的中心(x,y)
^ ^ ^
B.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点(x
1
,y
1
),(x
2
,x
2
),…,(x
n
,y
n
)中的一个点
C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
答案 B
4. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一
瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表:
售出水量x(单位:
7 6 6 5 6
箱)
收益y(单位:元) 165 142 148 125 150
(1)若x与y线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元;
(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生考入年
级前200名,获一等奖学金500元;考入年级201~500名,获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生
2 1
将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的
5 3
4
概率均为 .
15
①在学生甲获得奖学金的条件下,求他获得一等奖学金的概率;
②已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X(元)
的分布列及数学期望.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
n
∑(x -x)(y - y)
i i
附:b
^
=
i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n
∑(x -x)2
i
i=1
考点二 独立性检验
5.针对时下的“韩剧热”,某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”做了一次调查,其中女生人数是男
1 1 2
生人数的 ,男生喜欢韩剧的人数占男生人数的 ,女生喜欢韩剧的人数占女生人数的 ,若有95%的把握认
3 6 3
为是否喜欢韩剧和性别有关,则男生至少有 人.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
答案 18
6.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后从事的工作与教育是否有关的情况,随机调查了该校
80位性别不都相同的2019年师范类毕业大学生,得到具体数据如下表:
与教育有关 与教育无关 合计
男 30 10 40
女 35 5 40
合计 65 15 80
(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”?
(2)求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率;
(3)以(2)中的频率作为概率,从该校近几年毕业的2 000名师范类大学生中随机选取4名,记这4名毕业生从
事与教育有关工作的人数为X,求X的数学期望E(X).
n(ad-bc)2
参考公式:K2= (n=a+b+c+d).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
附表:
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0
k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024 6.635
0
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 变量间的相关关系
1.(2018河南焦作四模,3)已知变量x和y的统计数据如下表:
x 3 4 5 6 7
y 2.5 3 4 4.5 6
根据上表可得回归直线方程为^=^x-0.25,据此可以预测当x=8时,^= ( )
y b y
A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.45
3+4+5+6+7 2.5+3+4+4.5+6
答案 C 由题意知x= =5,y= =4,
5 5
将(5,4)代入^=^x-0.25,解得^=0.85,则^=0.85x-0.25,
y b b y
所以当x=8时,^=0.85×8-0.25=6.55,故选C.
y北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x,y之间的线性回归方程为^=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数
y
据如下表所示,则下列说法错误的是 ( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x,y之间成负相关关系
B.可以预测,当x=20时,^=-3.7
y
C.m=4
D.该回归直线必过点(9,4)
答案 C 由-0.7<0,得变量x,y之间成负相关关系,故A说法正确;当x=20时,^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B说法
y
正确;
1 1 11+m 11+m
由表格数据可知x= ×(6+8+10+12)=9,y= ×(6+m+3+2)= ,则 =-0.7×9+10.3,解得m=5,故C说
4 4 4 4
法错;
6+5+3+2
由m=5,得y= =4,所以回归直线必过点(9,4),故D说法正确.故选C.
4
3.根据如下样本数据:
x 3 4 5 6 7
y 4.0 a-5.4 -0.5 0.5 b-0.6
得到的回归方程为^=bx+a.若样本点的中心为(5,0.9),则当x每增加1个单位时,y就 ( )
y
A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位
C.增加7.9个单位 D.减少7.9个单位
a+b-2
答案 B 依题意得, =0.9,故a+b=6.5①,
5
又样本点的中心为(5,0.9),
故0.9=5b+a②,联立①②,解得b=-1.4,a=7.9,
则^=-1.4x+7.9,
y
可知当x每增加1个单位时,y就减少1.4个单位,故选B.
4.(2019广东深圳一模,4)已知某产品的销售额y(万元)与广告费用x(万元)之间的关系如下表:
x(万元) 0 1 2 3 4
y(万元) 10 15 20 30 35
若求得其线性回归方程为^=6.5x+^,则预计当广告费用为6万元时的销售额为 ( )
y a
A.42万元 B.45万元 C.48万元 D.51万元
0+1+2+3+4 10+15+20+30+35
^ ^ ^
答案 C 由题意得x= =2,y= =22,∵y =6.5x+ a ,∴ a =22-6.5×2=9,
5 5
则^=6.5x+9,
y
当x=6时,^=6.5×6+9=48.故选C.
y
5.(2018广东肇庆二模,5)已知x与y之间的一组数据:
x 1 2 3 4
y 0.5 3.2 4.8 7.5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
若y关于x的线性回归方程为^=^x+^,,则^的值为 ( )
y b a a
A.1.25 B.-1.25 C.1.65 D.-1.65
4
∑x y -4x y
4 4 i i
答案 D 由表中数据得x=2.5,y=4,∑x2=12+22+32+42=30,∑x
i
y
i
=51.3,∴
b
^ =i=1 =
i 4
i=1 i=1 ∑x2-4x2
i
i=1
51.3-4×2.5×4
^ ^
30-4×2.52
=2.26,a=y-bx=4-2.26×2.5=
-1.65,故选D.
考点二 独立性检验
1.(2017江西九校一模,7)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某
机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线城
一线城市 总计
市
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
附表:
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
n(ad-bc)2 100×(45×22-20×13)2
由K2= 算得,K2= ≈9.616,参照附表,得
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 58×42×35×65
到的正确结论是 ( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
100×(45×22-20×13)2
答案 C ∵K2= ≈9.616>6.635,
58×42×35×65
∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,故选C.
2.(2018安徽黄山一模,3)在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是 (
)
A.若K2的观测值为k=6.635,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个
吸烟的人中必有99人患有肺癌
B.由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那
么他有99%的可能患有肺癌
C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有1%的可能性使
得判断出现错误
D.以上三种说法都不正确
答案 C 独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结
论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计
计算的结果作出错误的解释.
若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有1%的可能性使得
判断出现错误.故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2019广东湛江高考测试(二),5)有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性.这是真的吗?某社会调查机构
与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生,得到下
面的列联表:
男 女 合计
无 40 35 75
有 15 10 25
合计 55 45 100
n(ad-bc)2
附:K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
0
k 0.4550.7081.3232.0722.706
0
据此表,可得 ( )
A.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%
B.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%
C.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%
D.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%
100×(10×40-35×15)2
答案 A 由题表中数据,计算得K2= ≈0.336 7<0.455,∴认为机动车驾驶技
55×45×75×25
术与性别有关的可靠性不足50%.故选A.
4.(2019东北师大、重庆一中等3月联考,11)2018年,国际权威机构IDC发布的全球手机销售报告显示:华为
突破2亿台出货量,超越苹果的出货量,首次成为全球第二,华为无愧于中国最强的高科技企业.华为业务CEO
余承东明确表示,华为的目标就是在2021年前,成为全球最大的手机厂商.为了解华为手机和苹果手机使用的
情况是否和消费者的性别有关,对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计,统计结果如下表:
手机品
牌 华为 苹果 合计
性别
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系,则下列结论正确的是 ( )
n(ad-bc)2
附:K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A.没有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关
B.有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关
C.有95%的把握认为使用哪款手机与性别无关
D.以上都不对
答案 A 由表可知a=30,b=15,c=45,d=10,n=100,
100×(30×10-15×45)2
则K2= ≈3.030<3.841,
45×55×75×25
故没有95%的把握认为使用哪款手机与性别有关,故选A.
5.(2018辽宁丹东期末教学质量监测,7)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关
系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=6.705,则所得到的统计学结论是:有 的把握认为“学
生性别与支持该活动没有关系”. ( )
附:
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828
A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 C 因为6.635<6.705<10.828,因此有1%的把握认为学生性别与支持该活动没有关系”,故选C.
6.(2020广西玉林、南宁一模,17)水稻是人类重要的粮食作物之一,耕种与食用的历史都相当悠久,目前我国
南方农户在播种水稻时一般有直播、撒播两种方式.为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别,某市
红旗农场于2019年选取了200块农田,分成两组,每组100块,进行试验.其中第一组采用直播的方式进行播种,
第二组采用撒播的方式进行播种.得到数据如表:
产量(单位:
斤) [840,860)[860,880)[880,900)[900,920][920,940]
播种方式
直播 4 8 18 39 31
散播 9 19 22 32 18
约定亩产超过900斤(含900斤)为“产量高”,否则为“产量低”.
(1)请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”
有关?
产量高 产量低 合计
直播
散播
合计
n(ad-bc)2
附K2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.010 0.001
0
k 2.706 6.635 10.828
0
解析 (1)估计100块直播农田的平均产量为850×0.04+870×0.08+890×0.18+910×0.39+930×0.31=907(斤).
(5分)
(2)2×2列联表如下:
产量高 产量低 合计
直播 70 30 100
散播 50 50 100
合计 120 80 200
(8分)
200×(70×50-50×30)2
K2= ≈8.333>6.635,
100×100×120×80
∴有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关. (12分)
综合篇
【综合集训】
考法一 线性回归分析的应用
1.(2021届百校联盟普通高中教育教学质量监测,5)根据散点图可知,变量x,y成非线性关系.为了进行线性回
1
归分析,设u=2ln y,v=(2x-3)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程u=- v+2,则 ( )
3
A.变量y的估计值的最大值为e
B.变量y的估计值的最小值为e
C.变量y的估计值的最大值为e2
D.变量y的估计值的最小值为e2
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
^ ^ ^
2.(2019河南濮阳一模)根据下表中的数据,得到的回归方程为y=bx+9,则b= ( )
x 4 5 6 7 8
y 5 4 3 2 1
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案 D
3.(2021届山东师范大学附中一模,17)据某市地产数据研究显示,2019年该市新建住宅销售均价走势如图所
示,3月至7月房价上涨过快,为抑制房价过快上涨,政府从8月开始采用宏观调控措施,10月份开始房价得到
很好的控制.
(1)地产数据研究发现,3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y
关于x的回归方程;
(2)若政府不调控,依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.
5 5 5
^ ^ ^
参考数据及公式:∑x=25,∑y=5.36,∑(x-x)(y-y)=0.64,回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计分
i i i i y b a
i=1 i=1 i=1
n
∑(x -x)(y - y)
i i
别为 ^ =i=1 , ^ =y- ^ .
b a bx
n
∑(x -x)2
i
i=1
考法二 独立性检验的应用
4.(2020山东德州6月二模)某中学共有1 000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体
育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关(经常进行体育锻炼是指:周平均体育锻炼
时间不少于4小时),现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位:小
时),其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立
性检验原理,下列结论正确的是 ( )
n(ad-bc)2
附:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005
0
k 2.7063.8416.6357.879
0
A.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B.有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C.有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
